Zweikreisfiguren
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Was sind Zweikreisfiguren?
Die Kreise liegen nebeneinander
Die Kreise berühren sich
Die Kreise schneiden sich
Die Kreise liegen konzentrisch
Optische Täuschungen
Zweikreisfiguren im Internet
Referenzen.
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Was sind Zweikreisfiguren?
Wie der Name sagt, sind es Figuren aus zwei Kreisen. 

Man erhält einen Überblick über diese Figuren, wenn man einen Kreis festhält und den anderen so lange verschiebt, bis die Kreise konzentrisch liegen.


Sonderfall r=R

Die Radien R und r der Kreise und die Entfernung a der Mittelpunkte der Kreise bestimmen eine Figur.


Die Kreise liegen nebeneinander top
Tangentenproblem
...... Es ist möglich, an zwei nebeneinander liegende Kreise je zwei äußere und  innere Tangenten zu legen.
Es entsteht eine achsensymmetrische Figur. Von Interesse ist, in welchen Punkten sich die Tangenten paarweise schneiden und wie lang die Tangentenabschnitte sind. Tangentenabschnitte sind die Strecken zwischen den Berührpunkten und den Schnittpunkten.


Erste Konstruktion der Tangenten
...... Alle Zweikreisfiguren sind achsensymmetrisch. 
Die Gerade durch die Mittelpunkte ist die Symmetrieachse.
Zwei Kreise sind ähnlich und können durch eine zentrische Streckung auseinander hervorgehen. Das Zentrum liegt auf der Symmetrieachse. Die Verbindungslinie der "Südpole" ist eine Zuordnungsgerade und kann zur Ermittlung des Zentrums herangezogen werden. 
Die Berührpunkte der gemeinsamen Tangente sind einander zugeordnet. 
Die Berührradien stehen senkrecht auf der Tangente.

Diese Eigenschaften führen zu den folgenden Konstruktionen der Tangenten. 
Der rote Halbkreis ist der Halbkreis des Thales.

Die beiden folgenden Konstruktionen scheinen die Standard-Konstruktionen zu sein. 
Zweite Konstruktion der Tangenten
......
>Zeichne in den großen Kreis einen Kreis mit einem Radius, der gleich der Differenz der gegebenen Radien ist.
>Zeichne den Halbkreis des Thales über die Verbindungslinie der Mittelpunkte.
>Verbinde den Schnittpunkt Thaleskreis/Differenzenkreis und den Mittelpunkt des kleinen Kreises. 
>Zeichne die Senkrechte zu dieser Geraden durch den Mittelpunkt des kleinen Kreises.
>Zeichne zu dieser Geraden die Parallele durch ihren Schnittpunkt mit der Kreislinie des kleinen Kreises. Das ist die Tangente.

...... >Zeichne um den großen Kreis einen Kreis mit einem Radius, der gleich der Summe der gegebenen Radien ist.
Beschreibung wie oben.
Quelle: Zum Beispiel (1) Seite 12f. 

Rechnung zu den äußeren Tangenten
...... Gegeben seien die Radien R und r der Kreise und die Entfernung a ihrer Mittelpunkte.
Dann ist x die Entfernung des Schnittpunktes der Tangenten vom Mittelpunkt des kleineren Kreises. Die Tangentenabschnitte sind s und s+t.
Es gilt x=(ra)/(R-r), s=r*sqrt[a²-(R-r)²]/(R-r), t=sqrt[a²-(R-r)²].

Zur Herleitung
Die Entfernung x ergibt sich aus dem zweiten Strahlensatz x:(a+x)=r:R.
Für den Tangentenabschnitt s gilt nach dem Satz des Pythagoras s²=x²-r². 
Für die Entfernung t der Berührpunkte gilt wieder der zweite Strahlensatz s:(s+t)=r:R.

Rechnung zu den inneren Tangenten
...... Gegeben seien die Radien R und r der Kreise und die Entfernung a ihrer Mittelpunkte.
In Analogie zum Fall der äußeren Tangenten lassen sich die Längen der Strecken x=SM2, s=SB2 und t=B1B2 herleiten. 
Es gilt x=(ra)/(R+r), s=r*sqrt[a²-(R+r)²]/(R+r), t=sqrt[a²-(R+r)²].

