Lissajous-Figur
Inhalt dieser Webseite
Was ist eine Lissajous-Figur?
Grundfiguren
Beschreibung der Grundfiguren
Erweiterungen
Nicht geschlossene Lissajous-Figuren
Ausartungen
Verfremdung der Parametergleichungen
Epizykloiden
Lissajous-Figur im Internet
Referenzen.
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Was ist eine Lissajous-Figur?
......
x=sin(t) /\ y=sin(2t)

Eine Lissajous-Figur ist der Graph, der durch die Parametergleichungen
x=a1sin(b1t+c1)
y=a2sin(b2t+c2
beschrieben wird.
In Anlehnung an die harmonische Schwingung heißen die Größen ai Amplituden, bi Kreisfrequenzen und ci Phasen (i=1, 2). 


Grundfiguren   top
Typische Lissajous-Figuren erhält man über die vereinfachten Gleichungen x=sin(b1t) /\ y=sin(b2t). 
Die Variablen b1 und b2 stehen für natürliche Zahlen.
Beispiele

x=sin(t)
y=sin(2t)

x=sin(t)
y=sin(3t)

x=sin(t)
y=sin(8t)

x=sin(2t)
y=sin(3t)

x=sin(7t)
y=sin(9t)


Beschreibung der Grundfiguren     top
Abgeschlossenheit
Es entstehen geschlossenen Kurven, da die beteiligten Sinusfunktionen im Bereich {t | 0<= t<=2pi} periodisch sind.


Symmetrie
......
Alle Figuren  haben die Darstellung x=sin(b1x) /\ y=sin(b2x).

Die Figuren sind achsensymmetrisch bezüglich der Achsen des Koordinatensystems,
denn es gilt sin(b1x)=sin[b1(-x)] und sin(b2x)=sin[(b2(-x)].


Umschreibendes Quadrat
...... Die Figuren in einem Quadrat mit der Seitenlänge 2 Längeneinheiten, denn es gilt a1= a2= 1.

Berühr-Regel
...... Der nebenstehende Graph berührt das umschreibende Quadrat in der Vertikalen 3-mal und in der Horizontalen 4-mal.
Daraus kann man folgern, dass die Parametergleichungen x=sin(3x) /\ y=sin(4x) sind.
Stellt man nämlich den Graphen zu y=sin(4x) im Intervall von 0 bis 2pi dar, so erkennt man in seinen Scheitelpunkten die vier Berührpunkte. Entsprechendes gilt für den Graphen zu y=sin(3x).

Verallgemeinerung
Figuren mit der Darstellung x=sin(b1x) /\ y=sin(b2x) berühren das umschreibende Quadrat in der Horizontalen b2-mal und in der Vertikalen b1-mal.

Erweiterungen  top
Phasenverschiebungen
Tritt zwischen den beiden Sinusfunktionen zu einer Grundfigur eine "Phasenverschiebung" c1-c2 auf, so geht eine Symmetrie verloren. Die Graphen verändern sich je nach Phasenlage, bewahren aber ihr Grundaussehen.
Das veranschaulichen die folgenden sechs Bilder.

x=sin(t)
y=sin(2t)

x=sin(t)
y=sin(2t+pi/5)

x=sin(t)
y=sin(2t+n*pi/10)  (n=0, 1, 2, ..., 20)
Die Phasenverschiebungen sind pi/5 und in der Animation n*pi/10  (n=0, 1, 2, ..., 20)



x=sin(3t)
y=sin(4t)

x=sin(3t)
y=sin(4t+9pi/10)

x=sin(3t)
y=sin(4t+n*pi/10)  (n=0, 1, 2, ..., 20)
Die Phasenverschiebungen sind 9pi/10 und in der Animation n*pi/10  (n=0, 1, 2, ..., 20)

Veränderung der Amplituden
...... Bisher galt für die Amplituden a1 = a2  = 1.
Wählt man z.B. a1 = 3 und a2 = 2, so wird die Lissajous-Figur entsprechend gedehnt.

Die Parameterdarstellung ist  x=3sin(3t) /\ y=2sin(4t).


Bruchzahl als Kreisfrequenz
...... Bisher wurden nur natürliche Zahlen als Kreisfrequenzen zugelassen.

So hat der nebenstehende Graph die Darstellung x=sin(7t) /\ y=sin(9t)..............................................
 


......
x=sin(7/9t)
y=sin(t)
In der Literatur kann man nachlesen, dass die Art der Lissajous-Figur entscheidend durch das Verhältnis der Kreisfrequenzen b1:b2 bestimmt wird.

Unter diesem Gesichtspunkt sollte man annehmen, dass die Gleichungen x=sin(7/9t) /\ y=sin(t) zum  gleichen Graphen führen. (Übrigens muss man hier für t die Werte von 0 bis18pi einsetzen, damit die vollständige Figur entsteht.) 
Es sieht nicht so aus, als sei dieses der gleiche Graph. Die Berühr-Regel gilt nicht.


...... Und das ist die Auflösung.
Man muss nur eine kleine Phasenverschiebung pi/5 einführen, um einzusehen, dass es sich um eine Grenzform der Grundfigur oben handelt. 
Es gilt 
x=sin(7/9t+pi/5)
y=sin(t).........
0<=t<=18pi

Zwischenbemerkung
Durch die notwendige Erweiterung des Definitionsbereichs von 0 bis 2pi auf 0 bis 18pi erreicht man, dass der Graph von  x=sin(7/9t) /\ y=sin(t) insgesamt 7 bzw. 9 Scheitel hat, die dann zu den Berührpunkten im umfassenden Quadrat führen.

