Was ist ein Kreisring?

Ein Kreisring ist das Flächenstück zwischen zwei verschiedenen Kreisen mit gleichem Mittelpunkt.

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Ein Kreisring ist i.a. durch den inneren Radius r und den äußeren Radius R bestimmt.  Dann hat er einen Flächeninhalt von A=pi(R²-r²).  Die Begrenzungslinien (Umfang) haben die Länge 2pi(R+r). Sind die Breite oder Dicke d des Ringes und der innere Radius r gegeben, so ist der äußere Radius R=r+d. Für den Flächeninhalt gilt A=pi(2rd+d²).  Ist die Breite wesentlich kleiner als der Radius, so gilt angenähert die vereinfachte Formel A=2pi*rd.

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Der Kreis, der den gleichen Flächeninhalt wie der Kreisring hat, hat einen Radius von x=sqrt(R²-r²). Herleitung Der gesuchte Kreis habe einen Radius von x.  Der Ansatz pi*x²=pi(R²-r²) führt zu x=sqrt(R²-r²).

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Man erhält den Durchmesser des flächengleichen Kreises auch, wenn man an den inneren Kreis eine Tangente zeichnet und den Abschnitt innerhalb des Kreisringes als Durchmesser des Kreises nimmt.

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Nach dem Satz des Pythagoras ist R²=x²+r² oder x²=R²-r². Für den Kreis mit dem Radius x gilt: A=pi*x²=pi*(R²-r²). Das ist aber gerade der Flächeninhalt des Kreisringes.

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Sie besteht aus einer Folge von Kreisringen gleicher Dicke. Die Radien der konzentrischen Kreise betragen r, 2r, 3r, 4r, ... Für den inneren Kreis gilt A0=pi*r².  Für den ersten Ring gilt: A1=pi*[(2r)²-r²]=3*pi*r². Für den zweiten Ring gilt: A2=pi*[(3r)²-(2r)²]=5*pi*r².

Es ist erstaunlich, dass der Flächeninhalt aller Kreisringe nur durch die Seitenlänge a des Vielecks bestimmt wird und unabhängig von den Radien R und r ist.

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Das Volumen des Hohlzylinders ist gleich V=pi*(R²-r²)*h.  Die Oberfläche setzt sich aus den Mänteln des inneren und des äußeren Zylinders und den Kreisringen oben und unten zusammen: O = 2*pi*R*h+2*pi*r*h+2*pi*(R²-r²) = 2*pi*(Rh+rh+R²-r²).

Torus   top
Der Torus heißt auch Ringkörper, Kreiswulst, Rettungsring und in besonderen Ausführungen Kranz. 

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Ein Torus entsteht, wenn ein senkrecht stehender Kreis um eine vertikale Achse außerhalb des Kreises rotiert. Kreis und Achse liegen in einer Ebene.  Dabei ist r der Radius der Kreises und R der Abstand der Kreismittelpunkte von der Drehachse. Oben links zeigt sich der Torus im Schnitt, unten in der Aufsicht.

Man kann sich vorstellen, dass der Torus aus beliebig vielen und beliebig dünnen Kreisscheiben besteht, die dann den Ring bilden. Biegt man ihn zu einem Zylinder auf, so hat dieser die Grundfläche pi*r² und die Höhe 2*pi*R. 
Für das Volumen des Torus ergibt sich somit V = (pi*r²)*(2*pi*R)=2pi²r²R.
Für die Oberfläche ergibt sich O=(2*pi*r)*(2*pi*R)=4pi²rR. Das ist der Mantel des gedachten Zylinders. 
Die exakte mathematische Herleitung dieser beiden Formeln leisten die beiden Guldinschen Regeln.

Der nebenstehende Torus hat die Parameterdarstellung x=cos(s)[3+cos(t)] y=sin(s)[3+cos(t)] z=sin(t) mit 0<=s<2*Pi und 0<=t<2*Pi.

Verschlungene Ringe top
Doppelring

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Zwei Ringe können so verbunden werden, dass man sie nicht wieder trennen kann, ohne dass man einen Ring aufbricht. Diese Anordnung von zwei Ringen gilt als ein Symbol der Treue und der Ehe.

Mehrere so verbundene Ringe bilden eine Kette. Im Allgemeinen ist sie in sich geschlossen wie z.B. bei der Halskette.

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Drei Ringe kann man zu einem Dreieck verbinden. Auf den ersten Blick sind die beiden Figuren gleich. Man stelle sich vor, man entferne einen Ring, so bleiben links die Ringe verbunden, rechts sind die Ringe dann einzeln.  Die rechte Anordnung heißt Borromäus-Verschlingung.

