Geodätische Linien
Inhalt dieser Seite
Was sind geodätische Linien?
Fliege-Spinne-Problem
Fliege-Honig-Problem
Kotani's Ant Problem
Umlauf um die Kegelspitze
Einfach geschlossene geodätische Linien eines Würfels
Großkreis einer Kugel
Zum Begriff der geodätischen Linie
Geodätische Linien im Internet
Kürzester-Weg-Problem im Internet
Referenzen
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was sind geodätische Linien?
...... Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten in der Ebene ist die gerade Linie. Man kennt sie als Luftlinie oder, wie es im Englischen so schön heißt, "beeline" oder "as the crow flies".
Sie wird zum Problem, wenn man zum Beispiel in den Raum geht und kürzeste Wege ("geodätische Linien") auf Körperoberflächen untersucht.
Darum geht es auf dieser Seite.


Fliege-Spinne-Problem top
Beim ersten Problem, einem Klassiker der Unterhaltungsmathematik, ist der Körper ein Quader. 
 
........
3D-Bild..
In einem Raum mit den Maßen 30' x 12' x 12' (9,14m x 3,65m x 3,65m) sitzt eine Spinne oben rechts auf einer Seitenfläche in der Mitte, 1 Fuß von der Decke entfernt. Eine Fliege sitzt unten auf der gegenüberliegenden Wand auch in der Mitte und 1 Fuß vom Boden entfernt. Die Fliege ist vor Angst gelähmt und bewegt sich nicht. 
Welches ist der kürzeste Weg, den die Spinne zurücklegen muss, um die Fliege zu erreichen? 


Nahe liegende Lösung

Dieser direkte Weg bietet sich an.


Er beträgt 42 Fuß.

Lösung
...... Mit einem Trick gelangt man zu einem kürzeren Weg. 

Man betrachtet ein passendes Netz des Quaders und zeichnet eine gerade Linie als kürzeste Verbindung ein.

Der Weg ist dann kürzer. Nach dem Satz des Pythagoras ist er 40 Fuß lang.

......
Es gibt noch eine zweite, spiegelbildliche Lösung.

Man nennt die Linie der Länge 40' geodätisch. Sie besteht aus fünf Streckenabschnitten, lässt sich aber auf eine Strecke zurückführen.

Martin Gardner beschreibt das Rätsel in einem Artikel über Dudeney ("Henry Ernest Dudeney: Englands größter Rätselerfinder") in seinem unten genannten Buch (1), Seite 73ff. 
Dudeney veröffentlichte es 1903 in einer englischen Zeitung. Es wurde bekannt, als es 1905 in der "Daily Mail" abgedruckt wurde.

Kotani's Ant Problem top
 
...... Eine Ameise befindet sich oben, links, vorne in einem 1x1x2-Quader. 
Sie soll auf einem möglichst kurzen Weg in die gegenüberliegende Ecke unten, rechts, hinten krabbeln. 
Welchen Weg muss sie nehmen?


...... Lösung:

Man klappt wieder den Quader auf, A fällt auf A' oder A''. 

A''B=sqrt(2²+2²)=sqrt(8) und A'B=sqrt(3²+1²)=sqrt(10)

Der erste Weg A''B ist also kürzer.


Das Problem ist nur aufwendig zu lösen, wenn man Punkt A an eine beliebige Stelle legt und dann nach dem am weitesten entfernten Punkt B fragt. Diese Erweiterung ist unter dem Namen Donald Knuth's Ant Problem unten beschrieben.

Fliege-Honig-Problem top
Das folgende Problem stammt auch von Dudeney [(1), Seite 73ff.].
...... Ein Glaszylinder ist 4 cm hoch und hat einen Umfang von 6 cm. 
Auf der Außenseite, 1 cm vom Boden entfernt, sitzt eine Fliege. Auf der anderen Seite genau gegenüber und innen, befindet sich ein Honigtropfen. 
Welches ist der kürzeste Weg, den die Fliege krabbeln muss, um den Honig zu erreichen? 


Lösung
......
Angenommen, der Honigtropfen sitzt auch außen.
Man rollt den Mantel des Zylinders ab. 
Die gerade Linie ist der kürzeste Weg.

......
Nun sitzt der Honigtropfen aber innen. 
Deshalb muss die Fliege einen anderen Weg nehmen. 
Sie muss bis zum Rand auf das Spiegelbild des Tropfens zumarschieren und vom Rand ab auf einer geraden Linie zum Tropfen. - Der kürzeste Weg ist 5cm lang.

Es folgen noch drei Anmerkungen zur kürzesten Linie auf einem Zylindermantel. 
1
...... Fliege und Honig werden ersetzt durch die Punkte A und B. 
Die Punkte liegen sich gegenüber. Deshalb gibt es zwei gleiche Wege in Form von Spiralen mit halbem Umlauf. 

2
...... Man kann auf dem Mantel auch einen geraden Weg finden, der einen Umlauf mehr erfordert. Dazu dient das nebenstehende Netz, das man doppelt rollen muss.