Eyeball theorem ("Augapfel-Satz")
...... Zeichnet man von den Mittelpunkten zweier nebeneinander liegender Kreise aus die Tangenten, so entstehen zwei Kreisbögen. 

Es gilt der Satz: Die Sehnen zu diesen Kreisbögen sind gleich lang.


Beweis
Man ergänzt die Figur und entdeckt ähnliche Dreiecke, nämlich die gelbgrünen und die grünen. 
Es gelten zwei Proportionen.

r:a=x:R

R:a=y:r
Aus den Proportionen folgen die Produktgleichungen Rr=ax und Rr=ay. Daraus folgt x=y, w.z.b.w..

Zum Namen
...... Die beiden Kreise können als Augäpfel mit gleich großen Bildern gedeutet werden.

Quelle: Alexander Bogomolny The Eyeball Theorem (Mit Applet und Beweis)
Gleiche Tangentenabschnitte
...... Zeichnet man zwei äußere und eine innere Tangente, so entstehen auf der inneren Tangente zwei gleiche Tangentenabschnitte.

Beweis
Es gilt für die äußeren Tangenten AB=CD oder AP+PB=CQ+QD.
Die Tangentenabschnitte AP und PB außen sind gleich den Tangentenabschnitten PE und PF innen.
Die Tangentenabschnitte QD und CQ außen sind gleich den Tangentenabschnitten QF und QE innen.
Somit kann man die äußeren Tangentenabschnitte durch die inneren ausdrücken AB=PE+PF und CD=QF+QE.
Mit AB=CD ergibt sich PE+PF=QF+QE. 
Da PF=PE+EF und QE=QF+FE gelten, ist PE+EF=QF+FE oder PE=QF, wzbw.
Quelle: Eckard Specht (Math4U) K.27 (URL unten). 


Riemengetriebe
...... Die beiden Zeichnungen können als Darstellungen eines Riemengetriebes aufgefasst werden. 
Ein kleines Rad z.B. ist mit einem Motor verbunden, das doppelt so große Rad wird angetrieben.  Zwei Beobachtungen:
>Die Räder laufen links gleichsinnig, rechts gegensinnig. 
>Das große Rad dreht sich halb so schnell wie das kleine.

Schwerpunkt
...... Man kann die beiden Kreise als Scheiben auffassen, die proportional zu ihren Flächen eine Masse haben und damit im Schwerefeld der Erde eine Gewichtskraft. 
Es gibt zwischen den Mittelpunkten den sogenannten Schwerpunkt. Verbindet man die Scheiben durch eine gewichtslose Stange und befestigt im Schwerpunkt eine Schnur, so liegt die Stange horizontal. 

Berechnung der Lage des Schwerpunktes
...... Die beiden Kreise sollen die Radien R und r haben, und die Entfernung der Mittelpunkte sei a. 
Die Gewichtskräfte der Scheiben seien F1 und F2, ihre Massen m1 und m2
Die Lage des Schwerpunktes wird zum Bespiel durch die Strecke s festgelegt.
Man führt die fiktiven Kräfte F3 ein, die sich aufheben, die aber zu einer (nicht eingezeichneten) resultierenden Kraft führen, die vertikal liegt und in P angreift. Der Schwerpunkt liegt unter P (und auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte).
Es gelten auf Grund ähnlicher Dreiecke die Proportionen F1:F3=h:s und F2:F3=h:(a-s). 
Daraus folgt F1*s=F2*(a-s) oder F1:F2=(a-s):s oder m1:m2=(a-s):s oder s=(am2)/(m1+m2)

Im Falle von Kreisscheiben kann man für die Massen noch setzen:  m1:m2=(pi*R²):(pi*r²)=R²:r². 
Es gilt damit (a-s):s=R²:r². Daraus folgt s=(ar²)/(R²+r²).
Sonderfall: Ist r=R, so gilt s=a/2.


Zwillinge des Archimedes
Mehr findet man auf meiner Seite Arbelos.