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Bei einer Figur aus drei Ringen denkt man an die Kruppringe. Sie weisen auf Alfred Krupps Erfindung des "nahtlos geschmiedeten und gewalzten Eisenbahnradreifens" hin. Die Ringe sind nicht ineinander verwoben. Der obere Ring liegt vor den beiden unteren Ringen. Heute werden die Ringe nicht mehr getrennt. (Mehr bei Thyssen Krupp, URL unten)

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Das Audi-Logo besteht aus einer geraden Kette von vier Ringen. Die vier Ringe stehen für die Marken Audi, DKW, Horch und Wanderer, die 1932 zu der AUTO UNION zusammengefasst wurden.

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Jeder kennt das offizielle Emblem des IOK, die fünf verschlungenen olympischen Ringe.  Sie entstehen dadurch, dass die gerade Kette (1) in W-Form (2) gelegt wird.

Trauring    top

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Mathematisch gesehen ist der Trauring oder Ehering wie der Torus ein Rotationskörper. Der Querschnitt ist aber kein Kreis, sondern eine längliche Figur mit einer geraden Linie innen.

Durch die gerade innere Begrenzung liegt der Ring besser an, und es ist Platz für eine Gravur. 
Es ist eine schöne Sitte, dass ein Ehepaar durch das Tragen zweier gleicher Ringe auf dem Ringfinger die enge Verbundenheit ausdrückt. 
Stirbt der Ehemann, so trägt die Witwe beide Eheringe nebeneinander.

Wir Deutschen tragen den Trauring am rechten Ringfinger. Daran erkennt man uns im Ausland (auch).
Im Ring des Ehemannes steht meist der Vorname der Ehefrau, umgekehrt steht sein Name in ihrem Ring. 
Zusätzlich steht in beiden Ringen der Tag der Heirat. Das ist eine Merkhilfe für Ehemänner ;-). 

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Der Trauring ist ein ausgezeichneter Kreisel.  Man fasst als Rechtshänder den Ring mit dem Zeigefinger der rechten Hand und mit dem Daumen der linken Hand und gibt ihm ruckartig zwei Drehmomente. Dabei müssen beim Loslassen beide Kräfte etwa gleich groß sein, so dass er an einer Stelle bleibt und sich um die vertikale Symmetrieachse dreht. Der Ring dreht sich lange und so schnell, dass man eine Kugel sieht.

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Legt man einen Trauring auf ein Blatt Papier und lässt Licht von schräg oben auf ihn fallen, zum Beispiel das Sonnenlicht, so wird es an der Innenwand des Ringes reflektiert. Die reflektierten Strahlen leuchten das Innere etwas aus und überraschenderweise hat die Begrenzungslinie zur Mitte hin die Form einer Drei. Das ist die Katakaustik.

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Mit einem Ring, der an einem dünnen Faden hängt, kann man bei einer Frau feststellen, ob das nächste Kind ein Junge oder ein Mädchen sein wird. Das Pendel wird über das Handgelenk der Frau gehängt. Der Ring selbst muss über dem Puls schweben  (Bild). Hält man die Hand oben still, so schwingt trotzdem das Pendel nach einer gewissen Zeit. Schwingt es in einer Ebene hin und her, so kündigt sich ein Junge an. Kreist der Ring, so kommt ein Mädchen.  Wer will, kann daran glauben ;-).

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Nebenbei: Das erinnert an einen alten Kinderspaß. Man reißt im Frühjahr das Blatt eines Breitwegerichs so aus, dass der Stängel (neue Rechtschreibung!) in der Mitte getrennt wird. Dann hat der Blattstiel unten Fäden, die auf die spätere Kinderzahl und durch unterschiedliche Längen auf den Abstand der Kinder untereinander hinweisen. In diesem Fall werden drei Kinder kommen ;-).

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In einer Gesellschaft aus bis zu neun Personen steckt sich eine Person unbemerkt von einem Außenstehenden, nennen wir ihn A, einen Ring auf irgendein Fingerglied. Alle verbergen ihre Finger. Person A muss herausfinden, wer den Ring trägt. Sie muss drei Zahlen nennen, denn der Ort eines Ringes wird vorher durch drei Zahlen festgelegt: Das sind die Nummer der Person (1 bis 9), die Nummer des Finger einer Person (1 bis 4) und die Nummer des Fingergliedes eines Fingers (1 bis 3).

A stellt der Gesellschaft eine Rechenaufgabe: Verdoppele die Nummer der Person, addiere 5, multipliziere mit 5, addiere die Nummer des Fingers, multipliziere mit 10, addiere die Nummer des Fingergliedes und subtrahiere schließlich 250. 

