Ellipse
Inhalt dieser Webseite
Was ist eine Ellipse?
Mittelpunktsgleichung
Diskussion der Ellipsengleichung
Ellipsenscharen
Eine weitere Definition der Ellipse
Gerade und Ellipse
Ellipse zeichnen
Zwei weitere Formen der Ellipsengleichung
Flächeninhalt und Umfang
Sammlung von Aussagen zur Ellipse
Ellipse als Kegelschnitt
Ellipsen im Internet
Referenzen
.
Zur Hauptseite   "Mathematische Basteleien"

Was ist eine Ellipse?
...... Ein Ellipse besteht aus allen Punkten, deren Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten F1 und F2 gleich ist.

Die Summe ist in der Zeichnung s1+s2

Die beiden festen Punkte heißen Brennpunkte.


Mittelpunktsgleichung top
Mit diesem Ansatz gelangt man zu der "Mittelpunktsgleichung" der Ellipse: x²/a²+y²/b²=1.
Die Variablen a und b stehen für positive reelle Zahlen.


Herleitung der Mittelpunktsgleichung
.......
Die Entfernung der Brennpunkte sei 2e und a sei die Entfernung eines Ellipsenpunktes auf der Mittelsenkrechten der Brennpunkte von einem Brennpunkt. 

Es gilt s1+s2=sqrt[y²+(x+e)²]+sqrt[(y²+(x-e)²]
Ist x=0, so ist s1+s2=2a.

Somit ist sqrt[y²+(x+e)²]+sqrt[(y²+(x-e)²]=2a die Bestimmungsgleichung der Ellipse.

Durch zweimaliges Quadrieren werden die Wurzelterme entfernt. 
Die Gleichung heißt dann
a²x²-e²x²+a²y²+a²e²-(a²)²=0 
<=> (a²-e²)x²+a²y²=a²(a²-e²)
Führt man die Variable b über b²=a²-e² ein, so vereinfacht sich die Gleichung zu  b²x²+a²y²=a²b² oder x²/a²+y²/b²=1, wzbw.. 

Zahlenbeispiel
...... Die Gleichung heißt x²/9+y²/4=1. 

Der Definitionsbereich ist Dx={x |-3<=x<=3} und Dy={y |-2<=x<=+2}. 

Es gilt a=3 und b=2.


Diskussion der Ellipsengleichung top
Definitionsbereich
Die Gleichung x²/a²+y²/b²=1 ergibt, nach y aufgelöst, y=+(b/a)sqrt(a²-x²) und y=-(b/a)sqrt(a²-x²). 
Die Relation ist definiert für x²<=a² oder |x|<=a oder -a<= x <=a, denn für diese Werte ist der Term a²-x² unter der Wurzel nicht negativ. Die Ungleichung -a<= x <=a führt zu -b<= y <=b.
So ergibt sich |Dx={x |-a<=x<=a} und |Dy={y |-b<=x<=+b}. 


Deutung von a und b
...... Ist y=0, so ergeben sich aus  x²/a²+y²/b²=1 die x-Werte x=a oder x=-a. 
Das führt zu den Hauptscheitelpunkten S1(a|0) und S3(-a|0).
Ist x=0, so ergeben sich  aus  x²/a²+y²/b²=1 die y-Werte y=b oder y=-b. 
Das führt zu den Nebenscheitelpunkten S2(0|b) undS4(0|-b).
Im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt der Mittelpunkt M der Ellipse.
Die Variable a heißt große Halbachse, die Variable b kleine Halbachse.
Zur Entfernung der Brennpunkte 2e
...... Oben wurde für die Entfernung der Brennpunkte die Variable 2e eingeführt. 
Es gilt b²=a²-e² oder e²=a²-b². 
Die Gleichung x²/a²+y²/b²=1 führt dann für xe=e zu (a²-b²)/a²+y²/b²=1 oder ye=b²/a (oder ye=-b²/a).
Die Strecke ye=b²/a heißt Halbparameter p der Ellipse. 

Symmetrie
Da die Gleichung x²/a²+y²/b²=1 sich nicht ändert, wenn man x durch -x und/oder y durch -y ersetzt, ist die Ellipse symmetrisch bezüglich der Achsen. 

