Johnson-Körper
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Was ist ein Johnson-Körper?
Aufzählung der Körper
Die Körper der Reihe nach
Ordnen der Kuppeln
Johnson-Körper im Internet
.
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Was ist ein Johnson-Körper?
Es gibt in der Geometrie das Problem, alle konvexen Körper zu finden, die nur von regelmäßigen Vielecken begrenzt werden. 
Das Problem ist gelöst. 


Es gibt die 5 platonischen Körper und die 13 archimedischen Körper.
...

Es gibt "unendlich viele" Prismen.
 
....
..
Das Prisma hat als Grund- bzw. Deckfläche ein gleichseitiges Dreieck und als Seitenflächen Quadrate. Man stelle sich vor, das Dreieck werde nacheinander durch ein Quadrat,  ein regelmäßiges Fünfeck, ein regelmäßiges Sechseck usw. ersetzt und die Seitenquadrate würden beibehalten.
Dann entsteht eine unendliche Folge von Prismen, die von regelmäßigen Vielecken begrenzt werden.

Zwei Körper aus der Folge der n-seitigen Prismen.
 

n=8

n=10

Die Bildpaare ermöglichen eine dreidimensionale Sicht der Körper.


Auch für die Antiprismen kann man eine unendliche Folge von Körpern mit regelmäßigen Begrenzungsflächen konstruieren. Man wählt als Grund- und Deckfläche ein Quadrat, ein regelmäßiges Fünfeck und so weiter. Die Seitenflächen bleiben gleichseitige Dreiecke.
 

n=4

n=5


n=8

n=10

Die restlichen Körper sind die 92 Johnson-Körper
Der Name geht auf Norman Johnson zurück, der 1966 die Liste der 92 Körper veröffentlichte. 

...... Ein Beispiel ist die verlängerte Dreiecksdoppelkuppel
Sie ist der Johnson-Körper Nr. 35, kurz J35. 
Der Körper hat 18 Ecken, 36 Kanten, 20 Flächen und wird gebildet von 8 Dreiecken und 12 Quadraten. 
Das wird auf dieser Webseite so abgekürzt:
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (18, 36, 20, 8, 12, 0, 0, 0, 0)

Aufzählung der Körper       top
Es werden nur die Körper genannt, die auf dieser Webseite vorkommen.
 
