Halbkreis
Inhalt dieser Seite
Was ist ein Halbkreis?
Größen des Halbkreises
Halbkreis als Graph einer Funktion
Halbkreis des Thales
Figuren im Halbkreis
Halbkreis in Figuren
Halbkreise auf Figuren
Dreiteilung des Winkels
Halbkreisfiguren der "Alten Griechen"
Größte Figuren
Fächerrosetten
Halbkreise im Internet..
Referenzen
.
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Was ist ein Halbkreis?
 
...... Teilt man einen Kreis durch eine Gerade durch seinen Mittelpunkt, so entstehen zwei kongruente Halbkreise.

Wie beim Kreis ist der Halbkreis durch den Radius r bestimmt.


... Der Halbkreis kann eine halbe Kreisfläche sein oder eine halbe Kreislinie.
Im Folgenden wird nur die halbe Kreisscheibe betrachtet.

Man kann den Halbkreis auch als Kreisausschnitt ansehen, der zum Winkel von 180° gehört, oder als Kreisabschnitt, dessen Sehne der Durchmesser ist.

Größen des Halbkreises top
......
Ein Halbkreis wird im Allgemeinen durch den Radius festgelegt. 
Dann sind der Flächeninhalt A=(1/2)*Pi*r² und der Umfang U=(Pi*+2)r. 


Halbkreis als Graph einer Funktion        top
...... Der Halbkreis ist auch der Graph einer Funktion.

Die Funktionsgleichung lautet f(x)=sqrt(r²-x²) mit dem Definitionsbereich D={x|-r <= x <= r}.


Halbkreis des Thales  top
...... Liegt im Halbkreis ein Dreieck, so gilt der Satz des Thales.
"Ein Dreieck, dessen Grundseite ein Durchmesser ist und dessen Spitze auf einer Kreislinie liegt, ist ein rechtwinkliges Dreieck. 
Man kann diese Aussage auch auf einen Winkel beziehen: "Ein Winkel, dessen Scheitel auf einer Kreislinie liegt und dessen Schenkel durch die Endpunkte eines Durchmessers verlaufen, ist ein rechter Winkel."
...... Durchläuft der Scheitel alle Punkte eines Halbkreises (ausgenommen sind die Endpunkte), so entstehen alle Formen eines rechtwinkligen Dreiecks.


Lokales Ordnen
...... Im Mathematikunterricht der Klasse 7 sind der Satz des Thales und z.B. auch der Satz von der Winkelsumme im Dreieck eine Überraschung, wenn man sie zum ersten Mal kennenlernt. Deshalb muss man hier die ersten Beweise führen. Damit das möglich ist, werden vorher einfache Winkelsätze behandelt.
Nach Behandlung der Winkelsätze empfehle ich "Lokales Ordnen". Man zeichnet an die Tafel eine Skizze zu jedem Winkelsatz und lässt die Beweise noch einmal Revue passieren. Das führt zu den roten Logikpfeilen, deren Lage vom Vorgehen im Unterricht abhängt. 
Die Schüler gewinnen die Erkenntnis: Einige Sätze muss man hinnehmen, einige Sätze gehen aus anderen hervor. Sie bekommen schon in diesem Stadium eine kleine Idee vom axiomatischen Aufbau der Mathematik. 

Figuren im Halbkreis  top
45-90-45-Dreiecke
Aufrecht stehendes Dreieck: x=sqrt(2)r
Auf der Spitze stehendes Dreieck: x=r


Vierecke
Aufrecht stehendes Quadrat: x=(2/5)sqrt(5)r
Auf der Spitze stehendes Quadrat: x=(1/2)sqrt(2)r
Doppelquadrat: x=(1/2)sqrt(2)r

Kreise und Halbkreise

Lösungen:
1 Drei Kreise: Es gilt (x+y)²=(x-y)²+s² und (r-y)²=s²+y² und x=r/2. Daraus folgt y=r/4. 
2 Halbkreis: x=(1/2)sqrt(2)r
3 Drei Kreise und zwei Halbkreise: Es gilt (x+y)²=(r-x-y)²+x². Daraus folgt: x=[sqrt(2)-1]r, y=[3sqrt(2)-2]r.
4 Zwei Halbkreise und ein Kreis: Es gilt (x+y)²=(r-y)²+x². Daraus folgt: x=r/2, y= r/3.
5 Ein Kreis und zwei Halbkreise: Nach Drehung um 90° wie 4. Es gilt: x=r/2, y= r/3. 
6 Schräg liegender Halbkreis im Halbkreis
...... Es gibt beliebig viele schräg liegende Halbkreise im Halbkreis. 

(1) Zur Herleitung einer Formel errichtet man im Berührungspunkt des inneren Halbkreises eine Höhe h (1). Auf ihr liegt der Mittelpunkt.
(2) Ergänzt man den Halbkreis zu einem Vollkreis, so schneiden sich im Kreis zwei Sehnen in M. Es gilt der Sehnensatz (h-x)(h+x)=x². Daraus folgt  x=(1/2)sqrt(2)h.


