Geradengleichungen
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Was ist eine Geradengleichung?
Allgemeine Geradengleichung
Normalform
Achsenabschnittsform
Hessesche Normalform (HNF)
Zweipunkteform
Punkt-Richtungs-Form
Polarform
Gerade im Raum
Übersicht
Geradengleichung im Internet
.
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Was ist eine Geradengleichung?
...... Eine Gerade ist eine Linie, die entsteht, wenn man einen Stift entlang eines Lineals führt. Sie ist ein Element der euklidischen Geometrie. 

Will man diese durch Axiome begründen, so ist das sehr aufwändig, wie Hilberts Axiomensystem (URL unten bei Wikipedia) zeigt.


Man erfasst die Gerade einfacher in der analytischen Geometrie. 
Man betrachtet die Ebene als Punktmenge und führt ein Koordinatensystem ein, um die Punkte zu lokalisieren. 
...... Eine Gerade entsteht im kartesischen Koordinatensystem als Menge (x|y) der Punkte, die die lineare Gleichung Ax+By+C=0 erfüllen, wobei die Parameter A, B und C für reelle Zahlen stehen. 
Ausgenommen ist A=B=0. In diesem Falle gibt es entweder keinen Geradenpunkt (C< >0), oder jeder Punkt der Ebene ist möglich (C=0).
Die lineare Gleichung Ax+By+C=0 beschreibt alle Geraden in der Ebene und ist deshalb die allgemeine Form
Zur nebenstehenden Geraden gehört die Gleichung -x+2y-2=0. 

Auf dieser Seite werden die gängigen Geradengleichungen besprochen.
Sie unterscheiden sich dadurch, dass unterschiedliche Eigenschaften berücksichtigt werden. 

Normalform   top
Die Normalform ist  y=mx+b.


Herleitung
Die Gleichung Ax+By+C=0 lässt sich nach y auflösen, wenn B ungleich Null ist: y=-(A/B)x-C/B oder y=mx+b. 
In dieser Form kann die Gleichung als Funktionsgleichung aufgefasst werden, denn jedem x-Wert wird eindeutig ein y-Wert zugeordnet.

Beispiel
...... Aus der Geradengleichung -x+2y-2=0 wird die Normalform y=(1/2)x+1.

Die Variablen m und b findet man in der Zeichnung.
b ist der y-Achsenabschnitt, und m findet man in dem Steigungsdreieck, das entsteht, wenn man vom Schnittpunkt mit der y-Achse aus 1 in x-Richtung und m in y-Richtung geht.


Sonderfall
Ist B=0, so wird aus der allgemeinen Gleichung Ax+By+C=0 die Verkürzung Ax+B=0 oder x=-B/A oder x=a
...... Die Gleichung x=a beschreibt eine Parallele zur y-Achse im Abstand a..........................................

In diesem Falle ist es die Gerade mit x=3/2. 


Dieser Fall B=0 wird in den folgenden Formen der Geradengleichung als Sonderfall nicht mehr erwähnt.

Achsenabschnittsform    top
Die Achsenabschnittsform ist y/a'+x/b' = 1.


Herleitung
Sie geht durch folgende Umformung aus der allgemeinen Geradengleichung Ax+By+C=0 hervor.
Ax+By+C = 0
<=>  Ax+By = -C    |:(-C), C<>0
<=>  -Ax/C-By/C = 1
<=>   x/(-C/A)+y/(-C/B) = 1
<=>  y/a'+x/b' = 1
Die Achsenabschnittsform existiert nur, wenn C ungleich 0 ist.

Beispiel
...... Aus der allgemeinen Gleichung -x+2y-2=0 wird die Achsenabschnittsform y/1+x/(-2)=1.

Die Achsenabschnittsform y/a'+x/b'=1 enthält die Schnittpunkte der Geraden mit den Achsen.


Hessesche Normalform (HNF)        top
...... Die hessesche Normalform ist cos(alpha)*x+sin(alpha)*y-p=0. 

Dabei sind p der Abstand der Geraden vom Nullpunkt und alpha der Winkel zwischen der Normalen OF der Geraden und der x-Achse.