Ellipsenscharen   top
Alle Formen der Ellipse
...... Man erhält alle Formen der Ellipse, wenn man in x²/a²+y²/b²=1 die Halbachse a festhält und b alle positiven reellen Zahlen durchlaufen lässt. 

Das veranschaulicht die Zeichnung für a=3 und b=1, sqrt(2), 2 und 3.

Ist a=b, so artet die Ellipse zu einem Kreis aus.


Alle Lagen der Ellipse
Wird in einem Koordinatensystem das Symmetriezentrum nach S(x0|y0) verschoben, so führt das zu den Gleichungen (x-x0)²/a²+(y-y0)²/b²=1. 
Drehungen der Ellipsen werden unten im Kapitel "Ellipse als Kegelschnitt" angesprochen.

Ellipsen mit gleichen Brennpunkten
...... Aus x²/a²+y²/b²=1 wird x²/(e²+b²)+y²/b²=1, wenn man a²=e²+b² setzt.

In der nebenstehenden Zeichnung ist die Entfernung der Brennpunkte 2e=4 konstant und für die Halbachse gilt beispielsweise b=1, 2, 3 und 4.
 


Eine weitere Definition der Ellipse    top
Für die mit der Ellipse verwandte Parabel gilt der folgende kennzeichnende Satz. 
Alle Punkte, die von einer Gerade l und von einem Punkt F die gleiche Entfernung haben, liegen auf einer Parabel. Die Gerade heißt Leitlinie und der Punkt Brennpunkt.


Einen ähnlichen "notwendig und hinreichenden Satz" gibt es auch für die Ellipse. Da sind die Entfernungen nicht gleich, sondern sie stehen in einem konstanten Verhältnis zueinander. 
......
Man zeichnet parallel zur Achse eine Gerade im Abstand a²/e. 

Für den Ellipsenpunkt P(e|p) oberhalb des Brennpunktes F2 gilt 
PP1:PF2= (a²/e-e):p. Setzt man p=b²/e=(a²-e²)/e , so ist PP1:PF2=a:e.


...... Ist P ein beliebiger Ellipsenpunkt, und verbindet man ihn mit einem Brennpunkt und zeichnet zu ihm die Senkrechte zur "Leitlinie" l, so gilt auch PP1:PF2=a:e.

Herleitung
...... P sei ein beliebiger Ellipsenpunkt. Dann gilt s1+s2=2a.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt weiter y²=s1²-(e+x)² und y²=s2²-(e-x)². 
Daraus folgt s1²-(e+x)²=s2²-(e-x)² oder s1²-s2²=(e+x)²-(e-x)² oder s1²-s2²=4ex.
Wegen s1²-s2²=(s1+s2)(s1-s2) und s1+s2=2a ist 2a(s1-s2)=4ex oder s1-s2=2ex/a.
Die Gleichungen  s1-s2=2ex/a und s1+s2=2a führen zu x=(a²-s2a)/e.
Für den Abstand des Ellipsenpunktes von der Leitlinie gilt d=a²/e-x=a²/e-(a²-s2a)/e=as1/e.
Damit ergibt sich die Proportion d:s2=a:e. Das Verhältnis ist damit unabhängig von der Lage des Ellipsenpunktes und ist für alle Punkte gleich.
Es lässt sich in der Umkehrung zeigen, dass aus d/s2=a/e die Gleichung s1+s2=2a folgt.

Folglich könnte man die Ellipse auch so definieren.
Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die das Verhältnis ihres Abstands d von einer Leitlinie und ihrer Entfernung s von einem Brennpunkt einen konstanten Wert annimmt.
(5), Seite 329f.

Gerade und Ellipse top
...... Eine Ellipse und eine Gerade schneiden sich in zwei Punkten, in einem Punkt oder gar nicht.
Der Fall eines Schnittpunktes wird weiter verfolgt.


Tangentengleichung
......
Lautet die Ellipsengleichung x²/a²+y²/b²=1 und ist der Berührpunkt P(x1| y1), so ist die Gleichung der Tangente 
xx1/a²+yy1/b²=1 
Herleitung
>Die Ellipsengleichung ist in der Form  b²x²+a²y²=a²b² handlicher. 
Die Ableitung beider Seiten ergibt 2b²x+2a²yy'=0 oder nach y' aufgelöst y'=-(b²x)/(a²y). 
>Für eine Gerade gilt die Punktrichtungsform (y-y1)/(x-x1)=y'. Dabei ist P(x1| y1) der Berührpunkt und y' die Steigung der Ellipse im Punkte P. 
>Eine Kombination der Gleichungen führt zur Tangentengleichung (y-y1)/(x-x1)=-(b²x)/(a²y) und weiter zu xx1/a²+yy1/b²=1, wzbw..

