Ringe
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Was ist ein Ring?
Kreisring
Hohlzylinder
Torus
Verschlungene Ringe
Trauring
Ringe aus Zahlen
Ringe, Ringe, Ringe 
Ringe im Internet
Referenzen.
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Was ist ein Ring?
In der Mathematik ist ein Ring eine algebraische Struktur, in der Addition, Subtraktion und Multiplikation mit bestimmten Regeln gelten. Ein Beispiel ist der Ring der ganzen Zahlen. Dieser Ring ist hier nicht gemeint.

Auf dieser Seite soll unter einem Ring eine in sich geschlossene Figur oder ein in sich geschlossener Körper verstanden werden.

Der Ring ist in diesem Sinne kein mathematischer Fachausdruck. 
Man kann mit diesem Begriff drei geometrische Formen zusammenfassen:

 (1) Kreisring         (2) Hohlzylinder mit h<<r       (3) Torus

  "<<"      bedeutet     "wesentlich kleiner als".


Kreisring   top
...... Ein Kreisring wird von zwei konzentrischen Kreisen gebildet und sei durch die Radien r und R festgelegt. 
Formeln
...... Dann hat er einen Flächeninhalt von A=pi*(R²-r²). Die Begrenzungslinien haben die Länge 2*pi*R+2*pi*r.

Sind die Breite oder Dicke d des Ringes und der innere Radius r gegeben, so ist der äußere Radius R=r+d.
Für den Flächeninhalt gilt A=pi*(2rd+d²). 

Ist die Breite wesentlich kleiner als der Radius, so gilt angenähert die vereinfachte Formel A=2*pi*rd.


Flächengleicher Kreis
......
Der Kreis, der den gleichen Flächeninhalt wie der Kreisring hat, hat einen Radius von x=sqrt(R²-r²).
Herleitung
Der gesuchte Kreis habe einen Radius von x. 
Der Ansatz pi*x²=pi(R²-r²) führt zu x=sqrt(R²-r²).

......
Man erhält den Durchmesser des flächengleichen Kreises auch, wenn man an den inneren Kreis eine Tangente zeichnet und den Abschnitt innerhalb des Kreisringes als Durchmesser des Kreises nimmt.
Beweis:
......
Nach dem Satz des Pythagoras ist R²=x²+r² oder x²=R²-r².

Für den Kreis mit dem Radius x gilt:
A=pi*x²=pi*(R²-r²). Das ist aber gerade der Flächeninhalt des Kreisringes. 


Viele konzentrische Kreise
Die unten stehende Figur ist als Zielscheibe bekannt. 
...... Sie besteht aus einer Folge von Kreisringen gleicher Dicke. Die Radien der Kreise betragen r, 2r, 3r, 4r, ...

Für den inneren Kreis gilt A0=pi*r². 
Für den ersten Ring gilt: A1=pi*[(2r)²-r²]=3*pi*r².
Für den zweiten Ring gilt: A2=pi*[(3r)²-(2r)²]=5*pi*r².

Für den n-ten Ring gilt An=pi*[((n+1)r)²-(nr)²]=pi*(2n+1)r².

Kreisringe aus In- und Umkreis 
Zeichnet man zu den regelmäßigen Vielecken die Um- und Inkreise, so entstehen Kreisringe. 
Es folgen die ersten Vielecke und einige Daten.

Es bedeuten 
a: Seitenlänge eines Vielecks, R: Radius des Umkreises, r: Radius des Inkreises, A: Flächeninhalt des Kreisringes. 

Es ist erstaunlich, dass der Flächeninhalt aller Kreisringe nur durch die Seitenlänge a des Vielecks bestimmt wird und unabhängig von den Radien R und r ist.


Hohlzylinder  top
Der Hohlzylinder ist ein Körper, der von zwei konzentrischen Zylindern gebildet wird.
......
Das Volumen des Hohlzylinders ist gleich V=pi*(R²-r²)*h.  Die Oberfläche setzt sich aus den Mänteln des inneren und des äußeren Zylinders und den Kreisringen oben und unten zusammen:
O = 2*pi*R*h+2*pi*r*h+2*pi*(R²-r²) = 2*pi*(Rh+rh+R²-r²).
Für einen Ring ist h<<r.
Ist d=R-r << h, so entsteht ein Rohr oder ein Schlauch. - Sind h<<R und r<<R, so entsteht eine Scheibe.