J01 Quadratpyramide
J02 Fünfeckpyramide
J03 Dreieckskuppel
J04 Quadratkuppel
J05 Fünfeckskuppel
J06 Fünfecksrotunde
J08 Verlängerte Quadratpyramide 
J11 Verdreht verlängerte Fünfeckpyramide 
      (beschnittenes Ikosaeder)
J12 Triangulare Bipyramide
J13 Pentagonale Bipyramide 
J15 Verlängerte tetragonale Bipyramide
J16 Verlängerte pentagonale Bipyramide
J17 Verdreht verlängerte Quadratbipyramide 
J18 Verlängerte Dreieckskuppel
J19 Verlängerte Quadratkuppel 
       (beschnittenes kleines Rohmbenkuboktaeder)
J20 Verlängerte Fünfeckskuppel
J21 Verlängerte Fünfecksrotunde
J22 Verdreht verlängerte Dreieckskuppel
J23 Verdreht verlängerte Quadratkuppel
J24 Verdreht verlängerte Fünfeckskuppel
J25 Verdreht verlängerte Fünfecksrotunde
J27 Dreiecksdoppelkuppel
      (verdrehtes Kuboktaeder)
J28 Quadratdoppelkuppel
J29 Verdrehte Quadratdoppelkuppel
J30 Fünfecksdoppelkuppel
J31 Verdrehte Fünfecksdoppelkuppel
J32 Fünfeckskuppelrotunde
J33 verdrehte Fünfeckskuppelrotunde
J34 Fünfecksdoppelrotunde
      (verdrehtes Ikosidodekaeder)
J35 Verlängerte Dreiecksdoppelkuppel
J36 Verlängerte verdrehte Dreiecksdoppelkuppel
J37 Verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel
      (verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder)
J38 Verlängerte Fünfecksdoppelkuppel
J39 Verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelkuppel
J40 Verlängerte Fünfeckskuppelrotunde
J41 Verlängerte verdrehte Fünfeckskuppelrotunde
J42 Verlängerte Fünfecksdoppelrotunde
J43 Verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelrotunde
J44 Verdreht verlängerte Dreiecksdoppelkuppel
J45 Verdreht verlängerte Quadratdoppelkuppel
J46 Verdreht verlängerte Fünfecksdoppelkuppel
J47 Verdreht verlängerte Fünfeckskuppelrotunde
J48 Verdreht verlängerte Fünfecksdoppelrotunde
J49 Erweitertes dreieckiges Prisma 
J51 Dreifach erweitertes Dreiecksprisma 
J58 Erweitertes Dodekaeder
J59 Doppelt erweitertes Dodekaeder (para)
J60 Doppelt erweitertes Dodekaeder (meta)
J 61 Dreifach erweitertes Dodekaeder
J62 Doppelt beschnittenes Ikosaeder (meta)
J63 Dreifach beschnittenes Ikosaeder
J64 Erweitertes dreifach beschnittenes Ikosaeder
J84 Trigondodekaeder 
J85 Abgeschrägtes quadratisches Antiprisma
J91 Bilunadoppelrotunde
J92 Dreieckshebosphenorotunde
J01 Square pyramid
J02  Pentagonal pyramid
J03 Triangular cupola
J04 Square cupola
J05 Pentagonal cupola
J06 Pentagonal rotunda
J08 Elongated square pyramid
J11 Gyroelongated pentagonal pyramid
      ( diminished icosahedron)
J12 Triangular dipyramid
J13 Pentagonal dipyramid
J15 Elongated square dipyramid
J16 Elongated pentagonal dipyramid
J17 Gyroelongated square dipyramid
J18 Elongated triangular cupola
J19 Elongated square cupola
      (diminished rhombicuboctahedron)
J20 Elongated pentagonal cupola
J21 Elongated pentagonal rotunda
J22 Gyroelongated triangular cupola
J23 Gyroelongated square cupola
J24 Gyroelongated pentagonal cupola
J25 Gyroelongated pentagonal rotunda
J27 Triangular orthobicupola
       (gyrate cuboctahedron)
J28  Square orthobicupola
J29 Square gyrobicupola
J30 Pentagonal orthobicupola
J31 Pentagonal gyrobicupola
J32 Pentagonal orthocupolarotunda
J33 Pentagonal gyrocupolarotunda
J34 Pentagonal orthobirotunda
       (gyrate icosidodecahedron)
J35 Elongated triangular orthobicupola
J36 Elongated triangular gyrobicupola
J37 Elongated square gyrobicupola
      (gyrate rhombicuboctahedron)
J38 Elongated pentagonal orthobicupola
J39 Elongated pentagonal gyrobicupola
J40 Elongated pentagonal orthocupolarotunda
J41 Elongated pentagonal gyrocupolarotunda
J42 Elongated pentagonal orthobirotunda
J43 Elongated pentagonal gyrobirotunda
J44 Gyroelongated triangular bicupola
J45 Gyroelongated square bicupola
J46 Gyroelongated pentagonal bicupola
J47 Gyroelongated pentagonal cupolarotunda
J48 Gyroelongated pentagonal birotunda
J49 Augmented triangular prism
J51 Triaugmented triangular prism
J58  Augmented dodecahedron
J59 Parabiaugmented dodecahedron
J60 Metabiaugmented dodecahedron
J61 Triaugmented dodecahedron
J62 Metabidiminished icosahedron
J63 Tridiminished icosahedron
J64 Augmented tridiminished icosahedron
J84 Snub disphenoid
J85 snub square antiprism
J91 Bilunabirotunda
J92 Triangular hebesphenorotunda


Die Körper der Reihe nach    top

J1 Quadratpyramide 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (5, 8, 5, 4, 1, 0, 0, 0, 0)

durchsichtig

undurchsichtig

Netz


Das sind vier besondere Ansichten des Körpers.

Die Grundfläche liegt
parallel zur Zeichenebene.

Die Grundfläche liegt
senkrecht zur Zeichenebene.


Zwei Dreiecke liegen 
senkrecht zur Zeichenebene.

Ein Dreieck liegt
parallel zur Zeichenebene.


