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Was ist das abgeschrägte Dodekaeder?
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Das abgeschrägte Dodekaeder ist ein Körper,
der von 12 regelmäßigen Fünfecken und 80 gleichseitigen
Dreiecken gebildet wird.
Der Körper heißt auch schiefes Dodekaeder,
abgeschrägtes Ikosaeder, schräges Dodekaeder oder
dodekaedron
simum (Kepler). |
Neben den 12+80=92 Seitenflächen
hat das abgeschrägte Dodekaeder 150 Kanten
und 60 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander
liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale
Ansicht.
durchsichtig
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undurchsichtig
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Da beim abgeschrägten Dodekaeder (13) an jeder Ecke
regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört
es zu den 13
archimedischen Körpern.
Entstehung top
Das abgeschrägte Dodekaeder entsteht im Prinzip
genau so wie der abgeschrägte Würfel. Bei Würfel werden
die Seitenflächen (die Quadrate) so gedreht und geschrumpft, dass
der Zwischenraum zwischen den verkleinerten Quadraten mit gleichseitigen
Dreiecken ausgefüllt wird. Dreht man weiter und vergrößert
die Dreiecke, entsteht ein Oktaeder. Das zeigt die folgende Bilderreihe.
Beim abgeschrägten Dodekaeder
sind es Fünfecke, die gedreht und verkleinert werden. Der Würfel
wird durch ein Pentagondodekaeder ersetzt,
das Oktaeder durch ein Ikosaeder.
Die folgende Bildfolge zeigt drei Phasen.
Den hier beschriebenen Vorgang zeigt
ein Applet von Geneviève Tulloue (im
Internet nicht mehr verfügbar).
Eigenschaften top
Umgebungen
Jedes Fünfeck ist
von 5 Dreiecken umgeben.
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Ein Dreieck ist von 2 Dreiecken
und einem Fünfeck umgeben.
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Oder: Ein Dreieck ist
von 3 Dreiecken umgeben.
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Netz und Schlegel-Diagramm
Ein Netz des abgeschrägten Dodekaeders
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Ein Schlegel-Diagramm
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Diagonalen
60 Flächendiagonalen
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Die Diagonalen der Fünfecke sind die Flächendiagonalen
des abgeschrägten Dodekaeders.
Das Fünfeck hat 5 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 12*5=60 Flächendiagonalen. |
1560
Raumdiagonalen
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Von jedem der 60 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu
den anderen Eckpunkten aus. Das sind 2 Flächendiagonale und 5 Kanten,
wie die Zeichnung zeigt. In 60-7=53 Punkten enden dann Raumdiagonalen.
Das führt zu insgesamt (1/2)*60*52=1560 Raumdiagonalen des abgeschrägten
Dodekaeders. |
Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen
steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien,
so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das abgeschrägte Dodekaeder bedeutet das,
dass es (1/2)*60*59=1770 Verbindungslinien gibt.
Das sind die 150 Kanten, 60 Flächendiagonalen und
1560 Raumdiagonalen.
Weitere
Körper top
Pentagonhexakontaeder
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Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen
des abgeschrägten Würfels, so entsteht der duale Körper,
das Pentagonikositetraeder. |
Spiegelkörper
Oben wurde schon erwähnt, dass das abgeschrägte
Dodekaeder einen Spiegelkörper hat. Man erhält ihn, wenn
man es an einer passenden Ebene spiegelt.
Das ist kein Stereobild.
Es gibt nur noch einen zweiten
archimedischen Körper, der einen Spiegelkörper hat. Das ist der
abgeschrägte
Würfel.
Größen top
Die Oberfläche setzt sich aus 80 Dreiecken und 12
Fünfecken zusammen.
Es gilt O=80*A3+12A5
=80*[(1/4)sqrt(3)]+12*{[(1/4)sqrt[25+10*sqrt(5)]}a²={20sqrt(3)+3sqrt[25+10*sqrt(5)]}a².
Mehr bei MathWorld (URL unten)
Das
abgeschrägte Dodekaeder im Internet top
Deutsch
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Abgeschrägtes
Dodekaeder
Wikipedia
Abgeschrägtes
Dodekaeder, Archimedischer
Körper, Catalanischer
Körper, Pentagonhexakontaeder
Englisch
Eric W. Weisstein
Archimedean
Solid, Snub
Dodecahedron, Pentagonal
hexecontahedron
Gijs Korthals Altes (Paper Models of Polyhedra)
Snub
Dodecahedron
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Snub
Dodecahedron
Poly
A program
for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing
polyhedra)
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden
mit Hilfe dieses Programms.
Wikipedia
Snub
dodecahedron,
Archimedean
solid, Catalan
solid, Pentagonal
hexecontahedron
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models,
Oxford 1961 (Seite 114)
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2008 Jürgen Köller
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