Torus    top
Der Torus heißt auch Ringkörper, Kreiswulst, Rettungsring und in besonderen Ausführungen Kranz. 
...... Ein Torus entsteht, wenn ein senkrecht stehender Kreis um eine vertikale Achse außerhalb des Kreises rotiert. Kreis und Achse liegen in einer Ebene. 
Dabei ist r der Radius der Kreises und R der Abstand der Kreismittelpunkte von der Drehachse.

Oben links zeigt sich der Torus im Schnitt, unten in der Aufsicht.

Man kann sich vorstellen, dass der Torus aus beliebig vielen und beliebig dünnen Kreisscheiben besteht, die dann den Ring bilden. Biegt man ihn zu einem Zylinder auf, so hat dieser die Grundfläche pi*r² und die Höhe 2*pi*R. 
Für das Volumen des Torus ergibt sich somit V = (pi*r²)*(2*pi*R)=2pi²r²R.
Für die Oberfläche ergibt sich O=(2*pi*r)*(2*pi*R)=4pi²rR. Das ist der Mantel des gedachten Zylinders. 
Die exakte mathematische Herleitung dieser beiden Formeln leisten die beiden Guldinschen Regeln.


Der nebenstehende Torus hat die Parameterdarstellung

x=cos(s)[3+cos(t)]
y=sin(s)[3+cos(t)]
z=sin(t)

mit 0<=s<2*Pi und 0<=t<2*Pi.



Inzwischen (September 2010) hat der Torus auf meiner Homepage eine eigene Webseite. Dort findet man mehr.

Verschlungene Ringe top
Doppelring
...... Zwei Ringe können so verbunden werden, dass man sie nicht wieder trennen kann, ohne dass man einen Ring aufbricht. Diese Anordnung von zwei Ringen gilt als ein Symbol der Treue und der Ehe.
Mehrere so verbundene Ringe bilden eine Kette. Im Allgemeinen ist sie in sich geschlossen wie z.B. bei der Halskette.


...... Drei Ringe kann man zu einem Dreieck verbinden. Auf den ersten Blick sind die beiden Figuren gleich. Man stelle sich vor, man entferne einen Ring, so bleiben links die Ringe verbunden, rechts sind die Ringe dann einzeln. 
Die rechte Anordnung heißt Borromäus-Verschlingung.

Krupp-Ringe
...... Bei einer Figur aus drei Ringen denkt man an die Kruppringe. Sie weisen auf Alfred Krupps Erfindung des "nahtlos geschmiedeten und gewalzten Eisenbahnradreifens" hin.
Die Ringe sind nicht ineinander verwoben. Der obere Ring liegt vor den beiden unteren Ringen.
Heute werden die Ringe nicht mehr getrennt. (Mehr bei Thyssen Krupp, URL unten)

Audi-Ringe
......
Das Audi-Logo besteht aus einer geraden Kette von vier Ringen.

Die vier Ringe stehen für die Marken Audi, DKW, Horch und Wanderer, die 1932 zu der AUTO UNION zusammengefasst wurden. 


Die olympischen Ringe
...... Jeder kennt das offizielle Emblem des IOK, die fünf verschlungenen olympischen Ringe. 
Sie entstehen dadurch, dass die gerade Kette (1) in W-Form (2) gelegt wird. 
Die Farben der Ringe (und die Hintergrundfarbe weiß) sind so gewählt, dass jedes Land eine ihrer Farben in den Olympischen Farben wiederfindet.
Sie stehen offiziell nicht für die fünf Erdteile. Trotzdem hat sich eine Zuordnung eingebürgert: 
blau-Europa
gelb-Asien
schwarz-Afrika
grün-Australien
rot-Amerika
Es ist kein Zufall, dass ich die Ringe nicht gefärbt habe. (Siehe Beitrag des Rechtsanwalts Thomas Engels, URL unten) 

Trauring    top
...... Mathematisch gesehen ist der Trauring oder Ehering wie der Torus ein Rotationskörper. Der Querschnitt ist aber kein Kreis, sondern eine längliche Figur mit einer geraden Linie innen. 
Durch die gerade innere Begrenzung liegt der Ring besser an, und es ist Platz für eine Gravur. 
Es ist eine schöne Sitte, dass ein Ehepaar durch das Tragen zweier gleicher Ringe auf dem Ringfinger die enge Verbundenheit ausdrückt. 
Stirbt der Ehemann, so trägt die Witwe beide Eheringe nebeneinander.

Wir Deutschen tragen den Trauring am rechten Ringfinger. Daran erkennt man uns im Ausland (auch).
Im Ring des Ehemannes steht meist der Vorname der Ehefrau, umgekehrt steht sein Name in ihrem Ring. 
Zusätzlich steht in beiden Ringen der Tag der Heirat. Das ist eine Merkhilfe für Ehemänner ;-). 