Anmerkung:
...... Bei der Suche nach Formeln zu diesem Kapitel bin ich auf das allgemeine Berührungsproblem von Apollonius gestoßen (siehe unten bei de.wikipedia: Apollonisches Problem).
Die Standardaufgabe ist: Gegeben sind drei Kreise. Gesucht ist ein (roter) Kreis, der die Kreise berührt. 
Es ist erstaunlich, wie weitläufig diese Problematik ist. Kreise können sich innen und außen berühren. - Die gegebenen Kreise können auch zu Punkten (Kreis mit dem Radius 0) oder Geraden (Kreise mit beliebig großem Radius) ausarten. 
In diesem Sinne werden auch der Inkreis und der Umkreis eines Dreiecks erfasst.

Halbkreisfolge
Man kann auf einen Durchmesser kleinere Halbkreise setzen und deren Anzahl immer mehr erhöhen. Es entsteht eine Restfigur (blau). Geht die Anzahl der Halbkreise über alle Grenzen, so gelangt man - theoretisch - zum Halbkreis.
... Für die n-te Figur erhält man die Fläche A(n) = (1/2)*Pi*r² - (1/2)*Pi*r²/n. 
Für n gegen Unendlich ergibt sich der erwartete Grenzwert von (1/2)*Pi*r².
Der Umfang der Figur verhält sich merkwürdig. 
Er ist für jedes n und auch im Grenzfall gleich U(n) =2*Pi*r (ungefähr 6,3r). 
Der Umfang des Halbkreises andererseits ist wesentlich kleiner als U(n),  nämlich U=(2+Pi)*r (ungefähr 5,1r).
Darin liegt ein Widerspruch zur Anschauung.

Halbkreis in Figuren  top
Halbkreis im Dreieck
Halbkreis im linken gleichseitigen Dreieck: x=(1/4)sqrt(3)a
Halbkreis im rechten gleichseitigen Dreieck: x=(1/4)[3-sqrt(3)]a
Halbkreis im linken Halbquadrat:  x=(1/4)sqrt(2)a
Halbkreis im rechten Halbquadrat: a/2


Halbkreis im Quadrat
Lösung:
Es gilt a=x+x/sqrt(2). Daraus folgt x=[2-sqrt(2)]a
Die Lösung x=a/2 für die beiden Halbkreise ist trivial. 

Dreiteilung des Winkels top
...... Der Halbkreis ist ein wichtiger Bestandteil eines Zeichengerätes ("Tomahawk"), mit dem man einen Winkel in drei gleiche Teile teilen kann. 
Die Dreiteilung des Winkels mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich. Das weiß man auf Grund von Arbeiten von Gauß (1777-1855). Es geht in der rechten Zeichnung darum, x (bzw.x/2) zu bestimmen, wenn a gegeben ist. Es gilt die kubische Gleichung x³-3x-2a=0, die nur für Sonderfälle durch Terme aus Quadraten lösbar ist. 
Das Zeichengerät wird durch die Zeichnung erklärt.


Herleitung der kubischen Gleichung
Lösungsskizze:

Der gegebene Winkel sei BSA. Er wird durch die Strecke a bestimmt.
SK drittelt den Winkel, SK wird durch die Strecke x/2 gegeben.

>Die Dreiecke SKB und BCK sind ähnlich. Es gilt: z:y=y:1, dann z=y².
>Es gilt der erste Strahlensatz: SC:SK=SC':SK' oder (1-z):1=a:(x/2).
>Es gilt nach dem Satz des Pythagoras in Dreieck SKK': (x/2)²+(y/2)²=1.
...
Daraus folgt nach längerer Rechnung x³-3x-2a=0, wzbw. 


Mehr findet man auf meiner Seite Dreiteilung eines Winkels.

Halbkreis auf Figuren  top
Fenster, Türen, Tore
...... Wenn man sich in seiner Umgebung umsieht, bemerkt man die meisten Halbkreise bei Fenstern, Türen oder Toren. 

Halbkreise schließen Rechtecke oben ab und schmücken sie. Oft sind die Halbkreise unterteilt und geben so dem Halbbogen eine besondere Note. 

......


Wappenschild
...... Ein einfaches Wappenschild setzt sich auch aus einem Rechteck und Halbkreis zusammen, nur dass der Halbkreis unten ist. Rechts steht als Beispiel das Wappen des Landes Nordrhein-Westfalen. Das springende Pferd steht für Westfalen und die weiße Schlangenlinie für den Rhein und damit Nordrhein.
Das Gebilde unten ist die lippische Rose, die in das Wappen aufgenommen wurde, weil sich Lippe nach 1945 Nordrhein-Westfalen anschloss. 
......

