Was ist eine Halbkugel?

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Teilt man eine Kugel durch eine Ebene durch einen Großkreis, so entstehen zwei Halbkugeln. Für die halbe Kugeloberfläche gibt es die Bezeichnung Hemisphäre.  Dieser Begriff bezieht sich jedoch mehr auf die beiden Hälften der Erd- oder Himmelskugel, die durch den Äquator getrennt werden.

Formeln    top

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Für eine Halbkugel mit dem Radius r gilt

V ist das Volumen, A die Oberfläche ohne und O die Oberfläche mit Grundkreis. 
Die Formeln werden auf meiner  Kugel-Seite hergeleitet.

Größte Körper in der Halbkugel      top
Größter Zylinder in der Halbkugel

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Es gibt beliebig viele Zylinder in einer Halbkugel.  Darunter ist ein Zylinder mit größtem Volumen von Interesse.

Rechnung

Für den Zylinder gilt V=pi*x²y. Die Nebenbedingung ist x²+y²=r² oder x²=r²-y².  Das führt zur Zielfunktion V(y)=pi*(r²-y²)y=pi*(r²y-y³).

V'(y)=pi*(r²-3y²)=0 ergibt y=(1/3)sqrt(3)r. Dann ist x=(1/3)sqrt(6)r.
V''(y)=-3pi*y<0 bestätigt, dass ein Maximum vorliegt.
Ergebnis: Für x=(1/3)sqrt(6)r und y=(1/3)sqrt(3)r hat ein Zylinder in der Halbkugel sein größtes Volumen.

Die Rechnung und das Ergebnis stimmen mit denen des größten Zylinders bis auf einen Faktor 1/3 überein. Ergebnis: Für x=(1/3)sqrt(6)r und y=(1/3)sqrt(3)r hat der Kegel in dieser Lage sein größtes Volumen.

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Der größte Quader in der Kugel ist der Würfel. Er hat die Kantenlänge x=(2/3)sqrt(3)r.  Das folgt aus 2r=sqrt(3)x.  Folglich enthält die Halbkugel den halben Würfel als maximalen Quader.

Kleinster Kegel um die Halbkugel      top
Grundkreis oben

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Legt man unterschiedliche Kegel um eine feste Halbkugel, so gibt es unter den Kegeln einen mit einem kleinsten Volumen.

Rechnung
Man führt den Radius r der Halbkugel und für den Kegel die Höhe y und den Radius des Grundkreises x ein.

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Nebenbedingung ist nach dem 2.Strahlensatz r:x = (y-r):y. Das Volumen des Kegels ist V=(1/3)pi*x2y. Berechnet man aus der Nebenbedingung y=xr/(x-r) und setzt diesen Term in die Volumenformel ein, so erhält man die Zielfunktion V(x)=(1/3)pi*rx3/(x-r).

Mit Hilfe des Satzes [V '(x)=0 => x ist eine Tiefstelle] errechnet man x=(3/2)r. Dann ist y=x/(x-r)=3r.

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Legt man unterschiedliche Kegel um eine feste Halbkugel, so gibt es einen Kegel mit kleinstem Volumen.

Rechnung

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Es ist aufwändig, eine Nebenbedingung aufzustellen. Sie muss einen Zusammenhang der drei Größen r, R und H herstellen.

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Man legt durch den Körper eine Koordinatenebene wie links. Dann betrachtet man zwei Geraden g und h durch einen Berührpunkt Kegel/Halbkugel. Sie schneiden sich in Punkt P.  Es gilt g: y=-(H/R)x+H und h: y=(R/H)x.

Aus dem Ansatz -(H/R)x+H = (R/H)x ergibt sich für den  Schnittpunkt x_s=(H²R)/(H²+R²) und y_s=(R²H)/(H²+R²). 
Die Nebenbedingung heißt:  x_s²+y_s²= r² oder  r²=  (H²R²)/(H²+R²).
 Daraus folgt  R²=(H²r²)/(H²-r²).
Diesen Term setzt man in die Volumenformel V=(1/3)pi*R²H ein und erhält die Zielfunktion V(H)=(1/3)pi*(H²r²)/(H²-r²)H oder V(H)=(1/3)pi*(H³r²)/(H²-r²).
Mit Hilfe des Satzes [V '(x)=0  =>  x_m ist eine Tiefstelle]  errechnet man H=sqrt(3)r. Dann ist weiter R=(1/2)sqrt(6)r.

Körper in der Halbkugel       top
Es gibt eine Reihe einfacher Körper, die in eine Halbkugel passen. 

größter Quader (Halber Würfel) x=(2/3)sqrt(3)r

Quadratische Pyramide x=(1/2)sqrt(2)r, y=r

Kegel x=r, y=r

größter Zylinder x=(1/3)sqrt(6)r y=(1/3)sqrt(3)r

Kugel x=r/2

Halbkugel x=(1/2)sqrt(2)r

Es stellt sich die Frage, wie man die einbeschriebenen Körper dem Volumen nach ordnet. 
Unten steht die Antwort.

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Gleiche Kugeln

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Die eine Kugel hat das gleiche Volumen, die andere die gleiche Oberfläche wie die Halbkugel. Aus (2/3)pi*r³3 = (4/3)pi*x³ folgt x=(1/2)1/3r oder angenähert x=0,794r Aus 2pi*r² = 4pi*x² folgt x=(1/2)sqrt(2)r  oder angenähert x=0,707r

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Durchdringen sich zwei Halbkugeln so, dass die Scheitel in den Mittelpunkten der Grundkreise liegen, so entsteht eine bikonvexe Linse als Durchschnittskörper.  Er setzt sich aus zwei Kugelabschnitten zusammen.

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Der Querschnitt der Linse besteht aus Kreisbögen, die über zwei gleichseitigen Dreiecken liegen.

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Folglich hat ein Kugelabschnitt die Höhe h=r/2 und den Grundkreisradius a=(1/2)sqrt(3)r.  Der Mittelpunktswinkel ist 120° groß.

Für das Volumen der Linse gilt V=2*(1/6)pi*h(3a2+h2)=(5/12)pi*r3.  Das sind 62,5% des Volumens der Halbkugel.

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Das sollte man nicht meinen:  Das Bild einer mittelalterlichen Sicht der Welt stammt aus dem 19. Jahrhundert. Mehr auf der Wikipediaseite Camille Flammarion

Referenzen   top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 

Halbkugel im Internet top

Deutsch

Deutsches Museum
Magdeburger Halbkugeln

Stadtwiki Karlsruhe
Familie von fünf halben Kugeln von Max Bill

Wikipedia
Hemisphäre, Kugelkalotte, Kuppel, Magdeburger Halbkugeln,  Anemometer

Eric W. Weisstein (MathWorld) Sphere, Hemisphere, Hemispherical Function, Capsule

Lage des Schwerpunktes h=3/8r

Monolithic Dome Institute. Italy
SPHERICAL DOME FORMULAS  (.pdf-file)

eFunda 
Properties of Hemisphere

Richard Parris (Freeware-Programme) 
winplot

Wikipedia
Sphere, Dome (mathematics)

Feste Körper in der Halbkugel - der Größe nach geordnet.

Größter Zylinder 57,7%

Kegel 50%

Halber Würfel 36,8%

Halbkugel 35,4%

Quadratische Pyramide 31,8%

Kugel 25%

Die Prozent geben den Anteil des Körpers am Volumen der Halbkugel an.