Acht-Kurven
Mehr findet man auf meiner Seite Achtkurven.

Die Kreise berühren sich top
Vierteilung des Kreises
...... In der Figur links gilt R=2r.
Dann ist die große Fläche A1=4*pi*r² und die kleine A2=pi*r².
Zeichnet man noch daneben einen zweiten Kreis ein, so wird der große Kreis in vier gleiche Teile aufgeteilt. 


Verschiebungsproblem
...... Zwei Quadrate mit ihren Inkreisen liegen wie links dargestellt nebeneinander.
Man lässt die Quadrate weg und verschiebt den kleinen Kreis horizontal so weit, dass er den großen Kreis berührt. 
Wie groß ist die Verschiebung?
......

Lösung
......
Liegen die Kreise in den Quadraten, haben ihre Berührpunkte unten die Entfernung R+r.
Nach dem Verschieben gilt für die neue Entfernung der Berührpunkte x die Gleichung  x²=(R+r)²-(R-r)² oder x=2*sqrt(rR).
Damit ist die Verschiebung (R+r)-x=R+r-2sqrt(rR).

Kreis im Kreisabschnitt
...... Gegeben sei ein großer Kreis und eine Sehne, die einen Kreisabschnitt erzeugt. 
Die Mittelsenkrechte der Sehne schneidet den großen Kreis in S. 
Im Kreisabschnitt liegt ein beliebiger Kreis, der Kreislinie und Sehne berührt. 
Satz: Zeichnet man eine Gerade durch die Berührpunkte, so geht die Gerade durch Punkt S.

Zum Beweis
Das gelbgrüne und das grüne Dreieck sind ähnlich.
Quelle:Alexander Bogomolny  Inversion (Mit Applet und Beweis)

Zwei Kreise im Rechteck
...... Gegeben sei ein passendes Rechteck. Es sollen zwei gleiche, möglichst große Kreise in das Rechteck eingepasst werden.

Lösung
...... Gegeben sind die Länge a und die Breite b eines Rechtecks. Gesucht ist der Radius x der Kreise.
Die Figur ist punktsymmetrisch mit dem Zentrum Z(a/2|b/2). Nach dem Satz des Pythagoras gilt für das rote Dreieck x²+(b/2-x)²=(a/2-x)² oder x²-(a+b)x+(b²+a²)/4=0.
Die quadratische Gleichung hat die Lösung x=(a+b)/2-(1/2)sqrt(2ab). Die andere Lösung führt zu einem zu großen Radius.
Ist das Rechteck ein Quadrat, so gilt a=b und x=a-(1/2)[sqrt(2)]a.
Ist das Rechteck (als Grenzfall) ein Doppelquadrat, so gilt a=2b und x=b/2.

Quelle: schülerzirkel mathematik Zwei Kreise in einem Rechteck  Problem des Monats Juni 2004.
Dort wird ein A4-Blatt untersucht.

Eine Kollinearität
...... Gegeben seien zwei verschieden große Kreise, wobei der kleine Kreis den großen innen berührt. Weiter seien die horizontal liegende Symmetrieachse und zwei zur Achse Senkrechte durch die Mittelpunkte gegeben. 
Verbindet man den gemeinsamen Berührpunkt mit den Endpunkten des Durchmessers des großen Kreises, so verlaufen diese Verbindungsgeraden auch durch die Endpunkte des Durchmessers des kleinen Kreises.

Zum Beweis
Oben wurde schon angemerkt, dass zwei Kreisen eine zentrische Streckung zugrunde liegt. Das Zentrum liegt hier im Berührpunkt der Kreise und die "Nordpole" sind einander zugeordnete Punkte.

Quelle: Science Buddies Tangent Circles and Triangles

THE CRESCENT PUZZLE von Dudeney
Gegeben sind die beiden Strecken zwischen den Kreisen. 

Gesucht sind die Radien der Kreise.