Zaun
...... Man kann Drähte zu einem Zaun so flechten, dass oben Halbkreise entstehen. .....
entdeckt auf Lanzarote

Arkaden
...... Es ist immer eindrucksvoll, wenn sich in Bauten Bögen wiederholen. ...........
Domäne Dahlhausen in Lippe

Halbkreise, gesetzt auf regelmäßige Vielecke
Parkettierung mit Habkreisen

Halbkreisfiguren der "Alten Griechen"     top

Möndchen des Hippokrates

Möndchen des Hippokrates

Salinon
(Salzfass des Archimedes)

 Arbelos
(Schusterkneif des Archimedes)
Das Besondere ist, dass die farbigen und die gepunkteten Figuren den gleichen Flächeninhalt haben. 
Mehr findet man auf meiner Seite Kreisteile.


Größte Figuren  top
Dreieck, Rechteck und Trapez
...... Es gibt viele Dreiecke, Rechtecke und gleichschenklige Trapeze, die in einen Halbkreis passen. Darunter gibt es jeweils eine  Figur mit größtem Flächeninhalt (gelb)


Fensterproblem
...... Die drei nebenstehenden Rechtecke mit aufgesetztem Halbkreis haben den gleichen Umfang U. Vergleicht man die Flächeninhalte, so erkennt man vielleicht, dass die mittlere Figur den größten Flächeninhalt hat [Lösung: x=y=U/(4+Pi), s.u.]. 
Diese Extremwertaufgabe ist bekannt. Sie wird meist so formuliert: Gegeben ist der Umfang eines rechteckigen Fensters mit einem aufgesetzten Rundbogen. Welche Maße muss das Rechteck haben, damit der Flächeninhalt möglichst groß ist, d.h. damit  möglichst viel Licht einfällt?
Man kann die Figur auch auf den Kopf stellen. Dann wird nach der Form eines Kanals gefragt, der möglichst viel Wasser durchlässt.

Lösungen

Dreieck
Es gilt A=xy. 
Nebenbedingung x²+y²=r², Zielfunktion A²= r²x²-(x²)², [A²(x)]' =0 ergibt x=y=(1/2)sqrt(2)]r.
Das größte Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig.

Rechteck
Es gilt A=2xy.
Nebenbedingung x²+y²=r², Zielfunktion A²/4=x²y²= r²x²-(x²)²,(A²/4)'=0 ergibt x=y=(1/2)sqrt(2)r.
Das größte Rechteck ist ein Doppelquadrat.

Trapez
Es gilt A=[(2r+2x)/2]y=(x+r)y. 
Die Nebenbedingung ist x²+y²=r² oder y²=r²-x². 
Die Zielfunktion ist A²(x)=(x+r)²y²=(x²+2rx+r²)(r²-x²)=-x4-2rx3+2r³x+r4.
(A²)'=-4x³-6rx²+2r³. 
(A²)'=0 führt zur Lösung x=r/2. (Gelöst durch Probieren). Dann ist y=(1/2)sqrt(3)r.
Die Maximalstelle ist gesichert: (A²)''=-12x²-12r²<0 für x=r/2. 
Ergebnis: Das größte Trapez hat die Grundseiten 2r und r und die Höhe (1/2)sqrt(3)r. Es ist ein halbes regelmäßiges Sechseck.

Fensterproblem
U sei der Umfang.
Es gilt A=2xy+(Pi/2)x².
Nebenbedingung U=2x+2y+Pi*x, Zielfunktion A(x)=Ux-2x²-(Pi/2)*x², A'(x)=U-4x-Pi*x, A'=0 ergibt x=U/(4+Pi), y=x.
Das Rechteck ist ein Doppelquadrat.

Fächerrosetten   top
In meiner Heimatstadt Bad Salzuflen gibt es eine Reihe von Fachwerkhäusern mit geschnitzten Fächerrosetten im Giebel in Form von Halbkreisen. Diese Rosetten sind ein Merkmal der Weserrenaissance.
....
Eines dieser Häuser steht in der Langen Straße 33, Baujahr 1612. 
Alle Rosetten sind voneinander verschieden. Zu sehen sind hier drei von 22 Rosetten. 
Das sind drei bekannte Formen, nämlich die Palmetten-, die Muschel- und die Fächerrosette.


Der Halbkreis ist auch eine mögliche Darstellung zweier Körper, der Halbkugel und des Halbzylinders.

Halbkreis im Internet  top

Deutsch

Ingmar Rubin
Ellipse im HalbkreisEin Halbkreis im Trapez,  (.pdf Dateien)

Wikipedia
ArbelosMöndchen des HippokratesDreiteilung des WinkelsApollonisches Problem


Englisch

Eric W. Weisstein  (world of mathematics)
Semicircle, Pappus Chain, Apollonius' Problem

Wikpedia
Semicircle, Arbelos, Lune of Hippocrates


Referenzen    top
(1) W.Breidenbach: Die Dreiteilung des Winkels, Leipzig 1933
(2) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Frankfurt/M, Berlin 1975 (ISBN 3 550 07675 4)
(Die Dreiteilung des Winkels, Seite 259ff.)


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©  2002 Jürgen Köller

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