Herleitung
...... Oben wurde gezeigt, dass aus Ax+By+C = 0 die Achsenabschnittsform  x/(-C/A)+y/(-C/B) = 1 entstehen kann.
Dann sind in der Zeichnung OA=(-C/A) und OB=(-C/B). - 
Im Dreieck OAF und BOF stehen die Schenkel der markierten Winkel paarweise aufeinander senkrecht und sind deshalb gleich. Damit sind die rechtwinkligen Dreiecke OAF und BOF ähnlich.
Man kann ablesen: cos(alpha)=OF/OA=p/(-C/A)=-Ap/C und sin(alpha)=OF/OB=-Bp/C. 
Diese Terme werden eingesetzt.
cos(alpha)*x+sin(alpha)*y-p = 0
<=>    -Ap/C*x-Bp/C*y-p = 0       |:p
<=>   -A/C*x-B/C*y-1=0       |*(-C)
<=>   Ax+By+C=0
Die Schlussrichtung ist von unten nach oben.

Man erhält konkret die hessesche Normalform, indem man die allgemeine Gradengleichung Ax+By+C=0  mit dem Term 1/sqrt(A²+B²) multipliziert. 
Wegen des Minuszeichens in x*cos(alpha)+y*sin(alpha)-p=0 und p>0 muss man zwei Fälle unterscheiden.
Ist C>0, ist mit -1/sqrt(A²+B²) zu multiplizieren: -A/sqrt(A²+B²)x-B/sqrt(A²+B²)y-C/sqrt(A²+B²)=0.
Ist C<0, ist mit 1/sqrt(A²+B²) zu multiplizieren: A/sqrt(A²+B²)x+B/sqrt(A²+B²)y+C/sqrt(A²+B²)=0.
Ist C=0, so spielt das Vorzeichen keine Rolle.

Die Unterscheidung nach C>0 und C<0 kann man sich ersparen, wenn man Ax+By+C=0 mit 1/{[|C|/(-C)]*sqrt(A²+B²)} multipliziert.


Es ist zu klären, welcher Zusammenhang zwischen cos(alpha)*x+sin(alpha)*y-p=0 und 1/sqrt(A²+B²) besteht.
Dazu wird der Abstand p bestimmt.
......  Die Dreiecke OAF und BOA sind ähnlich. 
Damit gilt die Proportion  p:OA=OB:AB oder p:(-C/A)=(-C/B):sqrt[(-C/A)²+(-C/B)²] oder 
p*sqrt[(-C/A)²+(-C/B)²] = (-C/A)*(-C/B) oder p=[C²/(AB)]/sqrt[(C²/A²+C²/B)²]=C/[sqrt(A²+B²)].
Dann ist sqrt(A²+B²)=C/p
Oben wurde gezeigt, dass cos(alpha)=-Ap/C und sin(alpha)=-Bp/C gelten.
Die Terme werden eingesetzt in die Gleichung -A/sqrt(A²+B²)x-B/sqrt(A²+B²)y-C/sqrt(A²+B²)=0, die für C>0 gilt.
-A/sqrt(A²+B²)x-B/sqrt(A²+B²)y-C/sqrt(A²+B²) = 0 
<=>   -A/(C/p)*x-B/(C/p)*y-p = 0 
<=>   -Ap/C*x-Bp/C*y-p = 0
<=>   cos(alpha)*x+sin(alpha)*y-p = 0
Die Schlussrichtung ist wieder von unten nach oben.

Beispiel
...... Die Ausgangsgerade mit -x+2y-2=0 hat die HNF
-[(1/5)sqrt(5)]*x+[(2/5)sqrt(5)]*y-[(2/5)sqrt(5)]=0

Für sie gilt  p=sqrt(5) und sin(alpha)=-[(1/5)sqrt(5)] und somit alpha=153,4°.


Der Sinn der hesseschen Normalform erschließt sich erst in der Anwendung. 
Man kann bequem den Abstand eines Punktes von einer Geraden bestimmen.

Zweipunkteform    top
Wird eine Gerade durch die Punkte A(x1|y1) und B(x2|y2) festgelegt, so heißt die Geradengleichung in Zweipunkteform (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1).


