Was ist ein Apfelmännchen?
Mathematischer
Hintergrund
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Vom Punkt zur Folge Setzt man komplexe Zahlen voraus, so heißt die Rekursionsformel der Folge zn+1=zn² + c. Dabei ist c=x1 + y1*i die Zahl, für die eine Farbe bestimmt werden soll. z0=0 ist die Anfangszahl. Die Folge ist |zn|. Da viele mit komplexen Zahlen nicht vertraut sind, wähle ich den Weg über die reellen Zahlen. Die folgenden Formeln werden für das Apfelmännchen
verwendet.
Die Rechnung wird am Beispiel des Punktes P1(x1|y1) = P1(-0.40|0.70) erklärt: Ausgangspunkt ist für jeden Punkt der Nullpunkt N(0|0).
Das zweite Glied der Folge errechnet sich aus den Koordinaten
des Ausgangspunktes P1.
Das nächste dritte Glied der Folge errechnet sich
aus den Koordinaten des vorhergehenden Punktes und des Ausgangspunktes.
Auf diese Weise erhält man für den Ausgangspunkt
P1(-0.40|0.70) die Folge
Fünf Punkte und ihre Folgen Die folgende Tabelle hält die Folgen zu fünf Punkten (Beispiele) fest, die nach der gleichen Methode bestimmt worden sind.
Die erste Folge ist konvergent und strebt gegen 0.31. (Die Punkte mit konvergenten Folgen bilden das Apfelmännchen.) Die übrigen Folgen sind offenbar divergent. Die Glieder
der Folge gehen über alle Grenzen, allerdings unterschiedlich stark.
Von der Folge zur Farbe Überschreitet ein Glied der Folge die Zahl 2 (rot), so ist anzunehmen, dass die Folge über alle Grenzen geht. Das stimmt in etwa mit der Erfahrung überein. Wird nun 2 überschritten, so wird die Nummer des vorhergehenden Gliedes notiert. Sie wird Kennzahl in einer Farbskala. Diese Zahlen werden für die fünf Punkte oben in der folgenden Tabelle festgehalten:
Vorausgesetzt, es steht eine Farbskala mit 10 Farbstufen (0 bis 9) zur Verfügung. Ist eine Kennzahl größer als 9, so nimmt man die Zehnerreste. Beispiel: An Stelle von 12 in der zweiten Folge wählt man 2. Jetzt können die Punkte gezeichnet werden.
Computereinsatz Der bisher dargestellte mathematische Hintergrund führt zu der Bearbeitung eines riesigen Zahlenmaterials. Für jeden Punkt muss eine Folge berechnet und ausgewertet werden. Das kann nur ein Computer bewältigen. Der Computer kann einen Fehler nicht vermeiden: Er kann nur endlich viele Glieder einer Folge berechnen. Untersucht der Computer zum Beispiel nur 50 Glieder, so kann es vorkommen, dass 2 nicht überschritten wird, dass aber trotzdem eine divergente Folge vorliegt. Der Fehler wird gemildert, wenn mehr Glieder berechnet werden.
Viele, die programmierten und an Computergrafik interessiert waren, haben sich in den 1980er Jahren und später am Apfelmännchen versucht. Es war ein schönes Erlebnis, wenn ein relativ einfaches Programm zum ersten Mal, früher nach Stunden, das komplizierte Apfelmännchen hervorbrachte (C64-Nostalgie!). Das ist die Umsetzung in die Programmiersprache Visul Basic V3.
Julia-Mengen Die Julia-Mengen werden mit den gleichen Formeln wie oben berechnet, jedoch mit anderer Handhabung. In xn+1 = xn²-yn² +x0' und yn+1 = 2xn*yn+y0' und an+1 = SQR(xn+1²+yn+1²) wird für P(x0'|y0') ein bestimmter Punkt gewählt. Unten sind drei Juliamengen dargestellt. Die Bilder gehören von links nach rechts zum Inneren, zum Randgebiet und zum Äußeren des Apfelmännchens. Im mittleren Bild stößt man auf detailreiche Muster mit großer Bildertiefe.
Programme und Videos
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1 Nikko Strom: The Mandelbrot set (in Quite BASIC) Wer zurückschauen möchte, dem sei dieses Programm empfohlen. Es zeigt nicht nur sein Listing, sondern man kann es auch online starten, indem man auf das Startdreieck oben links klickt. Dann wird das Apfelmännchen mit 100x100 Pixel gezeichnet. Das kommt gut heraus: Trotz der geringen Auflösung muss man mehr als eine halbe Stunde warten, bis das Bild vollendet ist. 2 M. Eric Carr: Mandelbrot Set Zoom (Videoclip bei Youtube, 4:26 min) Oben schreibe ich: Immer wieder entdeckt man dunkelblaue Flecken, die sich nach Vergrößerung als neue Apfelmännchen entpuppen. Hier ist eine Demonstration. 3 teamfresh: Last Lights On - Mandelbrot fractal zoom to 6.066 e228 (2^760) (Videoclip bei Vimeo, 13:45 min) Eine atemberaubende Reise in die Tiefen des Apfelmännchens, ein Reichtum an Farben und Formen. Wer die fast 14 min durchhält, erlebt am Ende eine Überraschung, oder sie ist gar keine. 4 Harald Schmidt: Mandelbrot Applet Dieser Link steht für die zahlreichen Java-Applets zur Mandelbrotmenge. Es stehen mehrere Programme bereit, mit deren Hilfe man sich an den Rändern des Apfelmännchens umsehen kann. 5 und 6 Georg Klein: Fractile plus Tom Kerrigan: Fast Fractal Wenn ich mit den Grafiken herumspielen möchte, benutze ich Apps auf dem IPad. Sie haben neben den brillanten Bildern und der leichten Handhabung auch die Möglichkeit, Bilder mit Hilfe von Koordinaten wieder zu finden und zu sichern.
Spiralen machen immer etwas her. ![]() Fast Fractal (-0,747162, -0,087584) ![]() Fractile Plus (-0,055394, +0,653645) Apfelmännchen im Internet top Deutsch Albert Kluge
Alexander F.Walz
Christian Gloor
Christian Symmank
Harald Schmidt
Manfred Thole
Thomas Hövel
Wikipedia
Englisch Eric W. Weisstein
Jules Ruis
M. Eric Carr
Michael Frame, Benoit Mandelbrot, and Nial Neger
Nikko Strom
Robert Munafo
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