Ellipse zeichnen  top
1.Fall: Gegeben sind die Brennpunkte der Ellipse und die große Halbachse a.
Fadenkonstruktion
...... >Befestige die Enden eines Fadens in den Punkten F1 und F2. Der Faden hat die Länge 2a.
>Stecke in die Schlaufe einen Stift und zeichne die Ellipse. Achte darauf, dass der Faden gespannt ist.
Diese Zeichnung wird durch die Definition der Ellipse erklärt.


2.Fall Gegeben sind die Halbachsen a und b.
Punktweise Konstruktion
...... >Zeichne in ein Koordinatensystem zwei konzentrische Kreise mit den Radien a und b.
  Die Mittelpunkte liegen im Nullpunkt des Koordinatensystems
>Zeichne einen Radius des großen Kreises ein. Er schneidet die Kreise in P1 und P2.
>Zeichne durch P1 eine Horizontale und durch P2 eine Vertikale.
>Bezeichne den Schnittpunkt dieser Geraden mit Punkt P. P ist der Punkt einer Ellipse.
Beweis
...... Nach dem ersten Strahlensatz gilt die Proportion P2'P:P2'P2=MP1:MP2.
Darin ist P2'P=y, MP1=b und MP2=a. Nach dem Satz des Pythagoras ist P2'P2=sqrt(a²-x²).
Das führt zu y:sqrt(a²-x²)=b:a oder ay=b*sqrt(a²-x²) oder x²/a²+y²/b²=1, wzbw..
Weitere Konstruktionen findet man auf der Webseite der GRAZ-ORTWEINSCHULE und bei Steven Dutch (URL unten).

Zeichnung mit Paint
Die meisten Ellipsen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe des Zeichenprogramms Paint. Man findet es bei Windows versteckt mit dem Pfad Startmenü/Zubehör/Paint.
[Stiftung Warentest bezeichnete es einmal in einem Test als ein Programm für Vierjährige ;-).]
...... Es soll eine Ellipse mit den Halbachsen a=50 Pixel, b=35 Pixel gezeichnet werden.
>Gehe auf das Feld Ellipse der Toolbox.
>Starte in A und gehe diagonal mit gedrückter Maustaste auf Punkt B zu.
>Lasse die Maustaste los, wenn auf der Statusleiste unten rechts 100x70 erscheint.
>Die Ellipse ist fertig.

Zwei weitere Formen der Ellipsengleichung   top
Parameterform
...... Oben wurde gezeigt, dass man einen Ellipsenpunkt mit Hilfe zweier konzentrischer Kreise mit den Radien a und b konstruieren kann. 
Führt man den Winkel t ein, wie aus der Zeichnung zu ersehen, so lassen sich die Koordinaten eines Ellipsenpunktes durch diesen Winkel und den Halbachsen ausdrücken.
Im Dreieck MP2'P2 gilt x=a*cos(t), im Dreieck MP1'P1 gilt y=b*sin(t).
Das ist die Parameterdarstellung der Ellipse: x=a*cos(t) /\ y=b*sin(t).


Polarform
...... Eine Ellipse wird im allgemeinen durch die Mittelpunktsgleichung x²/a²+y²/b²=1 gegeben. Nun kann man einen Punkt auch durch seine Entfernung vom Nullpunkt des Koordinatensystems und durch den Winkel t mit der positiven x-Achse geben. Das sind die Polarkoordinaten. 
Legt man den Nullpunkt in einen Brennpunkt der Ellipse, so ändert sich die Ellipsengleichung zu (x-e)²/a²+y²/b²=1. Die Polargleichung ist dann relativ einfach. Sie lautet 
Epsilon heißt die numerische Exzentrizität der Ellipse. Es gilt epsilon<1.

