Arbelos
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Was ist der Arbelos?
Größen des Arbelos
Das Dreieck zum Arbelos
Zwillinge des Archimedes
Weitere Aussagen zum Arbelos
Die Familie der Zwillinge
Pappus-Kette
Arbelos im Internet
Referenzen
..
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Was ist der Arbelos?
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Der Arbelos ist eine sichelförmige Figur, die von drei Halbkreisen gebildet wird. Die Mittelpunkte liegen auf einer Geraden. So wie drei Strecken ein Dreieck erzeugen, so erzeugen drei Halbkreise ein Kreisbogendreieck. Die Radien der unteren Halbkreise seien R und r. Der Radius des oberen Halbkreises ist dann R+r.
Der Name Arbelos stammt aus dem Griechischen und bedeutet Schustermesser, weil die Figur wie das Werkzeug aussieht, das die Schuster im "alten" Griechenland benutzten [nach (1)]. 


Größen des Arbelos     top
Umfang
......
Der Umfang des Arbelos ist U=Pi*(R+r)+Pi*R+Pi*r=2*pi*(R+r). 
Das ist auch der Umfang des Kreises mit dem Radius R+r.
Der obere Halbkreisbogen hat die gleiche Länge wie die beiden unteren Halbkreisbögen zusammen.


Inkreis
Der Radius des Inkreises ist 

Zur Herleitung der Formel:
...... (1) Man verbindet die Mittelpunkte und zeichnet das Lot des Mittelpunktes des Inkreises auf die Horizontale.
Es entstehen drei rechtwinklige Dreiecke, für die der Satz des Pythagoras gilt. 
Es ergeben sich drei Formeln zur Bestimmung von s, h und x:
(2) (R+r-x)²=s²+h²         (3) (R+x)²=(s+r)²+h²          (4)(r+x)²=(R-s)²+h²
Das sind drei Gleichungen mit drei Variablen. Nach längerer Rechnung ergibt sich x=[Rr(R+r)]/[R²+Rr+r²].

Flächeninhalt
Der Flächeninhalt ist A=Pi*(R+r)²/2-Pi*R²/2-Pi*r²/2=Pi*Rr.
Es folgen zwei Deutungen dieser Formel.
......
A=Pi*Rr ist der Flächeninhalt einer Ellipse mit den Halbachsen R und r. 

......
Zeichnet man zwischen den beiden kleinen Halbkreisen eine vertikale Strecke ein, so kann diese als Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks aufgefasst werden.
Nach dem Höhensatz gilt h²=4Rr oder h=2*sqrt(Rr). Damit ist A=Pi*(h/2)²=Pi*Rr. 
Der Flächeninhalt des Kreises mit dem Radius h/2 ist gleich dem Flächeninhalt des Arbelos. 
(Die Größe h/2 ist übrigens das geometrische Mittel der beiden Radien R und r.)
Der Kreis heißt auch der Kreis des Archimedes.
Mit dem Arbelos ist aufs engste ein rechtwinkliges Dreieck verbunden. Das Dreieck wird durch die beiden Hypotenusenabschnitte 2R und 2r bestimmt. Das ist ungewöhnlich für die Festlegung eines rechtwinkligen Dreiecks.

Das Dreieck zum Arbelos top
Damit ist das grüne Dreieck in Bild 2 unten gemeint. 
An der obigen Zeichnung erkennt man schon, dass der Kreis des Archimedes die kleinen Halbkreise und die Katheten des Dreiecks an denselben Stellen schneidet. Zum Nachweis verbindet man diese Schnittpunkte mit dem Fußpunkt der Höhe (rot, 1). 

Dann entstehen nach dem Satz des Thales drei rechtwinklige Dreiecke (2,3). Das grüne Viereck (4) ist ein Rechteck. Der Kreis des Archimedes ist auch der Umkreis dieses Rechtecks und die Diagonalen sind zwei Durchmesser.

Die Höhe ist eine Diagonale des grünen Rechtecks. Die andere schräg liegende Diagonale ist nicht weniger interessant.
Die Zeichnung zeigt schon, dass der schräg liegende Durchmesser auch ein Teilstück der gemeinsamen Tangente an die beiden kleinen Halbkreise ist. Das beweist man so:
(1) Die mit Gelb und Blau markierten Winkel sind nach elementaren Winkelsätzen gleich groß. Sie ergänzen sich zu 90°. 
(2) Zeichnet man die Radien R und r ein, so entstehen gleichschenklige Dreiecke. 
(3,4) Folglich setzen sich die grünen Winkel (4) aus zwei Winkeln (3) zusammen, die zusammen 90° ergeben. Es liegt eine Tangente vor, da die Radien Berührradien sind.

Zwillinge des Archimedes     top
Die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks zum Arbelos teilt diesen in zwei Teile. Beide Teilfiguren haben einen Inkreis. Sie heißen die Zwillingskreise des Archimedes. 

Beide Kreise haben den gleichen Radius und zwar y=z=Rr/(R+r) oder 2y=2z=2Rr/(R+r)

Die Durchmesser 2y oder 2z sind also das harmonische Mittel der Radien R und r.