...... Um die Grundfigur zu erhalten, muss man eine Phasenverschiebung von pi/2 ansetzen.

Die Gleichungen heißen dann x=sin(7/9t-pi/2) und y=sin(t) oder x=cos(7/9t) /\ y=sin(t).

Es bleibt 0<=t<=18pi.


...... Auch für die Parametergleichungen x=sin(t) /\ y=sin(9/7t) mit 0<=t<=14pi ergibt sich der gleiche Ausartungsfall als Graph. Es gilt hier 0<=t<=14pi.

Die Figur wird zur Grundfigur durch x=sin(t) /\ y=sin(9/7t-pi/2).


Nicht geschlossene Lissajous-Figuren     top
Wie oben erwähnt, sind die Figuren nicht mehr geschlossen, wenn mindestens eine Kreisfrequenz in den Parametergleichungen eine irrationale Zahl ist.
Das zeigt die folgende Bilderreihe für x=sin(t) /\ y=sin(1.41421t). Die Dezimalzahl steht für sqrt(2).

x=sin(t)
y=sin(1.41421t)
0<=t<=2pi

x=sin(t)
y=sin(1.41421t)
0<=t<=10pi

x=sin(t)
y=sin(1.41421t)
0<=t<=100pi

x=sin(t)
y=sin(1.41421t)
0<=t<=300pi
Es hat den Anschein, als fülle der Graph mit größer werdendem Definitionsbereich immer mehr das umschreibende Quadrat aus.


Ausartungen   top
Einige bekannte Graphen gehören zu den Lissajous-Figuren, z.B. die Strecke, die Kreislinie, die Ellipse und das Parabelstück.

x=sin(t)
y=sin(t)

x=sin(t)
y=sin(t-pi/2)

x=sin(t)
y=sin(t-pi/3)

x=sin(t)
y=sin(2t+3pi/2)
 


Man kann die Aussagen über ihre Koordinatengleichungen begründen.
Strecke
Die Gleichungen sind x=sin(t) /\ y=sin(t). Daraus folgt y=x.

Kreis
Die Gleichungen sind x=sin(t) /\ y=sin(t-pi/2) oder x=sin(t) und y=cos(t). 
Aus sin²(t)+cos²(t)=1 folgt die Mittelpunktgleichung des Einheitskreises x²+y²=1.

Ellipse
Die Gleichungen sind x=sin(t) /\ y=sin(t-pi/3).
Es gilt  nach dem Additionstheorem sin(t-pi/3)=sin(t)cos(pi/3)-cos(t)sin(pi/3). 
Dann ist 
y=(1/2)x-(1/2)sqrt(3)sqrt[1-sin²(t)]
<=>   y=(1/2)x-(1/2)sqrt(3)sqrt(1-x²)    |*2
<=>   (1/2)sqrt(3)sqrt(1-x²)=-y+(1/2)x
<=>   sqrt(3)sqrt(1-x²)=-2y+x    |²
=>   3(1-x²)=4y²-4xy+x² 
<=>   3-3x²=4y²-4xy+x² 
<=>   4x²-4xy+4y²-3=0
Es gilt der Satz: Die Gleichung Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 stellt eine Ellipse dar, wenn 4AC-B²>0 ist.
Das ist hier der Fall: 4AC-B²=4*4*4-4²=48>0. 

Parabel
Die Gleichungen sind x=sin(t) /\ y=sin(2t+3pi/2)
Es gilt nach dem Additionstheorem sin(2t+3pi/2)=-cos(2t) und cos(2t)=1-2sin²(t). 
Dann ist -y=1-2x² oder y=2x²-1. Das ist die Gleichung der Parabel oben.

Verfremdung der Parametergleichungen       top
 

x=1.5sin(3t)sin(4t) 
y=sin(4t)

x=1.5sin(3t)sin(4t) 
y=sin(4t+pi/20)

x=1.5sin(3t)sin(4t) 
y=sin(4t+pi/8)

x=1.5sin(3t)sin(4t) 
y=sin(4t+pi/2)
Die Figuren stehen auf dem Kopf.



x=sin(2t)sin(3t) 
y=sin(t)sin(5t) 

x=sin(t)sin(3t) 
y=sin(t)sin(5t-pi/4) 

x=sin(6t)sin(4t) 
y=sin(4t)sin(8t) 

x=sin(3t)sin(4t) 
y=sin(4t)sin(8t) 


Einige Bilder dieser Seite in Farbe

Epizykloiden
Über Epizykloiden, die auch durch Parametergleichungen mit Sinusfunktionen beschrieben werden, gibt es an einer anderen Stelle meiner Homepage eine Seite.



Lissajous-Figur im Internet top

Deutsch

Wikipedia
Lissajous-Figur, Harmonograph


Englisch

Chiu-king Ng 
Lissajous figures  (Applet)

Eric W. Weisstein   (MathWorld)
Lissajous Curve

Famous Curves Index
Lissajous Curves, Applet

Gerd Breitenbach
Vibrating Strings, musical Intervals and Lissajous Curves

Richard Parris (Freeware-Programme) 
winplot

Wikipedia
Lissajous curve, Harmonograph

Xahlee
Lissajous


Französisch

Robert FERRÉOL, (Mathcurve)
COURBE DE LISSAJOUS,   COURBE DE LISSAJOUS 3D


Referenzen   top
(1) Heinz Nickel (u.a.):  Algebra und Geometrie für Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt/M Zürich 1966 
(2) W. Gellert (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986 


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2011 Jürgen Köller

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