Zur Herleitung
Setzt man die beiden Gleichungen  x=a*cos(t) /\ y=b*sin(t) der Parameterform in (x-e)²/a²+y²/b²=1, so erhält man 
Das ist eine quadratische Gleichung in r. Die positive Lösung ist die gesuchte Polarform der Ellipsengleichung.

Flächeninhalt und Umfang top
Eine Ellipse wird im Allgemeinen durch die beiden Halbachsen a und b festgelegt. 
Dann stellt sich das Problem, aus den beiden Größen den Flächeninhalt und den Umfang zu berechnen.

Der Flächeninhalt ist A=pi*ab. 
Herleitung
...... Es genügt, die Viertelellipse im ersten Quadranten zu betrachten. 
Es folgt aus x²/a²+y²/b²=1  die Funktionsgleichung y=(b/a)sqrt(a²-x²). Dann gilt
Das Integral kann durch die Substitution x=a*sin(t) berechnet werden. 
Es gilt dann sqrt(a²-x²)=a*cos(t) und dx=a*cos(t)dt.
Das führt zu neuen Grenzen: Statt x=0 setzt man t=0 und statt x=a setzt man t=pi/2 wegen a=a*sin(t) bzw. sin(t)=1.
Für das Intergral heißt das

Damit ist A=pi*ab.

nach (4), Seite 852f.


Der Umfang kann nicht durch eine elementare Funktion angegeben werden, nur als "elliptisches" Integral 
Man kann das Integral näherungsweise über eine Reihenentwicklung des Integranden bestimmen. Man erhält z.B. 

Mehr bei (2), Seite 265


Sammlung von Aussagen zur Ellipse    top
...... Eine Ellipse entsteht als Schnittlinie, wenn man durch einen geraden Kreiszylinder einen schrägen Schnitt legt.


...... Stellt man die Zeichnung auf den Kopf, so bietet sich die folgende Deutung an.

Ein Kreis wird auf eine schräge Ebene parallel projiziert. In ihr liegt dann eine Ellipse.


Mittelpunkte paralleler Sehnen
...... Eine Strecke innerhalb der Ellipse durch den Mittelpunkt (rot) heißt Durchmesser.
Zeichnet man zu einem Durchmesser die Parallelen, so liegen die Mittelpunkte der Sehnen auf einem zweiten Durchmesser, dem konjugierten Durchmesser. 

Mittelpunkte paralleler Sehnen zum konjugierten Durchmesser
...... Zeichnet man zum konjugierten Durchmesser wiederum die Parallelen und halbiert sie, so liegen die Halbierungspunkte wieder den ursprünglichen Ellipsendurchmesser.
Zwei Anmerkungen 
>Die beiden Achsen der Ellipse sind auch konjugierte Durchmesser.
>Projiziert man einen Kreis auf eine schiefe Ebene und erzeugt so eine Ellipse, so werden dabei aufeinander senkrecht stehende Durchmesser zu konjugierten Durchmessern. 

Zwei Formeln zu konjugierten Durchmessern
...... Sind m1 und m2 die Steigungen konjugierter Durchmesser, so gilt m1m2=-b²/a².
Sind a1und b1 zugeordnete Halbmesser, so gilt a²+b²=a1²+b1².

Reflexion von Brennstrahlen
...... Verbindet man die Brennpunkte der Ellipse mit einem ihrer Punkte, so entsteht ein Winkel. Dieser Winkel wird von einer Normalen, einer Senkrechten zur Tangente, halbiert. - So kann ein Flüstergewölbe wie rechts erklärt werden. Die Köpfe von Sprecher und Hörer befinden sich in den Brennpunkten.  ......

Krümmungskreise
...... În den Hauptscheitelpunkten der Ellipse links sind zwei Kreise eingezeichnet, die die Ellipse in diesen Punkten gut annähern.
Die Radien sind r=b²/a. 

Hüllkonstruktion der Ellipse
...... Zeichnet man von einem Brennpunkt der Ellipse aus die Senkrechte zur Tangente, so liegt der Fußpunkt des Lotes auf dem Hauptkreis der Ellipse. Das ist der Kreis mit dem Radius a und demselben Mittelpunkt wie die Ellipse.

Aus diesem Satz folgt die Hüllkonstruktion der Ellipse.