3
...... Es sei der Fall gegeben, dass sich die Punkte A und B nicht gegenüberliegen, sondern nur um eine Vierteldrehung gegeneinander versetzt sind. Dann ist es günstig, den Mantel an der Stelle A aufzuschneiden. Somit liegt A an den beiden Rändern des aufgerollten Mantels. Es gibt zwei verschieden lange Wege von A nach B.

Bei den hier beschriebenen geraden Linien zwischen A und B handelt es sich um geodätische Linien. Sie können unterschiedlich lang sein. Wegen der beliebigen Zahl der Umläufe gibt es auch beliebig viele geodätische Linien auf einer Zylinderoberfläche. Von Interesse sind die Linien mit der kleinsten Länge, die "Kürzesten".

Umlauf um die Kegelspitze top
Neben dem Zylinder gehört der gerade Kreiskegel zu den Körpern mit einem ebenen Netz.
Da kann man sich die folgende Frage stellen, die nicht in eine Geschichte gekleidet werden soll. 
......
Gegeben ist ein Startpunkt auf einem Kegel. 
Wie groß ist der kürzeste Weg, der um die Spitze herum und zurück zum Ausgangspunkt führt? 

Es bietet sich der Weg rechts an.

......


Lösung
......
Das ist aber nicht der minimale Weg, wie das Netz des Mantels zeigt. 
Rollt man den Kegelmantel ab, so ist die rote Linie der kürzeste Weg. 
Das führt zur Schlaufe rechts.
......

Grenzen der Lösung
...... Ist der Kegel flacher und der Mantel ein Kreisausschnitt mit einem Winkel gleich oder größer als 180°, so gibt es keine Schlaufe mehr als kürzesten Weg. Der Weg auf einer Falllinie und zurück könnte als Minimalweg angesehen werden, aber er führt nicht mehr um die Spitze herum.
Siehe auch (2), Seite 80f.

Das Besondere an diesem Kegel-Problem besteht darin, dass es hier um geschlossene geodätische Linien geht. Die beiden Punkte, die zu verbinden sind, fallen zusammen.
Das allgemeinere Problem geodätischer Linien auf Kegelmäntel wird auf der Webseite von Mark L. Irons (Geodesics on a Cone, URL unten) ausführlich untersucht.

Einfach geschlossene geodätische Linien eines Würfels  top
In dem unten genannten Buch von Steinhaus (3) wird der Würfel auf geschlossene geodätische Linien hin untersucht. 
Zur Einführung weist Steinhaus darauf hin, dass man sich die geodätische Linie als Gummiband vorstellen kann, das man um den Würfel legt. Wichtig dabei ist, dass der Würfel glatt ist und keine Reibung auftritt. 
Dann gibt es im wesentlichen zwei Möglichkeiten.
 

Die linke Schlinge ist trivial.
Die rechte Umschlingung ist ein Sechseck und erfasst alle Quadrate des Würfels. Steinhaus zeigt durch eine Rechnung, dass die geschlossene Linie minimal wird, wenn die Abschnitte parallel zu Flächendiagonalen des Quadrates liegen, wie in der Zeichnung beachtet.
Im Sonderfall wird das Sechseck regelmäßig. Das Gummiband verläuft dann durch Kantenmitten.


...... Bleibt man im Bild des Gummibandes, so gibt es im trivialen Fall beliebig viele weitere parallel liegende Bänder, die dann vier Quadrate bedecken.
Da es drei gegenüber liegende Paare von Quadraten gibt, gibt es somit auch drei Scharen von geodätischen Linien. 

...... Im Falle der Sechsecke bleiben zwei gegenüber liegende Eckstücke frei und damit je drei Halbquadrate, während ebenso viele Halbquadrate bedeckt werden. 
Da der Würfel vier gegenüberliegende Ecken hat, gibt es auch vier Scharen von geodätischen Linien dieser Art.

Insgesamt hat der Würfel also sieben Scharen von einfach geschlossenen geodätischen Linien.
Siehe auch (3) Seite 86ff.


Großkreis einer Kugel top
Bisher wurden nur Körper betrachtet, deren Netze in der Ebene ausgebreitet werden können, die also abwickelbar sind. Da konnten die geodätischen Linien zu zwei Punkten auf Strecken zurückgeführt werden. Das gelingt nicht bei der Kugel.
...... Gibt man auf der Kugeloberfläche zwei Punkte A und B vor, kann man die Kugel so betrachten, dass die beiden Punkte auf dem "Äquator" liegen. Der Äquator erscheint in der Zeichnung  als Strecke und Durchmesser der Kugel. 

Sucht man andere Kreise als Wege (zwei sind eingezeichnet), so haben sie alle einen kleineren Durchmesser als der Äquator und ihre Bögen über AB sind länger. 
Der Äquator ist der kürzeste Kreis-Weg.

Man nennt ihn Großkreis. Sein Durchmesser stimmt mit der Kugel überein und sein Mittelpunkt ist der  Kugelmittelpunkt. Die übrigen Kreise auf der Kugeloberfläche nennt man Kleinkreise.