Es gibt zahlreiche Spiele oder Spielereien mit Ringen. Hier eine kleine Auswahl.

Kreisel
...... Der Trauring ist ein ausgezeichneter Kreisel. 

Man fasst als Rechtshänder den Ring mit dem Zeigefinger der rechten Hand und mit dem Daumen der linken Hand und gibt ihm ruckartig zwei Drehmomente. Dabei müssen beim Loslassen beide Kräfte etwa gleich groß sein, so dass er an einer Stelle bleibt und sich um die vertikale Symmetrieachse dreht.

Der Ring dreht sich lange und so schnell, dass man eine Kugel sieht.


Katakaustik
...... Legt man einen Trauring auf ein Blatt Papier und lässt Licht von schräg oben auf ihn fallen, zum Beispiel das Sonnenlicht, so wird es an der Innenwand des Ringes reflektiert. Die reflektierten Strahlen leuchten das Innere etwas aus und überraschenderweise hat die Begrenzungslinie zur Mitte hin die Form einer Drei. Das ist die Katakaustik.
Das Zustandekommen der Katakaustik erklärt man am besten durch eine Reihe von Zeichnungen. 
Man vereinfacht die Gegebenheiten zu einem ebenen Problem: Aus der zylindrischen Innenfläche des Ringes wird ein Kreis.
Bild 1: Von links fallen parallele Lichtstrahlen in den Ring, der dann als sphärischer Spiegel wirkt. Wie werden sie reflektiert?
Bild 2: Stellvertretend für die Parallelstrahlen verfolgt man einen Lichtstrahl. Er wird an einer Stelle reflektiert, an der ein "Spiegel" die Richtung der Tangentialebene hat. Das ist in der Zeichnung die Tangente an den Kreis. Man findet sie, indem man die Senkrechte zum Berührradius r zeichnet. Nach dem 1. Teil des Reflexionsgesetzes liegen Lot (Radius), einfallender und reflektierter Strahl in einer Ebene. Das ist hier die Zeichenebene. Nach dem 2.Teil des Reflexionsgesetzes ist der Reflexionswinkel so groß wie der Einfallswinkel. Dadurch wird der reflektierte Strahl gefunden. 
Bild 3: Nach dieser Regel werden alle reflektierten Strahlen eingezeichnet. Es ergibt sich Bild 3, das die Fotografie oben gut wiedergibt.
Bild 4: Aus der Zeichnung lässt sich noch mehr ablesen: Die Parallelstrahlen in der Nähe der Achse treffen sich in einem (Brenn-)Punkt F. Die Brennweite f=FS ist gleich dem halben Kreisradius.

Pendeln
...... Mit einem Ring, der an einem dünnen Faden hängt, kann man bei einer Frau feststellen, ob das nächste Kind ein Junge oder ein Mädchen sein wird.

Das Pendel wird über das Handgelenk der Frau gehängt. Der Ring selbst muss über dem Puls schweben  (Bild). Hält man die Hand oben still, so schwingt trotzdem das Pendel nach einer gewissen Zeit. Schwingt es in einer Ebene hin und her, so kündigt sich ein Junge an. Kreist der Ring, so kommt ein Mädchen. 

Wer will, kann daran glauben ;-). 

Interessant ist eine Erklärung. Ich glaube, dass die obere Hand nicht stillgehalten werden kann, schon weil das Herz rhythmisch schlägt. Unbewusst erhält das Pendel Anstöße. Es ist also wahrscheinlich ein Resonanzphänomen.

...... Nebenbei: Das erinnert an einen alten Kinderspaß. Man reißt im Frühjahr das Blatt eines Breitwegerichs so aus, dass der Stängel (neue Rechtschreibung!) in der Mitte getrennt wird. Dann hat der Blattstiel unten Fäden, die auf die spätere Kinderzahl und durch unterschiedliche Längen auf den Abstand der Kinder untereinander hinweisen. In diesem Fall kommen drei Kinder ;-).


Ringraten
Ringraten ist ein altes Gesellschaftsspiel (siehe auch Buch 1).
...... In einer Gesellschaft aus bis zu neun Personen steckt sich eine Person unbemerkt von einem Außenstehenden, nennen wir ihn A, einen Ring auf irgendein Fingerglied. Alle verbergen ihre Finger. Person A muss herausfinden, wer den Ring trägt. Sie muss drei Zahlen nennen, denn der Ort eines Ringes wird vorher durch drei Zahlen festgelegt: Das sind die Nummer der Person (1 bis 9), die Nummer des Finger einer Person (1 bis 4) und die Nummer des Fingergliedes eines Fingers (1 bis 3). 

