Glockenkurven
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Was ist eine Glockenkurve?
Gaußsche Glockenkurve
Weitere Glockenkurven
Glockenkurven im Intervall
Glockenkurve - dreidimensional
Glockenform
Glockenkurven im Internet
Referenzen.
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Was ist eine Glockenkurve?
...... Die Glockenkurve ist der Graph der Funktion mit f(x)=e-x².
Dafür schreibt man auch f(x)=exp(-x²).
Der Definitionsbereich ist D=|R, der zugehörige Wertebereich W={y|0<y<=1}. 
Die Glockenkurve ist der Graph der Gauß-Funktion, die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Rolle spielt. 
Der Term exp(-x²) ist wohl ihr einfachster Term.


Für diese Webseite habe ich Kurven mit gleichem Aussehen gesucht und etliche Klassiker gefunden. 

Gaußsche Glockenkurve       top
Kurvendiskussion
f(x) = exp(-x²)
f '(x) = (-2x)exp(-x²) 
f ''(x) = -2exp(-x²)+(-2x)(-2x)exp(-x²) = (4x²-2)exp(-x²)


In x=0 ist eine Hochstelle, denn es gilt f '(0)=0 und f ''(0) = -2e0<0.

Für eine Wendestelle muss gelten: f ''(x)=0 und f '''(x) ungleich 0.
f''(x)=0 führt zu 4x²-2=0 oder x1=(1/2)sqrt(2) und x2=-(1/2)sqrt(2). 
Das sind die Wendestellen. Auf die Einbeziehung der 3.Ableitung verzichte ich.
Die Wendepunkte sind W1[(1/2)sqrt(2)|1/sqrt(e)] und W2[-(1/2)sqrt(2)|1/sqrt(e)].

Es gilt exp(-x²)=1/exp(x²). Dadurch erklärt sich das Verhalten im Unendlichen.

Es gilt f(-x)=f(x). Dadurch erklärt sich die Achsensymmetrie des Graphen.

Drei Graphen
f(x)=exp(-x²)

f '(x)=(-2x)exp(-x²) 
f ''(x)=(4x²-2)exp(-x²) 


Fläche unter der Kurve
Die Funktion mit f(x)=exp(-x²) hat keine elementare Stammfunktion. 
Will man das Integral bestimmen, so führt die Reihenentwicklung zum Ziel.
Es gilt exp(x) = 1+x+x²/2!+x³/3!+... und folglich exp(-x²)=1-x2+x4/2!-x6/3!+-... .
Daraus ergibt sich für das Integral 


Beispiel: Die Fläche unter der Kurve von x=0 bis x=1
Zum Vergleich ist ein Einheitsquadrat eingezeichnet.

Die Bestimmung der Gesamtfläche unter der Glockenkurve führt zu einem uneigentlichen Integral mit einem Grenzwert.

...... Die Bestimmung ist umfangreich und nicht mehr auf (bei mir üblichem)  Schulmathematik-Niveau. 
Man findet die Herleitung der nebenstehenden Formel bei Lite Tube (URL unten) in einem Videoclip.

Parametergleichungen

fa(x)=2*exp(-ax²)

fb(x)=b*exp(-x²)

fc(x)=(1/c)*exp(-c²x²)

Gauß-Funktion
Die Glockenkurve ist der Graph der Gauß-Funktion, der Dichtefunktion der Normalverteilung. 
...... Das ist die Gleichung der Gauß-Funktion in der allgemeinen Form.
Der Parameter sigma² ist die Varianz; x=mü gibt die Lage des Maximums an. 

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Reziproke Funktionen
Ersetzt man den Funktionsterm einer Funktion durch ihren Kehrwert, entsteht eine neue Funktion, 
die reziproke Funktion. 
...... Der Kehrwert von exp(-x²) ist exp(x²).
Die reziproke Funktion hat mit der Ausgangsfunktion den Punkt P(0|1) gemeinsam. Aus dem Hochpunkt wird ein Tiefpunkt, Wendepunkte gibt es nicht und die Funktionswerte gehen mit x über alle Grenzen.


Hier ist ein Ansatz, weitere "Pseudo-Glockenkurven" zu finden.

...... Zur Parabel mit y=x²+1 gehört eine Glockenkurve. 
Sie ist der Graph der reziproken Funktion mit r(x)=1/(x²+1).

Sie ist ein Sonderfall der Versiera der Maria Agnesi.


Versiera der Maria Agnesi
...... Der Graph hat die Darstellung y=a³/(x²+a²), wobei der Parameter a eine reelle Zahl ist. In der Zeichnung ist a=1, und somit heißt die Gleichung y=1/(x²+1).
Das ist eine algebraische Kurve dritter Ordnung.

Eine Folge von Glockenkurven.
Die Funktion y=1/(x2+1) kann man verallgemeinern zu y=1/(x2n+1). Dabei ist n eine natürliche Zahl.
...... ... In der Zeichnung sind n=1 und n=5.

Je größer die Zahl n wird, desto mehr nähert sich der Graph der  abgebildeten Rechteckkurve, erreicht sie aber nie.


Ein gebrochenrationale Funktion
...... Die gebrochenrationale Funktion ist y=(1-x²)/(1+x²). Sie hat die Asymptote y=-1.

Sekans Hyperbolicus
...... Die Funktionsgleichung ist y=4/[exp(x)+exp(-x)].
Die reziproke Funktion ist bis auf einen Faktor der bekanntere Kosinus Hyperbolicus. 
cosh(x)=(1/2)[exp(x)+exp(-x)].

