Einfach geschlossene Kurven
Inhalt dieser Webseite
Was ist eine einfach geschlossene Kurve?
Freihandzeichnungen
Zusammengesetzte Kurven
Über den Kreis
Variationen der Kreisgleichung
Kurven in Parameterdarstellungen
Kurven mit Polarkoordinaten
Kurven mit einem Parameter
Kurven mit einer Störung 
Spiegelung an einer Geraden
Kurven n-ter Ordnung
Mechanisch erzeugte Kurven
Klassiker
Pathologische Kurven
Referenzen
Geschlossene Kurven im Internet
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist eine einfach geschlossene Kurve?
...... Im Unterschied zur offenen Kurve hat die einfach geschlossene Kurve keinen Anfang und kein Ende. 

Sie erzeugt ein zusammenhängendes Gebiet in der euklidischen Ebene.
 

Ebene Kurven dieser Art heißen genauer geschlossene Jordankurven, vornehmlich, wenn sie glatt sind. Durch sie wird nach dem  Jordanschen Kurvensatz die euklidische Ebene in einen inneren und äußeren Bereich aufgeteilt.


Es folgen bekannte Kurven dieser Art.

Quadrat

Kreis

Ellipse

Eilinien

Herzkurve

Strophoide mit x<=0

Auf dieser Seite stelle ich etliche einfache Methoden dar, geschlossene Kurven zu erzeugen. 

Freihandzeichnungen (1. Methode)   top
...... Eine einfache Art, eine beliebige geschlossene Kurve zu zeichnen, ist die Freihandskizze. 
So kann man sicherstellen, dass sie keine besonderen Eigenschaften hat.
Die Kurve wurde mit dem Programm MS-Paint gezeichnet, das Bézierkurven zeichnen kann. 


...... Geschlossene Kurven sind manchmal als solche gar nicht so leicht zu erkennen. 

Diesen Hinweis fand ich in dem Büchlein (2). 


Zusammengesetzte Kurven   (2. Methode)top
Kurvenstücke werden so zusammengestellt, dass eine geschlossene Kurve entsteht.

Oval aus vier Kreisbögen

Eilinie aus zwei Ellipsen

Herzkurve 
aus zwei Strecken und zwei Halbkreisen


Über den Kreis top
Der Kreis ist eine einfach geschlossene Kurve. Er führt zu verschiedene Methoden, Kurven zu zeichnen.

Der Kreis wird auf die unterschiedlichen Weisen (1), (2) und (3) in Koordinatensystemen beschrieben.
...... Es sei P ein beliebiger Punkt des Kreises mit dem Radius R, der in der Mittelpunktslage gegeben ist. 
Drei Darstellungen des Kreises folgen.
(1) Koordinatengleichung: x²+y² = R² oder [y = sqr(R²-x²) und y = -sqr(R²-x²)],
(2) Parametergleichungen: x(t) = R*cos(t), y(t) = R*sin(t),
(3) Polargleichung: r(t) = R.
In der (einfachen) Polargleichung (3) wird ein Punkt durch das Paar (Radius OP, Winkel t) angegeben. Der Radius ist die Entfernung des Punktes vom Nullpunkt (0|0). Der Winkel liegt zwischen dem Radius und der positiven x-Achse, sein Scheitel im Nullpunkt.


Variationen der  Mittelpunktsgleichung des Kreises    (3. Methode)    top
Es können geschlossene Kurven entstehen, wenn die Summe zweier positiver Terme in x und y konstant ist.

x²+y²=r²

x4+y4=1

x2+y4=1

x4+4y4=1

|x|+|y|=2

x²+|y|=1


Kurven in Parameterdarstellungen (4. Methode)    top
...... Wie erwähnt, hat der Kreis die Parameterdarstellung 
x(t) = R*cos(t) und
y(t) = R*sin(t).

Diese Gleichungen werden abgeändert. 