Oberfläche und Volumen
Ist die Kantenlänge mit a gegeben, so gilt V = (1/6)sqrt(2)a³ und O = [1+sqrt(3)]a².
Die gerundeten Werte sind V = 0,24a³ und O = 2,73a².

Beziehung zum Oktaeder
... Ein Oktaeder wird gebildet von zwei Quadratpyramiden.

J2 Fünfeckpyramide
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (6, 10, 6, 5, 0, 1, 0, 0, 0


Das sind vier besondere Ansichten des Körpers.

Die Grundfläche liegt
parallel zur Zeichenebene.

Die Grundfläche liegt
senkrecht zur Zeichenebene.

Zwei Dreiecke liegen 
senkrecht zur Zeichenebene.

Zwei Dreiecke liegen 
senkrecht zur Zeichenebene.


Oberfläche und Volumen
Ist die Kantenlänge mit a gegeben, so gilt V/a³ = (1/24)sqrt[5+sqrt(5)]   und O/a² = (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]+(5/4)sqrt(3)
Die gerundeten Werte sind V = 0,30a³ und O = 3,89a².

Beziehung zum Ikosaeder
......
Ein Ikosaeder wird gebildet von einem fünfseitigen Antiprisma und zwei Kappen in Form von Fünfeckpyramiden.

Was ist eine Kuppel?
...... Im landläufigen Verständnis ist die Kuppel eine Halbkugel, die einen Raum oben abschließt. 


In der Geometrie ist die Kuppel eher ein von regelmäßigen Vielecken gebildeter mathematischer Körper, der wie eine Kuppel aussieht. 
...... Es gibt die Dreieckskuppel, die Quadratkuppel und die Fünfeckskuppel. Zwischen ihnen liegt ein Band aus Dreiecken und Quadraten. 

Ist die Deckfläche ein n-Eck, so ist die Grundfläche ein (2n)-Eck.

J03 Dreieckskuppel
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (9, 15, 8, 4, 3, 0, 1, 0, 0)


...... ...... Ein Netz kann man so anlegen, dass entweder die Grundfläche oder die Deckfläche isoliert ist. 

Besondere Ansichten
Die rot gekennzeichneten Elemente liegen vorne.

Oberfläche und Volumen
Ist die Kantenlänge mit a gegeben, so gilt V = [(5/6)sqrt(2)]a³ und O = [3+(5/2)sqrt(3)]a².
Die gerundeten Werte sind V = 1,18a³ und O = 7,33a².

Beziehung zum Kuboktaeder
...edron03.gif... Ein Kuboktaeder wird von zwei Dreieckskuppeln gebildet. 
Dazu halbiert man in der Sechseck-Ebene.

J04 Quadratkuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (12, 20, 10, 4, 5, 0, 0, 1, 0)


Netze

Das Quadrat ist isoliert.

 

Das Achteck ist isoliert.


Das sind vier besondere Ansichten des Körpers.

Grund- und Deckfläche liegen
parallel zur Zeichenebene.

Grund- und Deckfläche liegen 
senkrecht zur Zeichenebene.

Drei Kanten liegen
übereinander.

Zwei Quadrate liegen 
senkrecht zur Zeichenebene.


Oberfläche und Volumen
Ist die Kantenlänge mit a gegeben, so gilt V = [1+(2/3)sqrt(2)]a³ und O = [7+2sqrt(2)+sqrt(3)]a².
Die gerundeten Werte sind V=1,94a³ und O=11,56a².

Beziehung zum Rhombenkuboktaeder
...... Das Rhombenkuboktaeder besteht aus einem achtseitigen Prisma, auf das zwei Quadratkuppeln gesetzt werden. 

J05 Fünfeckskuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (15, 25, 12, 5, 5, 1, 0, 0, 1)


Netze

Das Fünfeck ist isoliert.

Das Zehneck ist isoliert.

Das sind vier besondere Ansichten des Körpers. 

Die Grundfläche liegt
parallel zur Zeichenebene.

Zwei Dreiecke liegen
senkrecht zur Zeichenebene
und 
zwei Kanten fallen zusammen.

Die Grundfläche liegt
senkrecht zur Zeichenebene
und 
vier Eckpunkte fallen zusammen.