Herleitung
Die Steigung ist im gelben Dreieck abzulesen: m=(y2-y1)/(x2-x1). 
Statt des festen Punktes B kann man auch den beliebigen Geradenpunkt P nehmen. 
Da gilt m=(y-y1)/(x-x1).
Damit ist (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1), wzbw.

Ist x=x1, so ist diese Gleichung auch die Geradengleichung. 

Punkt-Richtungs-Form     top
Wird eine Gerade durch die Steigung m und den Punkt A(x1|y1) festgelegt, so gilt die Punkt-Richtungs-Form (y-y1)/(x-x1)=m
Die Herleitung erfolgt wie bei der Zweipunkteform.


Polarform   top
...... Für die Polarform verwendet man zur Angabe der Lage eines Punktes P Polarkoordinaten r und t. 

Das sind die Entfernung r=OP des Punktes vom Nullpunkt O und der Winkel t zwischen einer Horizontalen und der Entfernung OP. 


Hat die Gerade die Normalform y=mx+b, so ist die Polarform r(t)=b/[sin(t)-m*cos(t)].
Geraden parallel zur y-Achse haben die Darstellung x=a. Das führt zu r(t)=a/cos(t)

Herleitungen
Setzt man x=r*cos(t) und y=r*sin(t) in  y=mx+b ein, so ergibt sich r*sin(t)=mr*cos(t)+b oder r(t)=b/[sin(t)-m*cos(t)].
Die Gleichung x=a führt mit x=r*cos(t) zu r=a/cos(t).

Beispiel
...... Die Gerade hat die Darstellung y=(1/2)x+1. Es sind b=1 und m=1/2.

Dann ist r(t)=1/[sin(t)-(1/2)cos(t)].


Mehr findet man auf meiner Seite Kurven im Polarkoordinatensystem.

Im nächsten Kapitel werden Geraden im Raum mit Vektoren erfasst. Die beiden dort hergeleiteten Parametergleichungen gelten in gleicher Form auch in der Ebene.

Geraden im Raum     top
Man könnte meinen, dass die Gleichung Ax+By+C=0 zu Ax+By+Cz+D=0 verallgemeinert werden kann, um eine Gerade im Raum zu beschreiben. Das ist falsch, denn die Gleichung beschreibt eine Ebene im Raum.
Für eine Gerade muss man zwei Ebenengleichungen angeben. Die Gerade ist dann die Schnittgerade beider Ebenen. 

Ax+By+Cz+D=0  /\  A'x+B'y+C'z+D'=0
Dieser Sachverhalt (zwei Koordinatengleichungen) ergibt sich auch weiter unten aus andersartigen Überlegungen.

Beispiel
Ebene 1: x/5+y/3+z/4=1 oder 12x+20y+15z-1=0
Ebene 2: x/2,5+y/1,5=1 oder 6x+10y-15=0
Schnittgerade: 12x+20y+15z-1=0 /\  6x+10y-15=0

Zwei Ebenen durchdringen sich.

Es gibt eine Schnittgerade.
Die Bildpaare ermöglichen eine 3D-Sicht.

Parameterdarstellungen der Geraden im Raum
Es ist günstig, für Probleme der Raumgeometrie Vektoren einzusetzen. 
...... Es wird ein fester Punkt O im Raum festgelegt. Der Ort aller Punkte wird durch gerichtete Strecken, also Pfeile, angegeben, die vom  Nullpunkt O ausgehen und in den Punkten enden. Sie heißen treffend Ortsvektoren. 
Man bezeichnet Vektoren mit kleinen Buchstaben, die einen kleinen Pfeil tragen. Da ich auf meinen Seiten im wesentlichen nur den ASCII-Code verwende, schreibe ich Vektoren als Notlösung hier mit kleinen, fetten Buchstaben. Sie sind im englischen Sprachbereich manchmal zu finden wie z.B. bei MathWorld. 
Ich mache keinen Unterschied zwischen Pfeil und Vektor, was streng genommen nicht korrekt ist.

Parametergleichung in der Zweipunkteform
...... Eine Gerade wird durch zwei Punkte bestimmt, zum Beispiel durch die Punkte A und B. 

Folglich legen ihre Ortsvektoren a und b die Gerade AB fest. 