Das Wort Äquator ist schon ein Hinweis darauf, dass das Problem "kürzester Weg auf Kugeln" für die Erdkugel eine praktische Bedeutung hat. Man sollte meinen, dass sich Schiffe und Flugzeuge, die große Entfernungen zurücklegen, immer längs Großkreisen (Orthodromen) weiter bewegen.  Das scheint nur bedingt der Fall zu sein. Für eine Route spielen auch andere Faktoren eine Rolle. 

...... In diesem Zusammenhang sind Routen in Form von spiralförmigen Loxodromen (shrub lines) interessant, weil bei ihnen eine bestimmte Richtung mit dem Kompass eingestellt und beibehalten wird. 
So wurde zumindest früher auf Schiffen navigiert.

Zum Begriff der geodätischen Linie   top
Die Beispiele auf dieser Seite belegen es: Die Verbindungslinien zwischen  zwei Punkten in der Ebene und auf den Oberflächen abwickelbarer Körper sind geodätisch, wenn sie gerade sind oder auf gerade Linien zurückgeführt werden können.
Das kann man auf die Kugel- und beliebige Körperoberflächen übertragen: Verbindet man zwei Punkte, so sind die Linien dann geodätisch, wenn sie auf infinitesimal kurzen Strecken gerade sind. Dazu kommt noch, dass man sich entlang der Linien einen infinitesimal schmalen, ebenen Streifen vorstellen können muss (4). 
...... Konrad Polthier von der Freien Universität Berlin hat einen Videofilm ins Internet gestellt, in dem man beobachten kann, wie sich drei geodätische Linien auf einem doppeltorus-artigen Körper bilden. 

Man denke beim Anblick dieses Videos an die obigen Aussagen.


Der Begriff der geodätischen Linie ist ein Begriff der klassischen Differentialgeometrie. Die Definition lautet: 
"Die Kurven auf einer Fläche, deren geodätische Krümmung verschwindet, sind geodätisch."
Es erfordert offenbar ein tiefergehendes Fachwissen, um diese Definition mit Inhalt zu füllen.
Man gehe einmal auf die MathWorld- oder Wikipedia-Seiten Geodäte bzw. Geodesic (URL unten). 


Ausklang

Zweifellos der kürzeste Weg ;-)
Mehr über Irrgärten hier

Die Seite enthält Tipps von Torsten Sillke


Geodätische Linien im Internet     top

Deutsch

ADG – Fachverband der Geometrie
SPINNE UND FLIEGE  (.pdf-Datei)

Wikipedia
Geodäte, Orthodrome, Loxodrome, Sattelfläche



Englisch

Caltech
The Straightest Lines in Curved Space and Time

enriching mathematics (University of Cambridge)
The Spider and the Fly, - A shortest route on The DodecahedronFlight Path

Eric W.Weisstein (MathWorld)
Spider and Fly ProblemGeodesic, Geodesic CurvatureWiedersehen Pair 

Henry Bottomley 
Cuboid mit  "Donald Knuth's Ant Problem" 
Circumnavigating a cube and a tetrahedron by visiting all of the sides or all of the edges

Jeff Erickson (Ernie's 3D Pancakes)
Shortest paths on PL surfaces

Karen Franco (Bill Casselman's Home Page)
Spherical Geometry:  Exploring the World with Math
 
Konrad Polthier (Freie Universität Berlin, Germany)
Introduction to Geodesics  (video)
Mark L. Irons
Geodesics on a Cone

Movable Type Ltd
Vincenty formula for distance between two Latitude/Longitude points

Robert Hunt 
Time and motion

Wikipedia
Great circle, Great-circle distance, Geodesic, Rhumb line


Kürzester-Weg-Problem im Internet    top
Sucht man bei Google mit "kürzester Weg", werden meist Seiten angezeigt, in denen es um ein Problem wie "Welcher Weg ist der kürzeste Weg zwischen zwei Orten?" geht. Das Problem geht in Richtung Routenplaner. 
Eine Theorie dazu wird in der diskreten Mathematik oder genauer der Graphentheorie entwickelt. Da werden die Wege zu Kanten und die Orte zu Knoten... 
Ich gebe einige Links zu entsprechenden Wikipedia-Seiten an. 
Routenplaner, Graphentheorie, Problem des HandlungsreisendenEulerkreisproblem, Briefträgerproblem, Hamiltonkreisproblem, Dijkstra-Algorithmus

Ich nenne hier noch, wie schon auf meiner Seite Haus des Nikolaus, das Buch "Peter Gritzmann/René Brandenberg: Das Geheimnis des kürzesten Weges, Springer-Verlag 2002", durch das man in zwar unterhaltender, aber anspruchsvoller  Form in das Gebiet eingeführt wird. 


Referenzen   top
(1) Martin Gardner: Mathematische Rätsel und Probleme, Braunschweig 1968
(2) Ferenc Molnár: Spinne und Fliege, in "Mathematisches Mosaik", Köln 1977 [ISBN 3-7614-0371-2] 
(3) Hugo Steinhaus: 100 Aufgaben, Leipzig-Jena-Berlin, 1968
(4) W.Gellert (Hrsg.): Mathematik, Leipzig 1986


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©  2007 Jürgen Köller

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