Lösung
Nach dem Satz des Pythagoras gilt r²=x²+y².
Man erhält aus 2R=2r+9 die Angabe x=R-r=4,5.
Man erhält aus R=y+5 die Angabe y=R-5. Dann ist y=(r+4,5)-5=r-0,5.
Aus der ersten Gleichung folgt r²=(r-0,5)²+4,5². Das führt zu r=20,5 und R=25, wzbw..
Quelle: Dudeney, Henry Ernest, 1857-1930 Amusements in Mathematics (191.)

Zykloiden
...... Gegeben ist ein großer Kreis und ein kleiner, der auf dem großen abrollt. Verfolgt man dabei zum Beispiel einen Punkt auf der Kreislinie des kleinen Kreises, so entsteht eine Zykloide.

Mehr über Zykloiden findet man auf meiner Seite Spirograph.


Die Kreise schneiden sich top
Kreis als Ortslinie
Wo liegen die Punkte, die vom Punkt A die Entfernung s1 und von B die Entfernung s2 haben?


Tangentenproblem
......
Von Interesse sind der Schnittpunkt der Tangenten und die Lage der Berührpunkte.

Es gilt x=(ra)/(R-r), s=r*sqrt[a²-(R-r)²]/(R-r), t=sqrt[a²-(R-r)²].

Die Herleitung erfolgt wie bei den äußeren Tangenten nebeneinander liegender Kreise oben.


Schnittpunkte der Kreise
...... Zur Bestimmung der Schnittpunkte der Kreise legt man sie am besten passend in ein kartesisches Koordinatensystem.

Die Gleichungen x²+y²=R² und (x-a)²+y²=r² beschreiben die beiden Kreise. 

Man eliminiert aus beiden Gleichungen y².
Aus R²-x²=r²-(x-a)² ergibt sich die Abszisse der Schnittpunkte xs=(R²-r²+a²)/(2a). 
Aus  y²=R²-x² ergeben sich die Ordinaten ys=[1/(2a)]sqrt[4a²R²-(R²-r²+a²)²] und ys=-[1/(2a)]sqrt[4a²R²-(R²-r²+a²)²].
Zweikreisfigur (im engeren Sinne) als Sonderfall
...... Bei der Zweikreisfigur sind die Radien der beiden Kreise gleich. Die Mittelpunkte liegen auf der Kreislinie des jeweils anderen Kreises.  Es ist  a=r=R.
Dann liefert die Formel oben die Koordinaten der Schnittpunkte
xs= R/2  und ys=(1/2)sqrt(6)R bzw. ys=-(1/2)sqrt(6)R.

Die Zweikreisfigur ermöglicht eine Reihe von Grundkonstruktionen.
...... Beispiele sind Halbieren einer Strecke, Zeichnen eines Winkels von 60° oder Zeichnen einer Senkrechten.

Quadrat zwischen den Kreisen
...... Rücken die Kreise im Vergleich zur Zweikreisfigur auseinander, so kann es passieren, dass die Mittelpunkte und Schnittpunkte der Kreise die Ecken eines Quadrates werden. 
Es gilt dann a=sqrt(2)*R.

Längste Strecke
...... Zeichne durch den Schnittpunkt zweier Kreise eine Gerade. Es entsteht innerhalb der Kreise eine Strecke, zusammengesetzt aus zwei Sehnen. 

Wie muss die Gerade gelegt werden, damit die Strecke möglichst lang wird?


Lösung
...... Verbindet man die Endpunkte der Strecke mit dem anderen Schnittpunkt, so entsteht ein Dreieck. Ganz gleich wie man die Strecke legt, das Dreieck hat immer die gleichen Winkel. Winkel über demselben Bogen sind gleich. 
Unter den ähnlichen Dreiecken ist das Dreieck mit dem Durchmesser als Sehne am größten. 
So muss die Strecke gelegt werden. 
Quelle: Alexander Bogomolny The Longest Segment in Intersecting Circles (Mit Applet und Beweis)

Eine Halbierung
...... Gegeben seien zwei sich schneidende Kreise und eine gemeinsame Tangente. 
Dann gilt: Die Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise halbiert die Verbindungslinie der Berührpunkte.

Beweis: Es gilt SR²=SF*SE und SP²=SF*SE nach dem Sekanten-Tangenten-Satz.
Daraus folgt SR=SP.

