Dreiseitige Pyramide
Inhalt dieser Seite
Was ist eine dreiseitige Pyramide?
Oberfläche und Volumen
Tetraeder
Pyramiden im Quader
Gerade Dreieckspyramide
Disphenoid
Rechtwinklige Pyramide
Rechtwinklige Pyramide mit gleichseitigem Dreieck
Beaded Origami Ornament
Dreieckspyramiden im Internet.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist eine dreiseitige Pyramide?
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...... Gegeben sei ein beliebiges Dreieck ABC und ein Punkt P, der nicht in der Ebene des Dreiecks liegt. Verbindet man diesen Punkt mit den Eckpunkten des Dreiecks, so entsteht eine dreiseitige  Pyramide oder eine Dreieckspyramide.


Der Einfachheit halber heißt die dreiseitige Pyramide auf dieser Webseite einfach Pyramide.
......J
Wie jede Pyramide hat die dreiseitige Pyramide eine Grundfläche, eine Spitze, Seitenflächen und eine Höhe.
Diese Pyramide hat vier Seitenflächen, sechs Kanten und vier Ecken. In jedem Eckpunkt treffen drei Kanten aufeinander.
Jede Seitenfläche kann auch Grundfläche sein. Man bevorzugt die Lage, bei der die Höhe innerhalb der Pyramide liegt.

...... Klappt man die Seitenflächen in die Ebene des Grunddreiecks, so erhält man ein Netz der Pyramide.
Da die Seitenflächen jeweils eine Seite gemeinsam haben, wird das Netz durch je einer Seite eines Seitendreiecks und durch die drei Seiten des Grunddreiecks und bestimmt. 
Sechs Strecken bestimmen die Pyramide.

Auf dieser Webseite werden der Reihe nach besondere Pyramiden besprochen.

Oberfläche und Volumen     top
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Angenommen, man kennt die Grundfläche A und die Höhe h der Pyramide.

Das Volumen ist dann wie bei jeder Pyramide V=(1/3)AH. 


...... Eine Pyramide wird bestimmt durch sechs Größen. 
Das können die Seiten der Dreiecke sein, die oben eingeführt wurden. 
Dann ist die Oberfläche die Summe der Flächeninhalte der vier Dreiecke.
Für das Grunddreieck gilt die heronsche Formel A=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)] mit s=(1/2)(a+b+c).
Entsprechende Formeln gelten für die Seitenflächen.
Eine Formel für das Volumen müsste es theoretisch auch geben. Sie ist mir nicht bekannt.

...... Man kann die Pyramide auch durch drei Kanten a, b und c sowie die Winkel alpha, beta und gamma zwischen den Kanten eindeutig beschreiben. Das sind wieder sechs Größen. Dann gilt für die Pyramide ABCD
V=(1/6)abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)].
Die Formel wird im Wesentlichen auf meiner Webseite Parallelepiped hergeleitet.
Auf eine Formel für die Oberfläche verzichte ich.

Tetraeder top
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Hat die Pyramide sechs gleich lange Kanten oder wird die Pyramide aus vier gleichseitigen Dreiecken gebildet, so handelt es sich um ein Tetraeder. 

Mehr auf meiner Seite Tetraeder


Man bezeichnet die allgemeine Dreieckspyramide auch als Tetraeder. Das ist berechtigt, denn Tetraeder heißt Vierflächner. 
Dann muss man für das Tetraeder regelmäßig hinzufügen. 
Aber meist verwendet man wie ich auf dieser Webseite die Bezeichnungen dreiseitige Pyramide für die allgemeine, Tetraeder für die regelmäßige, dreiseitige Pyramide. 
Im englischen Sprachbereich gibt es die gleichen Unklarheiten mit triangular pyramid und tetrahedron bzw. tetrahedron und regular tetrahedron.

Pyramiden im Quader top
Die folgenden Bildpaare ermöglichen eine räumliche Sicht.
...... Verbindet man vier passende Eckpunkte eines Würfels in bestimmter Weise, entsteht ein Tetraeder.


