Lissajous-Figur
Inhalt dieser Webseite
Was ist eine Lissajous-Figur?
Grundfiguren
Beschreibung der Grundfiguren
Erweiterungen
Nicht geschlossene Lissajous-Figuren
Ausartungen
Verfremdung der Parametergleichungen
Epizykloiden
Lissajous-Figur im Internet
Referenzen.
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Was ist eine Lissajous-Figur?
......
x=sin(t) /\ y=sin(2t)

Eine Lissajous-Figur ist der Graph, der durch die Parametergleichungen
x=a1sin(b1t+c1)
y=a2sin(b2t+c2
beschrieben wird.
In Anlehnung an die harmonische Schwingung heißen die Größen ai Amplituden, bi Kreisfrequenzen und ci Phasen (i=1, 2). 


Grundfiguren    top
Typische Lissajous-Figuren erhält man über die vereinfachten Gleichungen x=sin(b1t) /\ y=sin(b2t). 
Die Variablen b1 und b2 stehen für natürliche Zahlen.
Beispiele

x=sin(t)
y=sin(2t)

x=sin(t)
y=sin(3t)

x=sin(t)
y=sin(8t)

x=sin(2t)
y=sin(3t)

x=sin(7t)
y=sin(9t)


Beschreibung der Grundfiguren     top
Abgeschlossenheit
Es entstehen geschlossenen Kurven, da die beteiligten Sinusfunktionen im Bereich {t | 0<= t<=2pi} periodisch sind.


Symmetrie
......
Alle Figuren  haben die Darstellung x=sin(b1x) /\ y=sin(b2x).

Die Figuren sind achsensymmetrisch bezüglich der Achsen des Koordinatensystems,
denn es gilt sin(b1x)=sin[b1(-x)] und sin(b2x)=sin[(b2(-x)].


Umschreibendes Quadrat
...... Die Figuren in einem Quadrat mit der Seitenlänge 2 Längeneinheiten, denn es gilt a1= a2= 1.

Berühr-Regel
...... Der nebenstehende Graph berührt das umschreibende Quadrat in der Vertikalen 3-mal und in der Horizontalen 4-mal.
Daraus kann man folgern, dass die Parametergleichungen x=sin(3x) /\ y=sin(4x) sind.
Stellt man nämlich den Graphen zu y=sin(4x) im Intervall von 0 bis 2pi dar, so erkennt man in seinen Scheitelpunkten die vier Berührpunkte. Entsprechendes gilt für den Graphen zu y=sin(3x).

Verallgemeinerung
Figuren mit der Darstellung x=sin(b1x) /\ y=sin(b2x) berühren das umschreibende Quadrat in der Horizontalen b2-mal und in der Vertikalen b1-mal.

Erweiterungen   top
Phasenverschiebungen
Tritt zwischen den beiden Sinusfunktionen zu einer Grundfigur eine "Phasenverschiebung" c1-c2 auf, so geht eine Symmetrie verloren. Die Graphen verändern sich je nach Phasenlage, bewahren aber ihr Grundaussehen.
Das veranschaulichen die folgenden sechs Bilder.

x=sin(t)
y=sin(2t)

x=sin(t)
y=sin(2t+pi/5)

x=sin(t)
y=sin(2t+n*pi/10)  (n=0, 1, 2, ..., 20)
Die Phasenverschiebungen sind pi/5 und in der Animation n*pi/10  (n=0, 1, 2, ..., 20)



x=sin(3t)
y=sin(4t)

x=sin(3t)
y=sin(4t+9pi/10)

x=sin(3t)
y=sin(4t+n*pi/10)  (n=0, 1, 2, ..., 20)
Die Phasenverschiebungen sind 9pi/10 und in der Animation n*pi/10  (n=0, 1, 2, ..., 20)

Veränderung der Amplituden
...... Bisher galt für die Amplituden a1 = a2  = 1.
Wählt man z.B. a1 = 3 und a2 = 2, so wird die Lissajous-Figur entsprechend gedehnt.

Die Parameterdarstellung ist  x=3sin(3t) /\ y=2sin(4t).


Bruchzahl als Kreisfrequenz
...... Bisher wurden nur natürliche Zahlen als Kreisfrequenzen zugelassen.

So hat der nebenstehende Graph die Darstellung x=sin(7t) /\ y=sin(9t)..............................................
 


......
x=sin(7/9t)
y=sin(t)
In der Literatur kann man nachlesen, dass die Art der Lissajous-Figur entscheidend durch das Verhältnis der Kreisfrequenzen b1:b2 bestimmt wird.

Unter diesem Gesichtspunkt sollte man annehmen, dass die Gleichungen x=sin(7/9t) /\ y=sin(t) zum  gleichen Graphen führen. (Übrigens muss man hier für t die Werte von 0 bis18pi einsetzen, damit die vollständige Figur entsteht.) 
Es sieht nicht so aus, als sei dieses der gleiche Graph. Die Berühr-Regel gilt nicht.


...... Und das ist die Auflösung.
Man muss nur eine kleine Phasenverschiebung pi/5 einführen, um einzusehen, dass es sich um eine Grenzform der Grundfigur oben handelt. 
Es gilt 
x=sin(7/9t+pi/5)
y=sin(t).........
0<=t<=18pi

Zwischenbemerkung
Durch die notwendige Erweiterung des Definitionsbereichs von 0 bis 2pi auf 0 bis 18pi erreicht man, dass der Graph von  x=sin(7/9t) /\ y=sin(t) insgesamt 7 bzw. 9 Scheitel hat, die dann zu den Berührpunkten im umfassenden Quadrat führen.