Zur Verblüffung der Gesellschaft nennt A den Ort. Das ist das Resultat der Rechnung. Das ist eine dreistellige Zahl aus der Nummer der Person, der Nummer des Fingers und der Nummer des Fingergliedes. 

Rechnung:
[(2*4+5)*5+2]*10+2-250=422
Allgemein: Die Nummer der Person mit dem Ring sei a, die Nummer des Fingers b und die Nummer des Fingergliedes c. Die Rechnung lautet dann [(2*a+5)*5+b]*10+c-250 = 100*a+10*b+c.

Ringe aus Zahlen top
Bestimmt man  die Dezimalzahl des Bruches 1/7 (zum Beispiel durch schriftliches Dividieren von 1:7), so erhält man die reinperiodische Darstellung 0,142857142857142857142857142857142857142857... Diese Ziffernfolge kann man beliebig weit fortsetzen. Die Zahlen 142857 wiederholen sich und bilden die "Periode".

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Es ist anschaulich, wenn man die Zahlen der Periode 142857 zu einem Kreis anordnet.  Es entsteht dann ein Ring, der immer wieder im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, wenn man die Genauigkeit der Dezimalzahl erhöht.

Weiter gilt 2/7=0,285714..., 3/7=0,428571..., 4/7=0,571428..., 5/7=0,714285..., 6/7=857142. 
Auch hier hat die Periode die Länge 6 und es tauchen dieselben Ziffern auf. Man kann sogar den gleichen Ring wie bei 1/7 verwenden, nur dass die Einsprungstellen in den Kreis unterschiedlich sind.
Statt 1/7 kann man auch 1/17 wählen. Die Periode, als Zahl aufgefasst, heißt Phönixzahl. Es ist unentschieden, ob es unendlich viele Phönixzahlen gibt (2, Seite 188).

 (1) Torus    (2) Hohlzylinder   (3) Kreisring 

Ringe, Ringe, Ringe top

Amulettring Apfelpflücker Armring, Armreifen Benzolring Bischofsring Boxring ("Ring mit 4 Ecken") Bullenring "Der Ring schließt sich" Dichtungsring Einweckring Fahrrad- oder Autoschlauch Fresnelsche Ringlinse Fußring Halo Halsring Herr der Ringe Hexenring Hühnerring Hoola Hoop Iffland Ring Iris des Auges Jahresring Kernspeicher Kranz Kreiswellen

Magische Ringe Meisenring Mondring Münze 1€ oder 2€ Nasenring Ohrringe Rauchring RCDS (Ring christlich-demokratischer Studenten) Reifen Rettungsring Ringbeschleuniger Ringbuch Ring der Nibelungen Ring des Saturn Ring, durch den ein Löwe springt Ringe als Turngerät Ringel Ringelpiez mit Anfassen Ringelreigen Ringelschwänzchen Ringelsöckchen Ringe unter den Augen Ringfahndung Ringfinger Ringgebirge

Ringgraben Ringleitung Ringnebel Ringmauer Ringmuskel Ringofen Ringparabel Ringraten  Ringsendung Ringstraße Ringstromeffekt Ringtennis Ringvorlesung Ringwall Schlüsselring Schmuckring Schwimmring Siegelring Token Ring Trauring Unterlegscheibe Vogelberingung Webring Weißer Ring Zauberring.

Ringe im Internet top

Deutsch

Herwig Hauser (Fakultät für Mathematik, Universität Wien)
Torus animation

Homepage Gebrüder Grimm
Katakaustiken, Vortrag von Dr. C. Ucke

Micha Peteler
Ring schmieden

Rechtsanwalt Thomas Engels
Das sprichwörtliche Spiel mit dem Feuer bei Verwendung der olympischen Ringe

Thyssen Krupp
Firmenzeichen

Wikipedia
Kreisring, Torus, Ringkern, Zylinder (Geometrie),  Olympische Ringe,  Borromäische Ringe,  Donut, Phönixzahl

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Torus, Double Torus, TripleTorus, Impossible Torus

Richard Parris (Freeware-Programme) 
winplot

Wikipedia
Annulus (mathematics), Torus, Toroid (geometry),  Cylinder (geometry),  Olympic symbols,  Borromean rings,  Doughnut, Cyclic number

Referenzen   top
(1) Hans Nicklisch (Hrsg.): Schlag nach, Natur, Leipzig 1952 (Seite 41/42)
(2) Endre Hódi (Hrsg.): Mathematisches Mosaik, Köln