Trifolium 
Deltoid
Quadrifolium
Astroide

Kurven mit Polarkoordinaten (5. Methode)     top
Bei der Suche nach dreistrahligen Figuren stieß ich auf geschlossene Kurven in Polarkoordinaten.




Die Gleichungen haben den gleichen Aufbau. Sie enthalten eine konstante Zahl und einen Term, der den Sinus oder Kosinus enthält und damit einen periodischen Verlauf sicherstellt. Die Dreistrahligkeit wird durch den Faktor 3 in 3t gesichert.

Für das Beispiel r(t)=2+cos(3t)+sin(3t) wird der Weg illustriert. Ausgang ist der Kreis mit R=2.

r(t)=sin(3t)+cos(3t)

r(t)=2

r(t)=2+sin(3t)+cos(3t)

r(t)=3+sin(3t)+cos(3t)
Eine Rosette wird durch einen Kreis geweitet. - Der Definitionsbereich ist jeweils 0<=t<=2*pi.

Hier ist ein weites Feld zum Experimentieren.

Kurven mit einem Parameter    (6. Methode)      top
Die Methode wird anhand einer Kurve dritten Grades mit der Gleichung y²=-x³+2x+b erklärt. 
Für b=10 ergibt sich eine Schlaufe, die sich mit fallendem Parameter b immer mehr einschnürt und zu einer geschlossenen Kurve führt. 

y²=-x³+2x+10

y²=-x³+2x+2

y²=-x³+2x+1
Entdeckt man also Schlaufen, kann man oft einen Parameter so ändern, dass geschlossene Kurven entstehen.


Kurven mit einer Störung    (7. Methode)      top
Es entstehen auch geschlossene Kurven, wenn man Gleichungen, die Schleifen beschreiben, mit einem Summanden stört. Der Summand ist klein gegenüber 1.
Szegö-Kurve

x²+y²=e2x-2

x²+y²+0,02=e2x-2
Kartesisches Blatt

x³+y³=3xy

x³+y³+0,06=3xy


Spiegelung an einer Geraden (8. Methode)    top
...... Spiegelt man nicht gerade Linien an einer Geraden, so können symmetrische Figuren entstehen, deren Randkurven geschlossen sind. 
Als Beispiel dienen Kreisbögen.


Diese Methode kann man auf Funktionen übertragen, indem man den Graphen im Bereich zwischen zwei Nullstellen an der x-Achse spiegelt.

f(x)=sin(x)

f(x)=-sin(x) /\ f *(x)=-sin(x)

D={x|0<=x<=pi}


Im nächsten Kapitel wird die Geradenspiegelung auf spezielle Funktionen angewandt. 

Kurven n-ter Ordnung  (9. Methode)    top
Es geht zunächst um Kurven dritter Ordnung mit der Gleichung y²=ax³+bx²+cx+d.

Hat die Funktion mit f(x)=ax³+bx²+cx+d drei Nullstellen, so entstehen eine Maximal- und Minimalstelle. Geht man zur Wurzelfunktion g(x)=sqrt(ax³+bx²+cx+d) über, so ist diese nur definiert, wenn der Graph von f oberhalb der x-Achse liegt. Spiegelt man den Graphen von g an der x-Achse, so entsteht eine geschlossene Kurve. Das illustriert das folgende Beispiel.

f(x) = x(x-1)(x+1) = x³-x 

g(x) = sqrt[x³-x]

y² = x³-x
Die Relation y² = x³-x  gehört zu den elliptischen Kurven.


Die Methode funktioniert auch mit algebraischen Gleichungen der Form y²=ax4+bx3+cx2+dx+e. Die zugehörigen Kurven vierter Ordnung können geschlossen sein. Auch hier kommt man  zu ihnen über Nullstellen.

y=(x²-4)(x²-1)

y= sqrt[(x²-4)(x²-1)]

y= sqrt[(x²-4)(x²-1)] /\ y= -sqrt[(x²-4)(x²-1)]
y²-(x²-4)(x²-1)=0

Diese Überlegungen gehen auf eine Zuschrift von Ionel Dancescu aus Hunedoara/Rumänien zurück.
Er erzeugt zahlreiche Kurven mit Hilfe der Gleichung y4-2u(u+1)y2+u2(u-1)2=0, wobei für u gewisse Funktionen wie u(x)=a²-x² einzusetzen sind. Hier wird der einfache Fall (y-u)²-u=0 mit u(x)=1-x² dargestellt.
... (y+x²-1)² + x² - 1 = 0........................................