Den Ortsvektor p eines Geradenpunktes kann man aus beiden Vektoren wie folgt bestimmen.


...... Den Ortsvektor p eines Punktes erhält man, indem man hinter dem Vektor a das k-fache des Differenzenvektors b-a hängt. 
p=a+k(b-a)
So erhält man in der Zeichnung den Punkt P über den Ortsvektor  p=a+(1/2)(b-a), da der Punkt die Strecke AB halbiert. 
Der Ortsvektor von A ergibt sich über k=0 und B über k=1. Zum neuen Punkt C gehört der Parameter  k= -1/2. 
Zu jedem Punkt der Geraden gibt es genau einen Wert für k und umgekehrt legt jeder Wert von k genau einen Punkt fest.

Parametergleichung in der Punkt-Richtungsform
...... Es ist üblich, für den Differenzenvektor b-a den Richtungsvektor u einzuführen. 
Dann heißt die Geradengleichung einfacher p=a+ku.

Es gibt beliebig viele Ortsvektoren und beliebig viele Richtungsvektoren, die eine Gerade festlegen können und damit beliebig viele Parameterdarstellungen ein und derselben Geraden. 


Verbindung zum kartesischen Koordinatensystem
...... Ein kartesisches Koordinatensystem kennzeichnet man durch einen Nullpunkt O und drei Grundvektoren i, j und k
Die Grundvektoren legen die Richtung der Achsen fest. Zu i gehört die x-Achse, zu j die y-Achse und zu k die z-Achse. 
Einen Ortsvektor p erzeugt man dadurch, dass man passende Vielfache der Vektoren i, j und k hintereinander hängt: p=xi+yj+zk. In der Zeichnung ist p=0,5i+1,5j+1,9k.
Der Punkt P hat dann die bekannte Darstellung P(x|y|z). In der Zeichnung ist P(0,5|1,5|1,9). 
Damit ist ein Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Vektoren hergestellt.

Koordinatengleichungen der Gerade im Raum
Die Darstellung von p=xi+yj+zk wendet man auf die Vektoren der Parametergleichung p=a+k(b-a) an.
Es sei a=x1i+y1j+z1k, und es sei b=x2i+y2j+z2k.
Dann ist p=a+k(b-a) = x1i+y1j+z1k + k(x2i+y2j+z2k - x1i-y1j-z1k)  = (x1+kx2-kx1)i + (y1+ky2-ky1)j + (z1+kz2-kz1)k.
Andererseits ist p=xi+yj+zk. Damit gilt (x1+kx2-kx1-x)i+(y1+ky2-ky1-y)j+(z1+kz2-kz1-z)k =O.
Da die Vektoren i, j und k linear unabhängig sind, müssen die Vorzahlen in einer Linearkombination von i, j und k Null sein. Das führt zu den drei Gleichungen
x1+kx2-kx1-x = 0
y1+ky2-ky1-y = 0
z1+kz2-kz1-z = 0

Umgeformt
(I)   x = x1+k(x2-x1)
(II)   y = y1+k(y2-y1)
(III)   z = z1+k(z2-z1)
Das sind drei Gleichungen mit den vier Variablen x, y, z und k. 

Der Parameter k wird eliminiert.
Aus (I) und (II) folgt
k=(x-x1)/(x2-x1) und k=(y-y1)/(y2-y1)
Daraus folgt
(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1)
oder (x-x1)(y2-y1) = (x2-x1)(y-y1)
oder (y2-y1)x-(x2-x1)y-x1y2+x2y1 = 0
Aus (I) und (III) folgt
k=(x-x1)/(x2-x1) und k=(z-z1)/(z2-z1)
Daraus folgt 
(x-x1)/(x2-x1) = (z-z1)/(z2-z1)
oder (x-x1)(z2-z1) = (x2-x1)(z-z1)
oder (z2-z1)x-(x2-x1)z-x1z2+x2z1 = 0 

Ergebnis:
Die beiden Koordinatengleichungen (y2-y1)x-(x2-x1)y-x1y2+x2y1 = 0  /\  (z2-z1)x-(x2-x1)z-x1z2+x2z1 = 0 beschreiben eine Gerade im Raum. 
Man könnte auch die Gleichung (z2-z1)y-(y2-y1)z-y1z2+y2z1 = 0 an Stelle einer Gleichung nehmen. Sie ergibt sich aus (II) und (III).