...... Verbindet man vier passende Eckpunkte eines Quaders, so entsteht eine Pyramide.
Sie wird von Flächendiagonalen des Würfels gebildet. Hat der Quader verschieden lange Kanten, so sind auch die Flächendiagonalen verschieden lang. Dennoch ist es keine allgemeine Pyramide, die Gegenkanten sind gleich lang und orthogonal.

Verbindet man vier passende Kantenmitten eines Quaders in bestimmter Weise, entsteht ein Pyramide.
Je zwei Dreiecke sind kongruent und gleichschenklig, ein Paar Gegenkanten ist orthogonal.

Verbindet man vier bestimmte Eckpunkte eines Quaders, so entsteht eine dreiseitige Pyramide mit drei rechten Winkeln in einem Eckpunkt.
Diese "rechtwinklige" Pyramide wird unten untersucht.

Gerade Dreieckspyramide       top
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...... Ist die Grundfläche ein beliebiges Dreieck und sind die Seitenflächen gleichschenklige Dreiecke, so handelt es sich um eine gerade dreiseitige Pyramide. - Die Spitze liegt über dem Schwerpunkt des Dreiecks.

Ist darüberhinaus das Grunddreieck gleichseitig und sind die Seitenflächen gleichschenklig wie hier, so spricht man von der regelmäßigen dreiseitigen Pyramide.


Es gibt zahlreiche dreidimensionale Sterne, die dadurch entstehen, dass man auf passende Polyeder gerade Dreieckspyramiden setzt. Sie heißen  Zacken. Auf meiner Webseite zum Basteln des Bascetta-Sterns gibt es ein Kapitel Bekrönte Polyeder
Ich habe vier Stereobilder und zwei Fotos herausgezogen.

Triakis-Tetraeder

Triakisoktaeder

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Rhombendodekaeder

Großes Sterndodekaeder 


Bascetta-Stern

Sonobe-Stern

Herrnhuter Stern

Disphenoid top
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Zeichnet man in ein beliebiges Dreieck das Mittendreieck, so entsteht das Netz des Disphenoids. (nach altgriechisch sphenoid, „Keil“).
Die Grundfläche und die drei Seitenflächen sind kongruente Dreiecke.
In Anlehnung an die englische Bezeichnung Isosceles Tetrahedron heißt es auch gleichschenkliges Tetraeder


... In der Zeichnung erhalten alle Strecken einen Namen. 

So kann man einsehen, dass die gegenüberliegenden Kanten gleich lang sind. 


Rechtwinklige Pyramide      top
Darunter verstehe ich in Anlehnung an die englische Bezeichnung Trirectangular tetrahedron eine Pyramide mit drei rechten Winkeln an der Spitze.


Netz und Schrägbild der Pyramide mit beliebigem Dreieck
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... Die Grundfläche sei ein beliebiges Dreieck und die Seitenflächen rechtwinklige Dreiecke. 

Netz und Schrägbild der Pyramide mit gleichseitigem Dreieck
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Die Seitenflächen sind gleichschenklig-rechtwinklig. 

Pyramiden im Quader und Würfel
Eine Zugang zu diesen Pyramiden erhält man, wenn man in einem Quader bzw. Würfel vier passende Eckpunkte miteinander verbindet.
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Rechtwinklige Pyramide mit gleichseitigem Dreieck     top
Modell
...... Man erhält ein einfaches Modell dieser Pyramide, wenn man ein Quadrat ausschneidet, längs einer halben Diagonalen einschneidet und die beiden grünen Dreiecke aufeinanderlegt.


Rechnungen
...... Die Pyramide ABCD im Würfel wird durch eine Größe bestimmt, z.B. durch die Kantenlänge a des Würfels bzw. die Seitenkante a der Pyramide. 
Das Dreieck ABC ist gleichseitig und hat die Seitenlänge sqrt(2)a.

