Salinon
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Was ist das Salinon?
... Das Salinon ist eine symmetrische Figur, die aus vier Halbkreisen gebildet wird. 
Ihre Mittelpunkte liegen auf einer Geraden. 
Das Wort Salinon kommt aus dem Griechischen und bedeutet wohl Salzfässchen. 
Die Figur geht auf Archimedes zurück.


Formen des Salinons


Größen     top
Gegebene Stücke
...... Die Figur wird zum Beispiel durch die Radien des kleinen und des mittleren Halbkreises festgelegt. 

Der große Halbkreis hat dann den Radius R+2r.


Flächeninhalt
...... Für den Flächeninhalt gilt A=(1/2)pi(R+2r)²-pi*r²+(1/2)pi*R²= ... =pi(R+r)².

Das Ergebnis kann gedeutet werden als der Flächeninhalt des roten Kreises mit dem Durchmesser R+(R+2r)=2(R+r).


Umfang
...... Für den Umfang gilt U=Pi(R+2r)+2pi*r+pi*R= ... =2pi(R+2r)

Das Ergebnis kann gedeutet werden als Umfang des roten Kreises mit dem Radius R+2r.


Verschiedenes    top
Quadrat im Salinon
...... Zeichnet man in die Halbkreise wie angegeben gleichschenklige Dreiecke, so sind sie nach dem Satz des Thales auch rechtwinklig. Also liegt schon mal ein Rechteck vor.
Die Katheten dieser Dreiecke sind, der Größe nach geordnet, a=(1/2)sqrt(2)(2r),
b=(1/2)sqrt(2)(2R) und c=(1/2)sqrt(2)(2R+4r). Die Längen der Seiten des Rechtecks sind a+b und c=(1/2)sqrt(2)(2R+4r)-a=b+2a-a=a+b. Damit ist das Rechteck ein Quadrat.


Inkreis
...... Das Salinon hat einen Inkreis mit dem Radius x=(R²+3rR+2r²)/(R+3r).

Zum Beweis
...... Nach dem Satz des Pythagoras gilt (r+x)²=[(R+2r)-x]²+(r+R)².

Löst man diese Gleichung nach x auf, so ergibt sich die obige Formel.
Die Rechnung wird dadurch einfacher, dass der Term x² wegfällt.


Ausartungen
r=0 führt zum Kreis.

A=pi*R²
U=2pi*R
r=R

A=4pi*R²
U=6pi*R
R=0 führt zu einem Sonderfall des Arbelos.

A=pi*r²
U=4pi*r

Figuren aus den vier Halbkreisen

 
Alle Figuren haben den gleichen Umfang.


Zu dieser Seite passt ein Kapitel meiner Seite Halbkreis.
Halbkreisfolge
Man kann auf einen Durchmesser kleinere Halbkreise setzen und deren Anzahl immer mehr erhöhen. Es entsteht eine Restfigur (blau). Geht die Anzahl der Halbkreise über alle Grenzen, so gelangt man - theoretisch - zum Halbkreis.
... Für die n-te Figur erhält man die Fläche A(n) = (1/2)*Pi*r² - (1/2)*Pi*r²/n. Für n gegen Unendlich ergibt sich der erwartete Grenzwert von (1/2)*Pi*r².
Der Umfang der Figur verhält sich merkwürdig. 
Er ist für jedes n und auch im Grenzfall gleich U(n) =2*Pi*r (ungefähr 6,3r). 
Der Umfang des Halbkreises andererseits ist wesentlich kleiner als U(n),  nämlich U=(2+Pi)*r (ungefähr 5,1r).
Darin liegt ein Widerspruch zur Anschauung.

Figuren aus Kreisbögen   top
...... Der hier abgebildete Arbelos ist auch eine Figur aus Halbkreisen. 

Da sie auch auf Archimedes zurückgeht, wird sie oft in einem Atemzug mit dem Salinon genannt.


...... Eine Sammlung von Kreisteilen aller Art findet man hier.


Frage
...... Dank der Wikipedia-Seite http://de.wikipedia.org/wiki/Arbelos weiß ich, wie der Arbelos, das Schustermesser, aussieht. 

Aber wie sieht das Salzfass aus? 
Kommt man ihm vielleicht näher, wenn man die Figur auf den Kopf stellt? 


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Deutsch

Albert A. Gächter
Kreisgeometrie mit Archimedes   (.pdf-Datei),  Applet

Wolfgang Appell 
Der Salzstreuer

Wikipedia
Salinon

Englisch

Alexander Bogomolny
Salinon: From Archimedes' Book of Lemmas

Antonio Gutierrez (GoGeometrie) 
Geometry Problem 654 : Archimedes' Book of Lemmas: Proposition 14

Eric W. Weisstein, (MathWorld)
Salinon

ROGER B. NELSEN
Proof Without Words: The Area of a Salinon

Shannon Umberger
Essay # 4 - The Arbelos and the Salinon

Wikipedia
Salinon


Referenzen     top
Walter Lietzmann: Altes und Neues vom Kreis, Leipzig und Berlin 1935 


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©  2011 Jürgen Köller

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