Die Grundfläche liegt
parallel zur Zeichenebene
und 
die Kanten fallen zusammen.

Volumen und Oberfläche
... gerundet:
O=16,58a², V=2,32a³

Beziehung zum kleinen Rhombenikosidodekaeder
...... Beim kleinen Rhombenikosidodekaeder gehört zu jedem Fünfeck eine Fünfeckkuppel. Zwei Kuppeln liegen sich jeweils gegenüber. 
Danach besteht der Körper aus 12 ineinander geschachtelten Fünfeckkuppeln.

J06 Fünfecksrotunde 
...
Oben wurden drei Kuppeln vorgestellt. Die vierte Kuppel heißt wohl wegen der aufwändig gestalteten Kuppel Rotunde, genauer Fünfecksrotunde. So kann man zwei Kuppeln mit gleicher Deckfläche voneinander unterscheiden.


Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (20, 35, 17, 10, 0, 6, 0, 0, 1)

Es gibt besondere Ansichten der Fünfecksrotunde. Die rot gezeichneten Elemente liegen vorne.

Volumen und Oberfläche
... gerundet:
O = 22,36a², V = 6,92a³

Beziehung zum Ikosidodekaeder
......... Ein Ikosidodekaeder wird von zwei Fünfecksrotunden gebildet.

J08  Verlängerte Quadratpyramide 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (9, 16, 9, 4, 5, 0, 0, 0, 0)


J11 Verdreht verlängerte Fünfeckpyramide
(e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (11, 25, 16, 15, 0, 1, 0, 0, 0 )


J12 Triangulare Bipyramide 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (5, 9, 6, 6, 0, 0, 0, 0, 0)
...


...... Der Körper entsteht, indem man ein Tetraeder an der Grundfläche spiegelt.

Die triangulare Bipyramide gehört zu den acht konvexen Deltaedern.

J13 Pentagonale Bipyramide 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (7, 15, 10, 10, 0, 0, 0, 0, 0)
...


...... Der Körper entsteht, indem man die regelmäßige fünfseitige Pyramide an der Grundfläche spiegelt.
Die pentagonale Bipyramide gehört zu den acht konvexen Deltaedern.

J15 Verlängerte tetragonale Bipyramide
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (10, 20, 12, 8, 4, 0, 0, 0, 0)


J16 Verlängerte pentagonale Bipyramide      top
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (12, 25, 15, 10, 5, 0, 0, 0, 0)


J17 Verdreht verlängerte Quadratbipyramide 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (10, 24, 16, 16, 0, 0, 0, 0, 0)
...


......
Der Körper hat acht gleichseitige Dreiecke, die zu einem Antiprisma gehören. 
Auf das Antiprisma werden zwei quadratische Pyramiden gesetzt.

Die verdreht verlängerte Quadratbipyramide gehört zu den acht konvexen Deltaedern.

J18 Verlängerte Dreieckskuppel top
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (15, 27, 14, 4, 9, 0, 1, 0, 0)
...


J19 Verlängerte Quadratkuppel          (beschnittenes kleines Rhombenkuboktaeder)
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (20, 36, 18, 4, 13, 0, 0, 1, 0)
...


J20 Verlängerte Fünfeckskuppel
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (25, 45, 22, 5, 15, 1, 0, 0, 1)
...


J21  Verlängerte Fünfecksrotunde
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (30, 55, 27, 10, 10, 6, 0, 0, 1)
...


J22  Verdreht verlängerte Dreieckskuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (15, 33, 20, 16, 3, 0, 1, 0, 0)
...


J23 Verdreht verlängerte Quadratkuppel
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (20, 44, 26, 20, 5, 0, 0, 1, 0)
...


J24 Verdreht verlängerte Fünfeckskuppel
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (25, 55, 32, 25, 5, 1, 0, 0, 1)
...


J25 Verdreht verlängerte Fünfecksrotunde
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (30, 65, 37, 30, 0, 6, 0, 0, 1)
...


J27 Dreiecksdoppelkuppel     (verdrehtes Kuboktaeder)
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (12, 24, 14, 8, 6, 0, 0, 0, 0)
...


J28 Quadratdoppelkuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (16, 32, 18, 8, 10, 0, 0, 0, 0)
...


