Was ist eine einfach geschlossene Kurve?

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Im Unterschied zur offenen Kurve hat die einfach geschlossene Kurve keinen Anfang und kein Ende.  Sie erzeugt ein zusammenhängendes Gebiet in der euklidischen Ebene.

Ebene Kurven dieser Art heißen genauer geschlossene Jordankurven, vornehmlich, wenn sie glatt sind. Durch sie wird nach dem  Jordanschen Kurvensatz die euklidische Ebene in einen inneren und äußeren Bereich aufgeteilt.

Quadrat

Kreis

Ellipse

Eilinien

Herzkurve

Strophoide mit x<=0

Freihandzeichnungen (1. Methode)   top

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Eine einfache Art, eine beliebige geschlossene Kurve zu zeichnen, ist die Freihandskizze.  So kann man sicherstellen, dass sie keine besonderen Eigenschaften hat. Die Kurve wurde mit dem Programm MS-Paint gezeichnet, das Bézierkurven zeichnen kann.

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Geschlossene Kurven sind manchmal als solche gar nicht so leicht zu erkennen.  Diesen Hinweis fand ich in dem Büchlein (2).

Zusammengesetzte Kurven   (2. Methode)top
Kurvenstücke werden so zusammengestellt, dass eine geschlossene Kurve entsteht.

Oval aus vier Kreisbögen

Eilinie aus zwei Ellipsen

Herzkurve  aus zwei Strecken und zwei Halbkreisen

Über den Kreis top
Der Kreis ist eine einfach geschlossene Kurve. Er führt zu verschiedene Methoden, Kurven zu zeichnen.

Der Kreis wird auf die unterschiedlichen Weisen (1), (2) und (3) in Koordinatensystemen beschrieben.

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Es sei P ein beliebiger Punkt des Kreises mit dem Radius R, der in der Mittelpunktslage gegeben ist.  Drei Darstellungen des Kreises folgen. (1) Koordinatengleichung: x²+y² = R² oder [y = sqr(R²-x²) und y = -sqr(R²-x²)], (2) Parametergleichungen: x(t) = R*cos(t), y(t) = R*sin(t), (3) Polargleichung: r(t) = R.

In der (einfachen) Polargleichung (3) wird ein Punkt durch das Paar (Radius OP, Winkel t) angegeben. Der Radius ist die Entfernung des Punktes vom Nullpunkt (0|0). Der Winkel liegt zwischen dem Radius und der positiven x-Achse, sein Scheitel im Nullpunkt.

Variationen der  Mittelpunktsgleichung des Kreises    (3. Methode)    top
Es können geschlossene Kurven entstehen, wenn die Summe zweier positiver Terme in x und y konstant ist.

x²+y²=r²

x4+y4=1

x2+y4=1

x4+4y4=1

|x|+|y|=2

x²+|y|=1

Kurven in Parameterdarstellungen (4. Methode)  top

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Wie erwähnt, hat der Kreis die Parameterdarstellung  x(t) = R*cos(t) und y(t) = R*sin(t). Diese Gleichungen werden abgeändert.

Deltoid

dreistrahlige Epizykloide

Astroide

vierstrahlige Epizykloide

Kurven mit Polarkoordinaten (5. Methode)   top
Bei der Suche nach dreistrahligen Figuren stieß ich auf geschlossene Kurven in Polarkoordinaten.

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r(t)=sin(3t)+cos(3t)

r(t)=2

r(t)=2+sin(3t)+cos(3t)

r(t)=3+sin(3t)+cos(3t)

Kurven mit einem Parameter    (6. Methode)      top
Die Methode wird anhand einer Kurve dritten Grades mit der Gleichung y²=-x³+2x+b erklärt. 
Für b=10 ergibt sich eine Schlaufe, die sich mit fallendem Parameter b immer mehr einschnürt und zu einer geschlossenen Kurve führt. 

y²=-x³+2x+10

y²=-x³+2x+2

y²=-x³+2x+1

Entdeckt man also Schlaufen, kann man oft einen Parameter so ändern, dass geschlossene Kurven entstehen.

