Was ist Hüpfer?
Hüpfer ist eine Computergraphik, genauer ein Fraktal. 

Bei Vorgabe eines Anfangspunktes werden mit Hilfe zweier Formeln nacheinander die Koordinaten immer weiterer Punkte berechnet und sofort gezeichnet. Die Punkte schließen sich zu Figuren zusammen. Das Besondere ist und so kommt der Name Hüpfer zustande, dass die Punkte um den Anfangspunkt herum in immer meist größeren Abständen springen. Das konnte man in den achtziger Jahren, als diese Grafiken aufkamen, bei den damals langsameren Computern gut erkennen. Heute sind die Bereiche, in denen gerade gezeichnet wird, vergleichbar mit pulsierenden Ringen, in die sich Kaskaden von Punkten ergießen. 

Hüpfer ist die deutsche Bezeichnung von Hopalong (hop-along, weiterhüpfen).

Der Erfinder von Hopalong ist Barry Martin von der Aston University in Birmingham/England. A. K. Dewdney beschrieb diese Fraktale im Magazin Scientific American im September 1986 und machte sie so bekannt. Die deutsche Ausgabe Spektrum der Wissenschaft verbreitete Hopalong in Deutschland in der Novemberausgabe 1986 mit einer Übersetzung dieses Artikels in der Rubrik Computer-Kurzweil . 

Es folgen drei typische Hüpfer-Bilder.

a=0.7, b=1, c=0

a=0.4, b=1, c=0

a=0.01, b= -0.3, c=0.003

Vor Jahren erstellt mit dem Programm "Winfract".

Algorithmus    top
In Dewdneys Aufsatz findet man das folgende Programm.

......

Erklärung: Der Ausgangspunkt der Grafik ist der Punkt (x,y)=(0,0).  Nach zwei getrennten Formeln werden xx und yy berechnet. Dabei tauschen sich x und y aus. Dann wird zum Plotten "umgeladen". Das wiederholt sich bis num erreicht wird. Die Variable i steht für einen Punkt, num ist die Anzahl der Punkte.  Die Vorzeichenfunktion SIGN(x) ist gleich 1, wenn x>0, -1 wenn x<0 ist; SIGN(0)=0.  ABS(x) ist die Betragsfunktion und ermöglicht ein Wurzelziehen.

Es gibt im Programm vier Variable, die eine Figur bestimmen. Das sind die Parameter (a, b, c) und die Anzahl der Punkte num. 
Wer sich mit Hüpfer beschäftigen will, sollte - in welcher Programmiersprache auch immer - dieses einfache Programm ausprobieren. 

Eigenes Programm     top
Wie viele Leser von Spektrum der Wissenschaft habe ich damals dieses kleine Programm sofort ausprobiert. In den 90iger Jahren benutzte ich dann ein Programm in Visual Basic 3, das ich hier nicht mehr anbiete, da Programme in VB 3 unter Windows 7 nicht mehr funktionieren.
Hauptroutine des Programms:

Sub graph (u, v, a, b, c, z)     text9.Text = ""     x = 0: y = 0     For i = 0 To z       PSet (u + x, v + y)       xx = y + Sgn(x) * Abs(b * x - c)       yy = a - x       x = xx       y = yy       If i / 10000 = Int(i / 10000) Then text9.Text = Str$(i)     Next i     text9.Text = "Ende" End Sub................................................................................

Man erkennt das Programm von oben wieder.  >Der Einfachheit halber werden Bildschirmkoordinaten verwendet. Dadurch ist die Einheit gleich einem Pixel. >Die Variablen u und v legen fest, wo die Mitte einer Figur liegt. Das kann in Visual Basic etwa (7000,5000) sein. >Der erste Funktionsterm ist Sgn(x) * Abs(b * x - c). Im Unterschied zum klassischen Hüpfer fehlt die Sqrt-Funktion.  So habe ich etwas Eigenes :-). <text9.Text> ist sehr hilfreich. Man kann die Fortschritte und das Ende des Zeichnens erkennen.