Größtes Rechteck in der Ellipse
Passt man in eine Ellipse ein Rechteck ein, so stellt sich die Frage nach dem größten Rechteck. 
...... Die Zielfunktion heißt A=4xy oder A²=16x²y².
Die Ellipsengleichung liefert die Nebenbedingung x²/a²+y²/b²=1 oder y²=b²-(b²/a²)x².
Dann ist A²=16x²[b²-(b²/a²)x²] oder  A2=16b2x2-(16b2/a2)x4
Weiter ist die erste Ableitung (A²)'=32b²x-(64b²/a²)x³=32b²x(1-2x²/a²).
(A²)'=0  führt zu 1-2x²/a²=0  oder x²=(1/2)a² oder x=(1/2)sqrt(2)a oder 2x=sqrt(2)a. 
Die Gleichung  y²=b²-(b²/a²)x² führt zu y=(1/2)sqrt(2)b odr 2y=sqrt(2)b.
Die zweite Ableitung (A²)''=-4x/a²<0 stellt sicher, dass das Rechteck wirklich maximal ist.

Artet die Ellipse zu einem Kreis aus, gilt also a=b=r, so ist 2x=2y=sqrt(2)r und aus dem maximalen Rechteck wird ein Quadrat.

Ellipse als Kegelschnitt top
Kegelschnitte
...... Legt man durch einen geraden Doppelkegel ebene Schnittflächen, so entstehen im wesentlichen vier Arten von Linien. 
1 Ein Schnitt parallel zum Grundkreis führt zum Kreis.
2 Eine Schnittebene, die den zweiten Einzelkegel nicht trifft, erzeugt eine Ellipse.
3 Eine Schnittebene, die beide Einzelkegel  erreicht, erzeugt eine Hyperbel
4 Ein Schnitt parallel zu einer Mantellinie ergibt eine Parabel

Rechts die vier Linien in der bekannten Darstellung in einem Koordinatensystem.

......


Scheitelgleichungen der Kegelschnitte
...... Die Scheitelgleichung für Kegelschnitte lautet: y²=2px+(epsilon²-1)x²

Es ergeben sich 
> der Kreis für epsilon = 0
> die Ellipse für epsilon = 0,8
> die Parabel für epsilon = 1
> die Hyperbel für epsilon = 1,2.


Quadratische Gleichung mit zwei Variablen
...... Alle Kegelschnitte erfasst man auch durch die Gleichung Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0. 
Eine Ellipse liegt vor, wenn im wesentlichen 4AC-B²>0 ist (3).

Die nebenstehende Ellipse ist der Graph der Relation 3x²-2xy+3y²-2x-2y=0. 
Es ist 4AC-B²=4*3*3-2²=32>0
Offensichtlich bewirkt der Term mit xy eine Neigung der Symmetrieachsen.

Quelle: (2) Aufgabe 991a



Ellipsen im Internet top

Deutsch

hannes rassi  (GRAZ-ORTWEINSCHULE)
Ellipsen-Konstruktionen

Wikipedia
Ellipse, Rotationsellipsoid, Flüstergewölbe, Superellipse, Superformel, Krümmungskreis


Englisch

Gary S. Stoudt (Convergence MAA)
Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone?

Eric W. Weisstein (MathWorld) 
Ellipse, Ellipsoid, One-Seventh Ellipse, Curvature, Circumellipse, Steiner Circumellipse

John J O'Connor and Edmund F Robertson (The MacTutor History of Mathematics archive) 
Ellipse

Rick Parris
Winplot

Steven Dutch
Constructing Ellipses

Xah Lee 
Ellipse

Wikipedia
Ellipse, Ellipsoid, Whispering gallerySuperellipse, Superformula, Osculating circle


Französisch

Robert FERRÉOL (mathcurve) 
Ellipse


Referenzen   top
(1) Otto Zoll: Mathematisches Lehr- und Arbeitsbuch für höhere Lehranstalten, Oberstufe, Braunschweig 1940
(2) Autorengemeinschaft:  Algebra und Geometrie für Ingenieure, Frankfurt/M Zürich 1966 [ISBN 978-3-87144-107-3]
(3) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 
(4) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York - London 1997 (ISBN0-393-04002-X) 
(5) W.Gellert (Herausgeber u.a.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986


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©  2007 Jürgen Köller

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