Quelle: Mathforum Intersecting Circles

Orthogonale Kreise
...... Wie die Zweikreisfigur sind hier auch die beiden verschieden großen Kreise orthogonal. 

Zeichnet man nämlich in den Schnittpunkten Tangenten an die Kreise, so stehen sie aufeinander senkrecht.


...... Man findet die beiden Kreise, indem man einen Kreis mit dem Mittelpunkt M1 vorgibt und einen zweiten (roten) durch den Mittelpunkt M1 zeichnet. Er schneidet die Achse in M2. Der orthogonale Kreis ist der Kreis mit dem Mittelpunkt M2, der durch den Schnittpunkt S der Kreise verläuft. (Der rote Kreis ist der Halbkreis des Thales.)

Es gilt der Satz: Sind zwei Kreise orthogonal, so wird der Durchmesser des einen Kreises durch den anderen harmonisch geteilt. - In Formeln ausgedrückt heißt das AC:CB=AD:BD oder AC*BD=CB*AD.
Quelle: (2), Seite 12ff.

Beweis:
Es seien M1M2=a, AM1=R, M2D=r.
Dann gilt AC=R+(a-r), AD=R+a+r, BD=(a+r)-R, CB=2r-BD=2r-(a+r-R)=r-a+R.
So sind AC*BD=(R+a-r)*(a+r-R)=2rR-R²-r²+a² und CB*AD=(r+a-R)(R+a+r)=2rR+R²+r²-a².
Da die Kreise orthogonal sind, gilt R²+r²=a².
Das führt zu AC*BD=2rR und CB*AD=2rR. 
Daraus folgt  AC*BD=CB*AD oder AC:CB=AD:BD, wzbw.

Da die Rechenschritte umkehrbar sind, gilt die Umkehrung des Satzes:
Wird der Durchmesser eines Kreises harmonisch durch einen anderen Kreis geteilt, so sind die beiden Kreise orthogonal.

Parallelenpaar
...... Gegeben seien zwei sich schneidende Kreise und eine Sehne s. Zeichnet man durch die Endpunkte der Sehne und die Schnittpunkte der Kreise Geraden, so erzeugen sie im anderen Kreis eine zweite Sehne. 

Es gilt der Satz: Die Sehnen sind parallel.


Zum Beweis
...... Verbindet man noch die Schnittpunkte der Kreise, so entstehen zwei nebeneinander liegende  Sehnenvierecke. Da gilt der Satz, dass gegenüberliegende Innenwinkel sich zu 180° ergänzen. Danach tritt der Winkel bei B auch bei D auf. Nach der Umkehrung des Satzes von den Stufenwinkeln sind die Sehnen parallel. 

Anmerkung
Es sieht so aus, als seien die beiden Sehnenvierecke ähnlich, haben sie doch paarweise gleiche Winkel. Aber das ist keine ausreichende Bedingung. Man denke nur an die Rechtecke. 
Trotzdem bleibt das Verhältnis AB/CD konstant, solange man nur die Lage, aber nicht die Länge der Sehne ändert. 
Ergänzung
...... Die Parallelität überträgt sich auch auf die Figur, bei der sich die beiden Berührpunkte zu einem Punkt zusammenziehen.

Dann entstehen zwei ähnliche Dreiecke in perspektivischer Lage.

Quelle: IES (Japan) Circles "Problem of Two Circles (2)", "Problem of Two Circles(3)" 

Die grasende Ziege (The grazing goat)
Es handelt sich hier um eine dieser Aufgaben, deren Aufgabenstellung einfach ist, deren Lösung es aber in sich hat. 
...... Gegeben sei eine kreisförmige Grasfläche. 
Im Randpunkt M' ist ein Pflock eingeschlagen, an dem ein Seil befestigt ist. An dessen Ende steht die  Ziege Z. Wie groß muss die Länge s des Seils sein, damit die Ziege die Hälfte der Kreisfläche mit dem Radius r erreichen kann? 