A stellt der Gesellschaft eine Rechenaufgabe: Verdoppele die Nummer der Person, addiere 5, multipliziere mit 5, addiere die Nummer des Fingers, multipliziere mit 10, addiere die Nummer des Fingergliedes und subtrahiere schließlich 250. 

Zur Verblüffung der Gesellschaft nennt A den Ort. Das ist das Resultat der Rechnung. Das ist eine dreistellige Zahl aus der Nummer der Person, der Nummer des Fingers und der Nummer des Fingergliedes. 

Rechnung:
[(2*4+5)*5+2]*10+2-250=422
Allgemein: Die Nummer der Person mit dem Ring sei a, die Nummer des Fingers b und die Nummer des Fingergliedes c. Die Rechnung lautet dann [(2*a+5)*5+b]*10+c-250 = 100*a+10*b+c.


Ringe aus Zahlen top
Bestimmt man  die Dezimalzahl des Bruches 1/7 (zum Beispiel durch schriftliches Dividieren von 1:7), so erhält man die reinperiodische Darstellung 0,142857142857142857142857142857142857142857... Diese Ziffernfolge kann man beliebig weit fortsetzen. Die Zahlen 142857 wiederholen sich und bilden die "Periode".
...... Es ist anschaulich, wenn man die Zahlen der Periode 142857 zu einem Kreis anordnet. 
Es entsteht dann ein Ring, der immer wieder im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, wenn man die Genauigkeit der Dezimalzahl erhöht. 
Weiter gilt 2/7=0,285714..., 3/7=0,428571..., 4/7=0,571428..., 5/7=0,714285..., 6/7=857142. 
Auch hier hat die Periode die Länge 6 und es tauchen dieselben Ziffern auf. Man kann sogar den gleichen Ring wie bei 1/7 verwenden, nur dass die Einsprungstellen in den Kreis unterschiedlich sind.
Statt 1/7 kann man auch 1/17 wählen. Die Periode, als Zahl aufgefasst, heißt Phönixzahl. Es ist unentschieden, ob es unendlich viele Phönixzahlen gibt (2, Seite 188).



 (1) Torus    (2) Hohlzylinder   (3) Kreisring 

Ringe, Ringe, Ringe top
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Apfelpflücker
Armring, Armreifen
Benzolring
Bischofsring
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Bullenring
"Der Ring schließt sich"
Dichtungsring
Einweckring
Fahrrad- oder Autoschlauch
Fresnelsche Ringlinse
Fußring
Halo
Halsring
Herr der Ringe
Hexenring
Hühnerring
Hoola Hoop
Iffland Ring
Iris des Auges
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Ring, durch den ein Löwe springt
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Ringfahndung
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Ringgebirge
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Ringnebel
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Ringparabel
Ringraten 
Ringsendung
Ringstraße
Ringstromeffekt
Ringtennis
Ringvorlesung
Ringwall
Schlüsselring
Schmuckring
Schwimmring
Siegelring
Token Ring
Trauring
Unterlegscheibe
Vogelberingung
Webring
Weißer Ring
Zauberring.


Ringe im Internet  top

Deutsch

Herwig Hauser (Fakultät für Mathematik, Universität Wien)
Torus animation

Homepage Gebrüder Grimm
Katakaustiken, Vortrag von Dr. C. Ucke

Micha Peteler
Ring schmieden

Rechtsanwalt Thomas Engels
Das sprichwörtliche Spiel mit dem Feuer bei Verwendung der olympischen Ringe

Thyssen Krupp
Firmenzeichen

Wikipedia
Kreisring, Torus, Ringkern, Zylinder (Geometrie)Olympische RingeBorromäische RingeDonut, Phönixzahl



Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Torus, Double Torus, TripleTorus, Impossible Torus

John Rausch  (Puzzle World)
Puzzle Ring Solution

Richard Parris   (peanut Software)
Program WINPLOT

Wikipedia
Annulus, Torus, Toroid (geometry)Cylinder (geometry)Olympic symbolsBorromean ringsDoughnut, Cyclic number


Referenzen   top
(1) Hans Nicklisch (Hrsg.): Schlag nach, Natur, Leipzig 1952 (Seite 41/42)
(2) Endre Hódi (Hrsg.): Mathematisches Mosaik, Köln



Ich bedanke mich bei Jürgen Dornieden für einen klärenden Hinweis zu den Olympischen Ringen.


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©  2002 Jürgen Köller

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