...... Um die Grundfigur zu erhalten, muss man eine Phasenverschiebung von pi/2 ansetzen.

Die Gleichungen heißen dann x=sin(7/9t-pi/2) und y=sin(t) oder x=cos(7/9t) /\ y=sin(t).

Es bleibt 0<=t<=18pi.


...... Auch für die Parametergleichungen x=sin(t) /\ y=sin(9/7t) mit 0<=t<=14pi ergibt sich der gleiche Ausartungsfall als Graph. Es gilt hier 0<=t<=14pi.

Die Figur wird zur Grundfigur durch x=sin(t) /\ y=sin(9/7t-pi/2).


Nicht geschlossene Lissajous-Figuren     top
Wie oben erwähnt, sind die Figuren nicht mehr geschlossen, wenn mindestens eine Kreisfrequenz in den Parametergleichungen eine irrationale Zahl ist.
Das zeigt die folgende Bilderreihe für x=sin(t) /\ y=sin(1.41421t). Die Dezimalzahl steht für sqrt(2).

x=sin(t)
y=sin(1.41421t)
0<=t<=2pi

x=sin(t)
y=sin(1.41421t)
0<=t<=10pi

x=sin(t)
y=sin(1.41421t)
0<=t<=100pi

x=sin(t)
y=sin(1.41421t)
0<=t<=300pi
Es hat den Anschein, als fülle der Graph mit größer werdendem Definitionsbereich immer mehr das umschreibende Quadrat aus.


Ausartungen    top
Einige bekannte Graphen gehören zu den Lissajous-Figuren, z.B. die Strecke, die Kreislinie, die Ellipse und das Parabelstück.

x=sin(t)
y=sin(t)

x=sin(t)
y=sin(t-pi/2)

x=sin(t)
y=sin(t-pi/3)

x=sin(t)
y=sin(2t+3pi/2)
 


Man kann die Aussagen über ihre Koordinatengleichungen begründen.
Strecke
Die Gleichungen sind x=sin(t) /\ y=sin(t). Daraus folgt y=x.

Kreis
Die Gleichungen sind x=sin(t) /\ y=sin(t-pi/2) oder x=sin(t) und y=cos(t). 
Aus sin²(t)+cos²(t)=1 folgt die Mittelpunktgleichung des Einheitskreises x²+y²=1.

Ellipse
Die Gleichungen sind x=sin(t) /\ y=sin(t-pi/3).
Es gilt  nach dem Additionstheorem sin(t-pi/3)=sin(t)cos(pi/3)-cos(t)sin(pi/3). 
Dann ist 
y=(1/2)x-(1/2)sqrt(3)sqrt[1-sin²(t)]
<=>   y=(1/2)x-(1/2)sqrt(3)sqrt(1-x²)    |*2
<=>   (1/2)sqrt(3)sqrt(1-x²)=-y+(1/2)x
<=>   sqrt(3)sqrt(1-x²)=-2y+x    |²
=>   3(1-x²)=4y²-4xy+x² 
<=>   3-3x²=4y²-4xy+x² 
<=>   4x²-4xy+4y²-3=0
Es gilt der Satz: Die Gleichung Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 stellt eine Ellipse dar, wenn 4AC-B²>0 ist.
Das ist hier der Fall: 4AC-B²=4*4*4-4²=48>0. 

Parabel
Die Gleichungen sind x=sin(t) /\ y=sin(2t+3pi/2)
Es gilt nach dem Additionstheorem sin(2t+3pi/2)=-cos(2t) und cos(2t)=1-2sin²(t). 
Dann ist -y=1-2x² oder y=2x²-1. Das ist die Gleichung der Parabel oben.

Verfremdung der Parametergleichungen       top
 

x=1.5sin(3t)sin(4t) 
y=sin(4t)

x=1.5sin(3t)sin(4t) 
y=sin(4t+pi/20)

x=1.5sin(3t)sin(4t) 
y=sin(4t+pi/8)

x=1.5sin(3t)sin(4t) 
y=sin(4t+pi/2)
Die Figuren stehen auf dem Kopf.



x=sin(2t)sin(3t) 
y=sin(t)sin(5t) 

x=sin(t)sin(3t) 
y=sin(t)sin(5t-pi/4) 

x=sin(6t)sin(4t) 
y=sin(4t)sin(8t) 

x=sin(3t)sin(4t) 
y=sin(4t)sin(8t) 


Einige Bilder dieser Seite in Farbe

Epizykloiden
Über Epizykloiden, die auch durch Parametergleichungen mit Sinusfunktionen beschrieben werden, gibt es an einer anderen Stelle meiner Homepage eine Seite.



Lissajous-Figur im Internet top

Deutsch
Gerhard Hanebeck
Einander rechtwinklig überlagernde Schwingungen
Wikipedia
Lissajous-Figur, Harmonograph


Englisch

Chiu-king Ng 
Lissajous figures  (Applet)

Eric W. Weisstein   (MathWorld)
Lissajous Curve

Famous Curves Index
Lissajous Curves, Applet

Gerd Breitenbach
Vibrating Strings, musical Intervals and Lissajous Curves

Richard Parris (Freeware-Programm WINPLOT) 
Die offizielle Webseite ist geschlossen. Download des deutschen Programms z.B. bei heise

Wikipedia
Lissajous curve, Harmonograph

Xahlee
Lissajous


Französisch

Robert FERRÉOL, (Mathcurve)
COURBE DE LISSAJOUS,   COURBE DE LISSAJOUS 3D


Referenzen    top
(1) Heinz Nickel (u.a.):  Algebra und Geometrie für Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt/M Zürich 1966 
(2) W. Gellert (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986 


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2011 Jürgen Köller

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