J29  verdrehte Quadratdoppelkuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (16, 32, 18, 8, 10, 0, 0, 0, 0)
...


J30 Fünfecksdoppelkuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (20, 40, 22, 10, 10, 2, 0, 0, 0)
...


J31 verdrehte Fünfecksdoppelkuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (20, 40, 22, 10, 10, 2, 0, 0, 0)
...


J32 Fünfeckskuppelrotunde
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (25, 50, 27, 15, 5, 7, 0, 0, 0)
...


J33 Verdrehte Fünfeckskuppelrotunde 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (25, 50, 27, 15, 5, 7, 0, 0, 0)
...


J34 Fünfecksdoppelrotunde     (verdrehtes Ikosidodekaeder)
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (30, 60, 32, 20, 0, 12, 0, 0, 0)
...


J35 Verlängerte Dreiecksdoppelkuppel
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (18, 36, 20, 8, 12, 0, 0, 0, 0)
...


J36 Verlängerte verdrehte Dreiecksdoppelkuppel
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (18, 36, 20, 8, 12, 0, 0, 0, 0)
...
Die beiden Kuppeln sind gegeneinander gedreht.


J37    Verlängerte verdrehte Quadratsdoppelkuppel     (verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder)
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (24, 48, 26, 8, 18, 0, 0, 0, 0)
...


J38 Verlängerte Fünfecksdoppelkuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (30, 60, 32, 10, 20, 2, 0, 0, 0 )
...


J39 Verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelkuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (30, 60, 32, 10, 20, 2, 0, 0, 0)
...


J40 Verlängerte Fünfeckskuppelrotunde
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (35, 70, 37, 15, 15, 7, 0, 0, 0)
...


J41 Verlängerte verdrehte Fünfeckskuppelrotunde 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (35, 70, 37, 15, 15, 7, 0, 0, 0 )
...


J42 Verlängerte Fünfecksdoppelrotunde 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (40, 80, 42, 20, 10, 12, 0, 0, 0)
...


J43 Verlängerte verdrehte Fünfecksdoppelrotunde 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (40, 80, 42, 20, 10, 12, 0, 0, 0)
...


J44 Verdreht verlängerte Dreiecksdoppelkuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (18, 42, 26, 20, 6, 0, 0, 0, 0)
...
Zwischen den beiden Dreieckskuppeln liegt ein Ring aus gleichseitigen Dreiecken.


J45 Verdreht verlängerte Quadratdoppelkuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (24, 56, 34, 24, 10, 0, 0, 0, 0)
...


J46 Verdreht verlängerte Fünfecksdoppelkuppel 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (30, 70, 42, 30, 10, 2, 0, 0, 0)
...


J47 Verdreht verlängerte Fünfeckskuppelrotunde 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (35, 80, 47, 35, 7, 0, 0, 0)
...


J48 Verdreht verlängerte Fünfecksdoppelrotunde 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (40,  90,  52, 40, 0, 12, 0, 0, 0)
...


J49 Erweitertes dreieckiges Prisma 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (7, 13, 8, 6, 2, 0, 0, 0 ,0)
...


J 51 Dreifach erweitertes Dreiecksprisma 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (9, 21, 14, 14, 0, 0, 0, 0, 0)
...


...... Der Körper besteht aus einem Dreiecksprisma (grün), auf dessen Quadrate quadratische Pyramiden (rot) aufgesetzt werden.
Das dreifach erweiterte Dreiecksprisma gehört zu den acht konvexen Deltaedern.

J58 Erweitertes Dodekaeder
(e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (21, 35, 16, 5, 0, 11, 0, 0, 0)
...... ...... Dem Körper liegt ein Pentagondodekader zugrunde. 

Auf eine Seitenflächen wird eine fünfseitige Pyramide gesetzt.


J59 Doppelt erweitertes Dodekaeder (para)
(e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (22, 40, 20, 10, 0, 10, 0, 0, 0)
......
...... Dem Körper liegt ein Pentagondodekader zugrunde. 

Auf zwei gegenüberliegende Seitenflächen wird eine fünfseitige Pyramide gesetzt.


J60 Doppelt erweitertes Dodekaeder (meta)
(e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (22, 40, 20, 10, 0, 10, 0, 0, 0)
......
......
Dem Körper liegt ein Pentagondodekader zugrunde. 