Chonchoide von de Sluze (Muschelkurve von de Sluze)
...... Der Graph hat die Darstellung (x-1)(x²+y²)=ax², wobei der Parameter a eine reelle Zahl ist. In der Zeichnung ist a=1 und somit heißt die Gleichung (x-1)(x²+y²)=x².

Das ist eine algebraische Kurve dritter Ordnung.


Külpsche Quartik
...... Der Graph hat die Darstellung x²y²=a²(a²-y²), wobei der Parameter a eine reelle Zahl ist. In der Zeichnung ist a=2 und somit heißt die Gleichung x²y²=16-4y².
Das ist eine algebraische Kurve vierter Ordnung.
Die Kurve hat auch die einfache Parameterdarstellung x=2tan(t) /\ y=2cos(t).

"Fermat cubic"
...... Der Graph hat die Darstellung x³+y³=1.

Das ist eine algebraische Kurve dritter Ordnung.


Krümmung der Normalparabel
k(x) = y''/(1+y'²)3/2 = 2/(1+4x²)3/2

Mehr auf meiner Webseite Evolute


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Eine biquadratische Funktion
...... Der Graph der Funktion mit g(x)=x4-2x2+1 oder g(x)=(x-1)2(x+1)2 hat im Definitionsbereich D={x|-1<=x<=+1} fast die gleichen Eigenschaften wie die Glockenkurven oben. 
Er hat auch einen Hochpunkt und zwei Wendepunkte. Ein Unterschied besteht darin, dass dieser Graph nicht die x-Achse als Asymptote hat, sondern sie berührt.


Man kann Kurven dieser Art auch als Glockenkurven im weiteren Sinn bezeichnen.

Sinus-Quadrat-Kurve
Der Graph der Funktion mit g(x)=sin²(x) ist zwischen zwei Berührpunkten eine Glockenkurve.

Sinuskurve
...... Ein Teilstück einer Sinuskurve ist eine Glockenkurve.

Es gilt y=sin(x) mit D={x|-(1/2)pi<=x<=(3/2)pi}.


Dumbbell-Kurve
...... Der Graph hat die Darstellung (a²)²y²=(x²)²(a²-x²), wobei der Parameter a eine reelle Zahl ist. In der Zeichnung ist a=1 und somit heißt die Gleichung y2-x4(1-x2)=0.
Das ist eine algebraische Kurve vierter Ordnung.

Plückersche Quartik
...... Der Graph hat die Darstellung (x²-a²)+(y²-a²)=(b²)², wobei die Parameter a und b reelle Zahlen sind. In der Zeichnung ist a=1 und (b²)²=2,5. Somit heißt die Gleichung (x²-1)+(y²+1)=2,5.
Das ist eine algebraische Kurve zweiter Ordnung.

Glockenkurve aus Kreisteilen
...... Ein Halbkreis und zwei Viertelkreise bilden eine Glockenkurve.

...... Das Besondere ist, dass die Fläche unter der Glockenkurve denselben Flächeninhalt hat wie das Quadrat mit der Seitenlänge 2r. 
Es ist bemerkenswert, dass die Kreiszahl pi in der Flächenformel A=4r² nicht auftaucht.

...... Nach der gleichen Methode kann auch aus Teilen der Normalparabel eine Glockenkurve gebildet werden.

Glockenkurve - dreidimensional   top
.
.

.z=exp(-x²-y²)

z=4exp(-2x²-2y²)


Glockenform   top
...... Die Querschnittlinie einer Glocke lässt sich nicht durch eine einfache Formel beschreiben.
Die Form ist aus der Praxis heraus in den Zeitläufen entstanden. 
Das Ziel war, einen lauten, schönen und wohl definierten Klang zu erzeugen.
Die Skizze habe ich nach einer Glocke in Bad Salzuflen-Schötmar erstellt.


......
Die Glocke aus Eisen steht im Schatten der Kilianskirche in Schötmar.

Sie stammt aus der Zeit nach dem 1.Weltkrieg und war zu schwer für den Turm. Deshalb wurde sie (und eine zweite) 1989 durch je eine Bronzeglocke ersetzt. 

Quelle: http://www.schoetmar.net/?id=17

 


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Deutsch

Jörn Loviscach  (Lite Tube) 
Fläche unter Gauß-Glocke    (Video bei Youtube)

Wikipedia
Normalverteilung, Glocke, Konchoide von de Sluze, Versiera der Agnesi
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus

Englisch
Adam O. Hausknecht
Heart To Bell Animation
Screenshot:
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Conchoid of de Sluze, Witch of Agnesi, Dumbbell Curve

Richard Parris
Winplot

Wikipedia
Normal distribution, Bell (instrument), Conchoid of de Sluze, Witch of Agnesi

Französisch

Robert FERRÉOL  (MathCurve)
COURBE DE GAUSSSÉCANTOÏDE HYPERBOLIQUE, CUBIQUE CIRCULAIRE FOCALE
QUARTIQUE DE KÜLP, LINTÉAIRE DROITE


Referenzen   top
(1) W. Leupold (Hrsg.): Analysis für Ingenieur- und Fachschulen, 
      Verlag Harry Deutsch, Frankfurt/M und Zürich, 1966 
(2) Robert FERRÉOL: http://www.mathcurve.com/courbes2d/courbes2d.shtml 


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©  2013 Jürgen Köller

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