Zur Herleitung der Formel:
...... Man untersucht zunächst den linken Kreis.
(1) Man verbindet die Mittelpunkte und zeichnet das Lot des Mittelpunktes des Inkreises auf den Durchmesser. 
Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, für die der Satz des Pythagoras gilt. 
Es ergeben sich zwei Formeln zur Bestimmung von y und h:
(2) (R+y)²=h²+(R-y)²        (3) (R+r-y)²=h²+(R-r-y)²
Man eliminiert h und erhält y=Rr/(R+r).
Für h ergibt sich aus (2) h=sqrt(4Ry)=sqrt(4R²r/(R+r)).

...... Es folgt der rechte Kreis.
(1) Man verbindet die Mittelpunkte und zeichnet das Lot des Mittelpunktes des Inkreises auf den Durchmesser. 
Es entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke, für die der Satz des Pythagoras gilt.
Es ergeben sich zwei Formeln zur Bestimmung von y und h':
(2) (r+z)²=h'²+(r-z)²        (3) (R+r-z)²=h'²+(R-r+z)²
Man eliminiert h' und erhält wieder z=Rr/(R+r). Die beiden Zwillingskreise sind also gleich groß.
Für h' ergibt sich aus (2) h'=sqrt(4rz)=sqrt(4Rr²/(R+r)).

Weitere Aussagen zum Arbelos   top
Man kann den Kreis des Archimedes auch um die Zwillingskreise legen.


Zeichnet man um den oberen Endpunkt der Höhe einen Kreis mit dem Radius h, so verläuft er auch durch den Schnittpunkt der gemeinsamen Tangente mit dem großen Halbkreis.
Das sind nur zwei von vielen Sätzen.

Die Familie der Zwillinge top
...... Oben wurden die Zwillinge des Archimedes behandelt. Es gibt in der Figur erstaunlicherweise noch viele gleich große Kreise, die erst vor gar nicht langer Zeit gefunden wurden.
Die Suche wurde in einem Artikel (2) von "Mathematics Magazine" unter Federführung von Clayton W.Dodge dokumentiert. Es gibt sage und schreibe 29 Kreise neben unendlichen Kreisfolgen. Die Bezeichnungen W01, W02, W03, ... gehen auf diesen Artikel zurück. Es folgt eine Auswahl.


...... Der Kreis W03 ist der Inkreis des Dreiecks, das aus den Mittelpunkten von drei Kreisen gebildet wird, nämlich dem Inkreis des Arbelos und den Halbkreisen über AC und CB.
W01, W02 und W03 heißen Bankloffs Tripel.

......
Man zeichnet die gemeinsame Tangente an die Halbkreise über AC und BC. Es entsteht ein Kreisabschnitt, in den ein größter Kreis W04 passt. 
W01, W02, W03 und W04 heißen Bankloffs Quadrupel.

...... Zeichnet man durch den Mittelpunkt des Kreises über AB eine Senkrechte zur gemeinsamen Tangente, so liegt auf dieser Geraden der Mittelpunkt eines Zwillingskreises W05, der den Kreis W04 berührt.
W05 ist ein Dodge-Kreis.

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Man zeichnet um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius AC und um Punkt B mit dem Radius BC. Man zeichnet einen Kreis W15, der diese beiden Kreise berührt.
Zusätzlich berührt er auch den Halbkreis über AB.
W15 ist ein Schoch-Kreis.
Die (rote) vertikale Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises W15 heißt Schoch-Gerade. Sie wird bei den beiden nächsten Kreisen verwendet. 

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Man zeichnet einen Kreis W16, der die beiden Halbkreise über AC und CB berührt und dessen Mittelpunkt auf der Schoch-Geraden liegt.

W16 ist ein Schoch-Kreis.


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Man gibt einen Halbkreis vor, der über den beiden Mittelpunkten von AC und CB liegt. Man zeichnet dann einen Kreis W17, der diesen Halbkreis berührt und durch den Schnittpunkt der Schoch-Geraden mit dem Halbkreis über AB geht.
W17 ist ein Schoch-Kreis.

...... Man zeichnet um Punkt B einen Kreis mit dem Radius BC. Weiter zeichnet man durch den Schnittpunkt dieses Kreises um B mit dem Kreis über AB einen Kreis W14, der die Vertikale durch C berührt. 
W14 ist ein Schoch-Kreis.

......
Man zeichnet um den Punkt A einen Kreis mit dem Radius AC. Weiter zeichnet man durch den Schnittpunkt dieses Kreises um A mit dem Kreis über AB einen Kreis W13, der die Vertikale durch C berührt.

W05 ist ein Schoch-Kreis.


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Man gibt einen Halbkreis vor, der über den beiden Mittelpunkten von AC und CB liegt. Man zeichnet dann einen Kreis durch den Fußpunkt der Höhe, dem Schnittpunkt der Schoch-Geraden mit dem oben beschriebenen Halbkreis und durch Punkt C. W18 ist ein Schoch-Kreis.