Kurven mit einer Störung    (7. Methode)      top
Es entstehen auch geschlossene Kurven, wenn man Gleichungen, die Schleifen beschreiben, mit einem Summanden stört. Der Summand ist klein gegenüber 1.

Szegö-Kurve x²+y²=e2x-2

x²+y²+0,02=e2x-2

Kartesisches Blatt x³+y³=3xy

x³+y³+0,06=3xy

Spiegelung an einer Geraden (8. Methode)  top

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Spiegelt man nicht gerade Linien an einer Geraden, so können symmetrische Figuren entstehen, deren Randkurven geschlossen sind.  Als Beispiel dienen Kreisbögen.

f(x)=sin(x)

f(x)=-sin(x) /\ f *(x)=-sin(x)

D={x|0<=x<=pi}

Kurven n-ter Ordnung (9. Methode)    top
Es geht zunächst um Kurven dritter Ordnung mit der Gleichung y²=ax³+bx²+cx+d.

Hat die Funktion mit f(x)=ax³+bx²+cx+d drei Nullstellen, so entstehen eine Maximal- und Minimalstelle. Geht man zur Wurzelfunktion g(x)=sqrt(ax³+bx²+cx+d) über, so ist diese nur definiert, wenn der Graph von f oberhalb der x-Achse liegt. Spiegelt man den Graphen von g an der x-Achse, so entsteht eine geschlossene Kurve. Das illustriert das folgende Beispiel.

f(x) = x(x-1)(x+1) = x³-x

g(x) = sqrt[x³-x]

y² = x³-x

Die Relation y² = x³-x  gehört zu den elliptischen Kurven.

y=(x²-4)(x²-1)

y= sqrt[(x²-4)(x²-1)]

y= sqrt[(x²-4)(x²-1)] /\ y= -sqrt[(x²-4)(x²-1)] y²-(x²-4)(x²-1)=0

...	(y+x²-1)² + x² - 1 = 0........................................

Mechanisch erzeugte Kurven (10. Methode)  top
Bekannt sind die Zeichnung eines Kreises mit einem Zirkel und die Gärtnerkonstruktion der Ellipse.

Kreislinie

Ellipse

Klassiker    top
Es gibt eine Reihe geschlossener Kurven, die eine Rolle in der Mathematik spielten und spielen. Neben den oben genannten Kurven Kreis, Ellipse, Eilinie, Herzkurve, Strophoide, Trifolium, Deltoid, Quadrifolium und Astroide passen noch die folgenden Bilder in diese Sammlung.

Kardioide

Bogendreieck

Bohnenkurve

Die Liste wird z.B. bei MathWorld (URL unten) weitergeschrieben.

Pathologische Kurven top
Geschlossene Kurven scheinen einfach und anschaulich zu sein. 
Die beiden folgenden Fraktale zeigen jedoch Merkwürdigkeiten, die man bei ihnen nicht erwartet hätte. 

Geschlossene Kurve

Inneres Gebiet

Äußeres Gebiet

Referenzen   top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 
(2) F.L. Bauer, Einladung zur Mathematik, Deutsches Museum, München (ISBN 3-924-18349-X] 

Geschlossene Kurven im Internet      top

Deutsch

Wikipedia
Jordanscher Kurvensatz, Kurve (Mathematik),  Elliptische Kurve

Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Jordan Curve, Jordan Curve Theorem, Algebraic Curve
Closed curves:

Arbelos Astroid Baseball Cover Bean Curve Bicorn Bicuspid Curve Cardioid Cassini Ovals Circle

Deltoid Ellipse Elliptic Curve Ellipse Evolute Epicycloid Epicycloid Folium Heart Curve Hippopede

Hypocycloid Lemon Lens Limacon Lune Moss's Egg Nephroid Oval Piriform

Ranunculoid Reuleaux Polygon Reuleaux Triangle Rounded Rectangle Salinon Sierpinski Curve Spiric Section Stadium Superellipse

Teardrop Curve Yin-Yang . . . . . . .

Richard Parris (Freeware-Programme) 
winplot

Wikipedia
Curve, Mandelbrot set, Jordan curve theorem,  Algebraic equation,  Elliptic curve,  Bicorn, Edwards curve

The Wolfram Demonstrations Project
Plotting Closed Curves with a Four Bar Linkage