Geometrische Deutung
Die Gleichung (y2-y1)x-(x2-x1)y-x1y2+x2y1 = 0 stellt eine Ebene im Raum dar. Da die Variable z fehlt, ist die z-Achse parallel zur Ebene.
Die Gleichung  (z2-z1)x-(x2-x1)z-x1z2+x2z1 = 0 stellt eine Ebene im Raum dar. Da die Variable y fehlt, ist die y-Achse parallel zur Ebene.
Die Gleichung  (z2-z1)y-(y2-y1)z-y1z2+y2z1 = 0  stellt eine Ebene im Raum dar. Da die Variable x fehlt, ist die x-Achse parallel zur Ebene. 
Die Gerade ist die Schnittgerade zweier dieser Ebenen. 

Die Gerade kann die Schnittgerade vieler Ebenen sein. 
Jedoch sind zwei dieser hier angegebenen Gleichungen der besonderen Ebenen eine Standarddarstellung einer Geraden im Raum. 

In einer anderen Deutung sieht man die drei Geraden auch als senkrechte Parallelprojektion der gegebenen Geraden in die drei Hauptebenen.


Beispiel
...... Gegeben sind ein Würfel der Kantenlänge 4 und auf ihm zwei Punkte. Das sind der Mittelpunkt A der Deckfläche mit der Darstellung A(2|2|4) und ein gegenüberliegender Eckpunkt B mit B(4|4|0).
Gesucht sind die Projektionen der Gerade AB auf die Hauptebenen.
Für einen beliebigen Geradenpunkt  gilt p=a+k(b-a)=(2i+2j+4k)+k(2i+2j-4k).
Das führt zu den Koordinatengleichungen
(I)  x=2+2k
(II)  y=2+2k
(III)  z=4-4k
 (I)-(II) ergibt x-y=0 oder y=x.
2(II)+(III) ergibt 2y+z=8 oder z= -2y+8.
2(I)+(III) ergibt 2x+z=8 oder z= -2x+8.
......
Darstellung mit Winplot
Ergebnis: Die Projektionsgeraden haben die Gleichungen   y=x, z= -2x+8 und z= -2x+8.

Die Zeichnung bestätigt die Rechnung.

Übersicht     top
Geraden in der Ebene
Allgemeine Form
General form
Ax+By+C=0
Normalform
Slope–intercept form
y=mx+b
Achsenabschnittsform
Intercept form
y/a'+x/b' = 1
Hessesche Normalform (HNF)
Hesse standard form
-A/sqrt(A²+B²)x-B/sqrt(A²+B²)y-C/sqrt(A²+B²)=0 u.a.


Zweipunkteform
Two-point form
(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)
Punkt-Richtungs-Form
Point–slope form
(y-y1)/(x-x1)=m
Polarform
Polar Form
r(t)=b/[sin(t)-m*cos(t)]
Vektorgleichung
vector equation of a line


Geraden im Raum
Parameterdarstellung in Zweipunkteform und Parameterdarstellung in Punktrichtungsform
Zwei Koordinatengleichungen
Ax+By+Cz+D=0  /\  A'x+B'y+C'z+D'=0

Geradengleichung im Internet   top

Deutsch

André Mössner
Geradengleichungen

Anna Heynkes
Geradengleichungen   (.pdf Datei)

Arndt Brünner
Gerade durch zwei Punkte finden

Sarah Zigman, Jens Hillringhaus   [Mathe(Pisma)]
Geradengleichungen

Walter Fendt
Vektorgleichung einer Geraden im dreidimensionalen Raum

Wikipedia
GeradeGeradengleichung, Strecke (Geometrie), Parameterdarstellung, Hessesche Normalform, Vektor
Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie



Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
LineLine SegmentPoint-Line Distance 3-Dimensional

Jenny Olive
Finding the vector equation of a line

Richard Parris
peanut Software (Programm WINPLOT, Freeware) 

Wikipedia
Line (geometry), Linear equation, Line segment, Hesse normal formEuclidean vector


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©  2009 Jürgen Köller

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