...... Man zeichnet eine Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises W15 und den Berührpunkt C. Dann zeichnet man einen Kreis W19, dessen Mittelpunkt auf dieser Verbindungslinie liegt und der durch Punkt C verläuft. W19 ist ein Schoch-Kreis.

Es fällt auf, dass die meisten Kreise, die ich hier vorstelle, nach Thomas Schoch benannt sind. Martin Gardner schrieb 1979 über Bankhoffs Tripel. Das inspirierte den damaligen Studenten Thomas Schoch aus Essen, weitere Kreise zu entdecken. Er schickte seine Ergebnisse Gardner, der sie weitergab, weil er nicht Deutsch verstand. Erst 1996 erhielt Clayton W. Dodge eine Kopie dieser Arbeit. Er erkannte die Qualität und fand einige Kreise wieder, die er unabhängig von Schoch entdeckt hatte. Er benannte die Kreise nach dem ersten Entdecker Schoch.

Pappus-Kette   top
Wer die Rechnungen, die ich oben angedeutet habe, wirklich durchgeführt, merkt, dass sie zum Teil sehr aufwendig sind. Peter Woo schrieb auf einer Webseite, dass die Beweise der Sätze, die er aufführt, sechs handgeschriebene Seiten füllen, während es bei Anwendung der Kreisinversion bei zwei Seiten bleibt. 
Die Kreisinversion soll auf die Pappus-Kette angewandt werden.
...... Man erhält die Pappus-Kette, wenn man in den Arbelos an der Grundlinie spiegelt und nicht nur einen Inkreis einzeichnet, sondern sich anschließend beliebig viele. 
Ein Kreis der Kette wird mit dem Mittelpunkt M gekennzeichnet. Er habe den Radius k. Dann gilt (O1)M+OM=(R+k)+[(R+r)-k]=2R+r. Für M gilt also, dass die Summe der Abstände von den festen Punkten O1 und O konstant ist. Damit liegt M auf einer Ellipse. Da die Rechnung für jeden Mittelpunkt eines Kreises der Kette gilt, liegen alle Mittelpunkte auf einer Ellipse. O1 und O sind die Brennpunkte.
(Die Zeichnung entstand nach einer Vorlage von Dick Klingens, URL unten.) 


...... Man bekommt nun eine andere Sicht der Kreise der Kette, wenn man sie am roten Kreis spiegelt. Dazu legt man links das Zentrum Z fest. Der Kreis wird zum Beispiel so gelegt, dass der Kreis K3 in sich selbst übergeht. 
Dann gehen die Kreise L1 und L2, die zum Teil den Arbelos bilden, in zwei Parallelen über, da das Zentrum ins "Unendliche" rückt und eine  Beziehung wie Sich-Berühren erhalten bleibt. 
Aus der Pappus-Kette wird eine einfache Kreisfolge zwischen zwei Parallelen.
Man kann der Abbildung entnehmen, dass die Pappuskette aus beliebig vielen Kreisen bestehen muss. 
Dann kann man noch eine Formel an der Zeichnung ablesen:
Ist r3 der Radius des dritten Kreises K3 der Kette, so liegt sein Mittelpunkt M3 in einem Abstand von h3=6*r3 von der horizontal liegenden Symmetrieachse entfernt. Das kann man verallgemeinern zu h(n)=2*n*r(n).

Arbelos im Internet     top

Deutsch

Walter Fendt
Die Pappos-Kette - Applet

Wikipedia
Arbelos, Zwillingskreise, Leon Bankoff


Englisch

Alexander Bogomolny
The Shoemaker's Knife

Antonio Gutierrez
Archimedes' Book of Lemmas: Proposition 4 - Arbelos

Behnaz Rouhani 
The Arbelos

Bob's Pages
Pappus's Arbelos

Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Arbelos, Archimedes' CirclesBankoff CircleInversion, Pappus Chain, Schoch Line, Woo Circle

Floor van Lamoen
Online catalogue of Archimedean circles

Frank Power
Some More Archimedean Circleas in the Arbelos (.ps-file)

Harold P. Boas
Reflections on the Arbelos

Peter Woo
The ARBELOS

Shannon Umberger
Essay # 4 - The Arbelos and the Salinon

Stephen Tan
Arbelos by Steve

Thomas Schoch
The Arbelos, My Arbelos story, A Dozen More Arbelos Twins

Wikipedia
Arbelos

Wilson Stothers
The Arbelos  with CabriJava



Holländisch

Dick Klingens 
Een, volgens Pappos, oud probleem: de arbelos


Referenzen   top
(1) Martin Gardner: Fractal Music, Hypercards and More Math. Recreations from SA Magazin, Freeman (1991) New York
(2) Clayton W. Dodge, Thomas Schoch, Peter Y. Woo, Paul Yiu: Those Ubiquitous Archimedean Circles, Mathematics Magazine, Vol.72, NO.3, June 1999
(3) C.Stanley Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie, Braunschweig 1976 (ISBN 3 528 08314 X)


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©  2003 Jürgen Köller

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