Mechanisch erzeugte Kurven (10. Methode)    top
Bekannt sind die Zeichnung eines Kreises mit einem Zirkel und die Gärtnerkonstruktion der Ellipse.

Kreislinie

Ellipse



Mehr zu den Zeichnungen findet man auf meinen Seiten Ellipse und Eilinien.

Klassiker      top
Es gibt eine Reihe geschlossener Kurven, die eine Rolle in der Mathematik spielten und spielen. Neben den oben genannten Kurven Kreis, Ellipse, Eilinie, Herzkurve, Strophoide, Trifolium, Deltoid, Quadrifolium und Astroide passen noch die folgenden Bilder in diese Sammlung.

Kardioide

Bogendreieck

Bohnenkurve
Die Liste wird z.B. bei MathWorld (URL unten) weitergeschrieben.


Pathologische Kurven  top
Geschlossene Kurven scheinen einfach und anschaulich zu sein. 
Die beiden folgenden Fraktale zeigen jedoch Merkwürdigkeiten, die man bei ihnen nicht erwartet hätte. 


Koch-Kurve
Sind A und U der Flächeninhalt und der Umfang des Ausgangsdreiecks, so strebt der Flächeninhalt der Koch-Kurve für n gegen Unendlich gegen (8/5)A. Der Umfang wächst über alle Grenzen.

Sierpinski-Kurve (Variation)
Sind A und U der Flächeninhalt und der Umfang des Ausgangsquadrates, so strebt der Flächeninhalt der Sierpinski-Kurve für n gegen Unendlich gegen (5/12)A. (gefunden bei http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiCurve.html, Herleitung?).


Oben wird eine unübersichtliche Kurve gezeigt. Hier ist der Nachweis, dass die Kurve geschlossen ist.

Geschlossene Kurve

Inneres Gebiet

Äußeres Gebiet

Referenzen     top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 
(2) F.L. Bauer, Einladung zur Mathematik, Deutsches Museum, München (ISBN 3-924-18349-X] 



Etliche Zeichnungen stammen von meinen Seiten Dreistrahlige Figuren, Eilinien, Ellipse, Gerade Strophoide, Gleichdick, Herzkurven, Kreis, Kurven im Polarkoordinatensystem, Quadrat und Vierstrahlige Figuren.

Geschlossene Kurven im Internet      top

Deutsch

Wikipedia
Jordanscher Kurvensatz, Kurve (Mathematik)Elliptische Kurve

Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Jordan Curve, Jordan Curve Theorem, Algebraic Curve
Closed curves:
Arbelos
Astroid
Baseball Cover
Bean Curve
Bicorn
Bicuspid Curve
Cardioid
Cassini Ovals
Circle
Deltoid
Ellipse
Elliptic Curve
Ellipse Evolute
Epicycloid
Epicycloid
Folium
Heart Curve
Hippopede
Hypocycloid
Lemon
Lens
Limacon
Lune
Moss's Egg
Nephroid
Oval
Piriform
Ranunculoid
Reuleaux Polygon
Reuleaux Triangle
Rounded Rectangle
Salinon
Sierpinski Curve
Spiric Section
Stadium
Superellipse
Teardrop Curve
Yin-Yang
.
.
.
.
.
.
.

Richard Parris (peanut Software) 
Program WINPLOT

Wikipedia
CurveMandelbrot setJordan curve theoremAlgebraic equationElliptic curveBicornEdwards curve

The Wolfram Demonstrations Project
Plotting Closed Curves with a Four Bar Linkage


Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2010 Jürgen Köller

top