Auf zwei nicht gegenüberliegende Seitenflächen wird eine fünfseitige Pyramide gesetzt.


J 61 Dreifach erweitertes Dodekaeder
(e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (23, 45, 24, 15, 0, 9, 0, 0, 0)
... ... ... ... Dem Körper liegt ein Pentagondodekader zugrunde. 

Auf drei Seitenflächen wird eine fünfseitige Pyramide gesetzt.


J 62 Doppelt beschnittenes Ikosaeder (meta)
(e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (10, 20, 12, 10, 0, 2, 0, 0, 0)
..... ......
Das Ikosaeder enthält innen 12 Fünfecke.

Man beschneidet es so, dass zwei Fünfecke außen liegen.


J63 Dreifach beschnittenes Ikosaeder
(e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (9, 15, 8, 5, 0, 3, 0, 0, 0)
...... ... ... Das Ikosaeder enthält innen 12 Fünfecke. 

Man beschneidet es so, dass drei Fünfecke außen liegen.


J 64 Erweitertes dreifach beschnittenes Ikosaeder
(e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (10, 18, 10, 7, 0, 3, 0, 0, 0)
......
......
Auf das dreifach beschnittene Ikosaeder J63 wird ein Tetraeder gesetzt.


J84 Trigondodekaeder 
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (8, 18, 12, 12, 0, 0, 0, 0, 0)
...


... Zeichnet man eine rote Linie ein, so liegt links ein Oktaeder, rechts lehnen sich drei Tetraeder an. Die Körper sind aber nicht regelmäßig, sondern verbogen. 

Das Trigondodekaeder gehört zu den acht konvexen Deltaedern.

J85 Abgeschrägtes quadratisches Antiprisma
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (16, 40, 26, 24, 2, 0, 0, 0, 0)
Bei diesem Körper liegt zwischen zwei quadratischen Grundflächen ein Geflecht aus 24 gleichseitigen Dreiecken. 
 


Besondere Ansichten

Die Quadrate erscheinen als Strecken.

durchsichtig

undurchsichtig
Die Quadrate liegen parallel zur Zeichenebene.

J91 Bilunadoppelrotunde
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (14, 26, 14, 8, 2, 4, 0, 0, 0)
Zwei Ansichten
 




J92 Dreieckshebosphenorotunde
Daten: (e, k, f, A3, A4, A5, A6, A8, A10) = (18, 36, 20, 13, 3, 3, 1, 0, 0)
Zwei Ansichten
 



Ordnen der Kuppeln top
Das sind noch einmal die Kuppeln, nämlich die Dreieckskuppel, die Quadratkuppel, die Fünfeckskuppel und die Fünfecksrotunde. 
Aus ihnen bildet man etliche neue Körper.


Sieben Körper gehen aus der Dreieckskuppel hervor. 


Die beiden untereinander stehenden Körper haben das Prisma in der Mitte und die Kappen gemeinsam, nur dass die Kappen in sich gedreht sind.


Sieben Körper gehen aus der Quadratkuppel hervor.


Acht Körper gehen aus der Fünfeckskuppel hervor.



Sieben Körper gehen aus der Fünfecksrotunde hervor.


Fünf Körper sind Kombinationen von Fünfeckskuppel und Fünfecksrotunde.


Johnson-Körper im Internet     top

Deutsch

Christian Groß (Universität Augsburg)
Raumgeometrie   (.pdf-Datei)

Werner Brefeld
Geodätische Kuppeln

Wikipedia
Johnson-Körper, Geodätische Kuppel, Kuppel, Norman Johnson (Mathematiker)
Englisch

Eric W.Weisstein
Johnson Solid, Triangular CupolaSquare CupolaPentagonal CupolaPentagonal Rotunda
Geodesic Dome

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Bilder dieser Seite entstanden mit diesem Programm.

Wikipedia
Johnson solid, Triangular cupola, Square cupola, Pentagonal cupola, Pentagonal rotunda, Geodesic dome, Dome
Norman_Johnson (mathematician)

WolframAlpha 
triangular cupolasquare cupolapentagonal cupola, pentagonal rotunda

Youtube  (8zz8)
92 Johnson Solids


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©  2015 Jürgen Köller

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