Oberfläche
Die Oberfläche der Pyramide ist O = 3As+Ag
As = (1/2)a² ist der Flächeninhalt einer Seitenfläche, 
Ag = (1/4)(sqrt3)[(sqrt(2)a)]² = (1/4)(sqrt3)2a² = (1/2)sqrt(3)a² der der Grundfläche.
Dann ist O = 3*(1/2)a²+(1/2)sqrt(3)a² oder O = (1/2)[3+sqrt(3)]a².

... Weiter gilt Ag² = (3/4)a4 = 3*(1/4)a4 = 3As². ........................................

Die Verallgemeinerung für beliebige rechtwinklige dreiseitige Pyramiden ist Ag² =As1² + As2² * As3² (Satz von de Gua).
Dabei sind s1, s2 und s3 die Seitenkanten der Pyramide.
Quelle: Trirectangular tetrahedron (MathWorld, URL unten)

Volumen
1.Herleitung
...... Das Volumen ist V = (1/3)AgH. 

Die Raumhöhe H findet man im rechtwinklige Dreieck CDS mit den Seiten H, (2/3)h und a 
mit h=(1/2)sqrt(3)*sqrt(2)a = (1/2)sqrt(6)a.
 

Nach dem  Satz des Pythagoras gilt H² = a²- [(2/3)h²] = a²-(2/3)a² = (1/3)a². 
Dann ist H = (1/3)sqrt(3)a.
Dann ist V = (1/3)*(1/2)sqrt(3)a²*(1/3)sqrt(3)a oder V= (1/6)a³.

2.Herleitung
Man betrachtet ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck als Grundfläche. Dann V=(1/3)A'H = (1/3)*(1/2)a²*a oder V = (1/6)a³.

Die Verallgemeinerung für beliebige rechtwinklige dreiseitige Pyramiden lautet V = (1/6)abc.
Dabei sind a, b und c die Seitenlängen der rechtwinkligen Pyramide.
Das aber ist die Formel 
V=(1/6)abc*sqrt[1 + 2cos(alpha)cos(beta)cos(gamma)-cos²(alpha)-cos²(beta)-cos²(gamma)] 
für alpha = beta = gamma = 90°.

Beaded Origami Ornament   (Mit Perlen versehenes Origami-Ornament) top
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Spiegelt man die rechtwinklige Pyramide an der Grundfläche, entsteht eine Bipyramide aus sechs gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken.


Diese Bipyramide erwähne ich, um auf eine hübsche Bastelei hinzuweisen. 

Schalala ;-)
Man kann sie aus drei Sonobe-Modulen flechten. 
Auf meiner Webseite Körper flechten erkläre ich, wie man aus sechs Modulen einen Würfel flechtet. Die Bipyramide ist ähnlich herzustellen. Man bildet zuerst eine Spitze (beim Würfel eine Ecke) aus drei rechtwinkligen Dreiecken. Dabei beachtet man, dass die glatte Seite innen liegt. Aus den frei hängenden Spitzen formt man die Gegenpyramide. 
Mehr im Kapitel Sonobe-Würfel auf meiner Webseite Körper flechten und auf meiner Webseite Sonobe-Stern.

Eine Anleitung findet man auf der Webseite von Yasutomo Inc (URL unten), die auch meine Quelle ist.

Dreiseitige Pyramide im Internet       top

Deutsch

creadoo.com 
Grundanleitung Schalalas

Michael Buhlmann
Dreiseitige Pyramide    (Applet)

Rudolf Fritsch 
Winkelverteilung am Tetraeder  (.pdf-Datei)

Thomas Unkelbach (Materialien zum selbstständigen Arbeiten)
Dreieckspyramide   (.pdf-Datei)

Wikipedia
Tetraeder, Disphenoid, Pyramide (Geometrie)

Englisch

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Tetrahedron, Regular TetrahedronIsosceles Tetrahedron, Trirectangular tetrahedron, Triangular bipyramid

TechnologyUK
The Tetrahedron

Wikipedia
Tetrahedron, Disphenoid, Trirectangular tetrahedron, Pyramid, Triangular bipyramid
Sonobe, Euler brick

Yasutomo Inc
Beaded Origami Ornament


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2015 Jürgen Köller

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