(500, 0.21, 100,150000)

(150, 0.22761, 100, 300000)

(300, 0.21, 50, 750000)

(366, 0.07, 50,1000000)

(500, 0.833, 120, 40000)

(150, 0.033, -80, 2000000)

>Probiere alle möglichen Zahlen (auch negative Zahlen) für a,b,c,num aus. >Lasse die Funktion INT(x) weg. Es zeigt sich, wie wichtig diese "Sprungfunktion" für einen Musterreichtum ist. >Lasse die Funktionen SQR(x) und dann auch ABS(x) weg.  >Ersetze x durch 0.9999*x. Es ist erstaunlich,  dass trotz der Nähe zu 1 wegen der vielen Iterationen die Grafiken klein bleiben. >Ändere die Vorzeichen. Es wird deutlich, wie bestimmend sie sind.  >Bringe Farbe in den Hüpfer. >Verwende statt des Standardterms Sgn(x) * Sqrt((Abs(b * x - c)) andere Terme so wie rechts.

Dreidimensionale Strukturen durch Selbstorganisation      top
Wolfhard Hövel von der Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg fand diese Webseite und bot mir ein Applet an, mit dem man Fraktale nach einem selbstentwickelten Algorithmus erzeugen kann. Er vermutete, dass vielleicht einige Besucher Gefallen daran fänden. Vielleicht stiegen einige Leser auf dieses Thema ein und stellten gar eigene Überlegungen zur Diskussion.

Gerne stelle ich sein Programm, das Applet Attractor.jar, hier vor. 
Die Beschreibung findet man unter Selbstorganisation von Vektoren in Form einer .pdf-Datei.

New run Die Anfangsbedingungen werden zufällig neu gesetzt. Clear Der Bildschirminhalt wird gelöscht. Zoom Der Bildschirminhalt wird gelöscht und um den Faktor 1,2 vergrößert neu gezeichnet oder entsprechend verkleinert. x Verschiebung des Bildes in x – Richtung. y Verschiebung des Bildes in y – Richtung. Projection Der Attraktor wird aus verschiedenen Richtungen auf den Bildschirm projiziert. Die Anzahl der Projektionen hängt von der gewählten Dimension ab. All nodes Alle Knoten ( Ortsvektoren ) oder nur einzelne werden gezeichnet. In diesem Beispielprogramm sind maximal 12 Knoten möglich. Pull Die einzelnen Knotenpaare werden mit wachsender Intensität auseinandergezogen. Dies erfolgt durch einen Vektor, der in die 45° - Richtung wirkt. Dabei können andersartige Attraktoren entstehen. Noise Die Knoten werden mit wachsender Intensität zufällig im Raum verschoben. Mit diesem überlagerten Rauschen kann die Stabilität des Attraktors geprüft werden. Dimension Die Dimension n des Raums kann ab n = 2 beliebig eingestellt werden. Parameter e Der Parameter e beschränkt den maximalen Abstand der Knoten eines Knotenpaars. Parameter s Der Parameter s bestimmt den Abstand der Parallelen, auf denen die antiparallelen Verschiebungsvektoren eines Punktpaars liegen. Graph i Hier kann man vorgegebene Graphen, für die Attraktoren gefunden wurden, auswählen. Für Graph i = 1 werden neue Graphen fortlaufend zufällig erzeugt. Wird ein neuer Attraktor gefunden, stoppt die Suche automatisch. Period = i Es werden i Iterationen durchgeführt und dann die berechneten Pixel gezeichnet. Strobe Der Bildschirm wird vor jeder Periode gelöscht. Mit Period und Strobe kann das dynamische Verhalten der Attraktoren untersucht werden. Cross section Aus der Struktur wird eine dünne Scheibe herausgeschnitten und gezeichnet. Die Anzahl der möglichen Darstellungen hängt von der gewählten Dimension ab. Graph Der verwendete Graph, der die Kopplung der Knoten ( Ortsvektoren ) bestimmt, wird angezeigt.

Verwandte Webseiten meiner Homepage       top

Langton-Ameise

Game of Life

Apfelmännchen

Hüpfer im Internet top

Deutsch

Ulrich Schwebinghaus   (fraktalwelt)
Iterationen II - Hopalong   (mit Programm zum Herunterladen)

Englisch

flickriver
Photos tagged with hopalongattractor

James Henstridge
Hopalong Orbit Fractal   (Applet)

Martin Junglas (fluxury) 
Hopalong Fractals   (Applet) 

Paul Bourke
Fractals and Computer Graphics

Wolfram Demonstrations Project
Orbits of the Hopalong Map

Referenzen   top
A.K.Dewdney: Computer-Kurzweil, Spektrum der Wissenschaft, November 1986