...... Es ist ungeschickt, die Seillänge s direkt als Suchvariable einzuführen. 
Günstiger ist der eingezeichnete Winkel x, gemessen im Bogenmaß.
Dann erhält man nach längerer Rechnung die transzendente Gleichung pi/2 + 2 x * cos(2x) - sin(2x)  = 0 mit der Näherungslösung x = 0,95 rad    (=55°). 
Das führt näherungsweise zur Länge des Seils s=1,159r. 
Näheres bei  Hans Henschel  Puzzles / The grazing goat, Solution

Mengendiagramm

1974: Die armen Kleinen.
Ein Hinweis auf das Mengendiagramm soll auf dieser Seite nicht fehlen.

Und was für eine Aufregung gab es um die Mengenlehre in den 1970er Jahren.
Macht Mengenlehre krank? fragte DER SPIEGEL 1974 in einer Titelgeschichte.
 


Die Kreise liegen konzentrisch top

Flächengleicher Kreis

Umkreis/Inkreis
Aus zwei konzentrischen Kreisen entsteht ein Kreisring.

Mehr darüber findet man auf meiner Seite Ringe.


Optische Täuschungen top
Kongruent?
Die beiden Kreise sind kongruent, obwohl es gar nicht so aussieht.


Gleich oder verschieden?

Zwei Kreise in zwei Grautönen?

Nein, die Kreise sind identisch. Die Umgebung macht's.

Hintereinander

Mit dem Stereoblick sieht man den roten Kreis vor dem blauen. 

und hier?

 


Zwei Stereogramme


 

 Zwei Kreise liegen vor oder hinter einer Ebene. 


Zweikreisfiguren im Internet top

Deutsch

Eckard Specht (Math4U)
index/ K.1 bis K.76

Florian Modler (matheplanet)
Exkurs: Potenz eines Kreises

Hans Henschel
Rätsel /Die grasende Ziege, Lösung

Peter G. Nischke
Zwei Kreise im Quadrat

Roland Mildner 
Zwei Kreise

schülerzirkel mathematik
Zwei Kreise in einem Rechteck

Wikipedia
Tangentenviereck, Kreistangente, Sekanten-Tangenten-Satz, Potenz (Geometrie)



Englisch

Alexander Bogomolny (Cut the Knot)
Inversion, The Longest Segment in Intersecting CirclesThe Eyeball TheoremThe Squinting Eyes TheoremTangent Circles and an Isosceles TriangleA Sangaku: Two Unrelated CirclesA Sangaku Follow-Up on an Archimedes' LemmaEquilateral Triangles and Incircles in a SquareIn the Wasan SpiritTwo Circles in an Angle: What is this about?Sangaku

Antonio Gutierrez (Geometry Step-by-Step - From the Land of the Inkas) 
Eyeball Theorem / animatedMonge & d'Alembert Three Circles Theorem I / animated

Eric W.Weisstein (MathWorld)
Circle-CircleTangents, Circle-Circle IntersectionEyeball TheoremGoat ProblemVenn DiagramMonges CircleTheorem
Sphere-Sphere IntersectionDouble Bubble 

Jeff Kertscher
Tangent lines to Two Circles

Jim Wilson  (Jim Wilson's Home Page)
Comparing Segments in two circles

Kenneth James Michael MacLean
The Binary Circle/Sphere Pattern

Mathforum
Intersecting Circles

Nick Hobson (Nick's Mathematical Puzzles)
108. Eyeball to eyeball

Paul Bourke
Intersection of two circles

Projekt Gutenberg 
Dudeney, Henry Ernest, 1857-1930 Amusements in Mathematics

Raymond and Patsy Nasher Collection, Dallas, Texas
Squares with Two Circles (Monolith)   "This is the original"

Science Buddies
Tangent Circles and Triangles

Wikipedia
Tangent lines to circlesPower of a pointTangential quadrilateral


Diese Seite enthält Tipps von Torsten Sillke.

Referenzen   top
(1) W.Lietzmann: Altes und neues vom Kreis, Leipzig/Berlin 1935
(2) C.Stanley Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie, Braunschweig, Wiesbaden 1976 [ISBN 3 528 08314 x]
(3) Henry Ernest Dudeney: Amusements in Mathematics (1917) (Im Internet verfügbar)


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©  2007 Jürgen Köller

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