Kolams und Sona
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Was sind Kolams, was sind Sona?
Kolams
Sona
Etwas Mathematik
Auf der Suche nach Sona		 Zeichenübungen
Verschiedenes
Referenzen
Kolams und Sona im Internet
Schlussbemerkung.

Was sind Kolams, was sind Sona?
Kolams sind indische Bodenmalereien; Sona (Einzahl Lusona) sind afrikanische Sandmalereien.
Ihnen ist nur gemeinsam, dass man Punktmuster als Merkhilfe vorgibt und dann um die Punkte herum Linien zieht, so dass jeder Punkt eingekreist wird. Es entstehen ansehnliche symmetrische Figuren in großer Vielfalt. 

Einen Eindruck von Kolams und Sona erhält man, wenn man sich die ersten beiden Youtube-Videos in der Linkliste unten ansieht.
Kolams und Sona sind Gegenstand der Ethnomathematik. Am Ende dieser Webseite gibt es dazu Links.
Beispiel eines Kolams, Beispiel eines Lusona

Kolams    top
Hintergrund
Ein Kolam ist eine südindische Bodenmalerei. 
In bestimmten Regionen in Südindien schmücken Frauen täglich die Böden vor den Häusern mit kunstvollen, drehsymmetrischen Figuren. Sie zeichnen dazu mit Reismehl Punktmuster als Merkhilfe und dann Linien um die Punkte herum. Dazu lassen sie mit Geschick Pulver zwischen Zeigefinger und Mittelfinger rieseln und portionieren mit dem Daumen. 
Die oft komplizierten Muster werden in einer Familie von Generation zu Generation weiter gegeben und haben einen religiösen Hintergrund. 
Diese "Linien-Kolams" heißen auf der englischen Wikipedia-Seite stroke kolams, in Tamil neli kolam, kambi kolam oder sikku kolam.

In anderen Regionen verzichtet man meist auf Punktgitter und Linien. Stattdessen werden farbige Flächen oder Blumenteppiche angelegt. Reismehl wird durch Steinpulver oder Kreidepulver ersetzt, oft zusammen mit natürlichen oder synthetischen Farbpulvern. Die immer drehsymmetrischen Bilder werden zusammen mit den Linien-Kolams auf Feiern, auf Festivals, in Wettbewerben und im Internet dargeboten.
Einfaches Beispiel
...... Gibt man neun Punkte in Quadratform vor, könnte ein 3x3-Kolam so aussehen. 
...... Kolams werden durch geschlossene, übergreifende Linien erzeugt. 

In diesem Falle entsteht die Figur aus den drei Randkurven der gelben Flächenstücke.
Beispiel eines Kolams
Dieses Kolam wird durch sieben geschlossene Kurven erzeugt, markiert durch die Linien in Rot (4x), Grün, Blau und Violett.
Den Aufbau des Kolams erkennt man durch Gelbfärbungen besser. 
- Da sind vier Außen-Figuren und ein zentraler Kreis.
- In der Mitte liegt ein abgerundetes Kreuz.
- Ein Quadrat mit Zipfeln umschließt die Figur. 
Mehrere geschlossene Linien, das ist typisch für Kolams, wenn sie auch manchmal mit einer geschlossenen Linie auskommen.

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Hintergrund
Sona sind traditionelle Zeichnungen mancher Bantu-Völker wie der Chokwe in einem Gebiet von Angola und Sambia im südlichen Afrika. 
Erzähler zeichnen Sona mit den Fingern in den glatt gestrichenen Sand, während sie dazu eine Geschichte erzählen. Ohne den Finger abzusetzen  wird eine geschlossene Linie gezogen. Die Linie führt um Punkte eines vorher festgelegten Musters herum, kreuzt sich immer wieder und kehrt schließlich zum Anfangspunkt zurück. 
Die Zeichnungen illustrieren die Geschichten.

Einfaches Beispiel
Die Figur zu einem 4x3-Punktegitter ist ein Lusona. D.h., sie besteht also aus einer geschlossenen Linie ohne Anfang und Ende. 
...
Da die Sona Geschichten ergänzen, stellen sie oft Tiere dar. 
Antilope
...... Das kompakte Lusona wird zu einer Antilope. 

Die Zeichnung ist nicht ohne Witz.
Leopard
... Das Bild zeigt einen Leoparden mit ausgestreckten Tatzen, 
links der kleine Kopf, rechts das Schwänzchen. 

Genauer: In der Zeichnung sind auch zwei Junge zu erkennen. 
Sie liegen nebenander und entgegengesetzt.

 
Quelle (1)
Drei Vögel
...... Es gibt auch Sona, bei denen eine Figur mehrmals auftritt. Sie werden so verbunden, dass eine geschlossene Linie beibehalten wird.

Hier sind es drei Vögel, in meiner Vorlage sind es zehn (!).
Quelle (2)
Eine Fabel
...... Das nebenstehende Lusona wird auch mit einer geschlossene Linie gezeichnet. 
Vier fast gleiche Figuren werden miteinander verknüpft. 
Die abstrakte Figur wird lebendig, wenn man die Fabel kennt, die während des Zeichnens erzählt wird. 
...... "Sambálu, das Kaninchen (Punkt B), entdeckt eine Salzmine (Punkt A). Sofort fordern der Löwe (Punkt C), der Jaguar (Punkt D) und die Hyäne (Punkt E) den Besitz, indem sie die Rechte des Stärkeren geltend machen. Das Kaninchen, das die unantastbaren Rechte der Schwachen bekräftigt, baut daraufhin schnell einen Zaun, um die Mine vor allen Eindringlingen fern zu halten.
Man beachte, dass man nur von B aus zu Punkt A gelangen kann, ohne die Linie, die den Zaun darstellt, zu überschreiten."
Quelle (3)
Ausnahmsweise, wenn es die Geschichte erfordert, bestehen Sona aus mehreren geschlossenen Linien. 
Trotzdem heißen auf dieser Seite die Figuren der Einfachheit halber Sona, wenn sie aus einer geschlossen Linie entstehen.

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Spiegelmodell
... An Hand dieses 4x3-Lusona soll beschrieben werden,
wie die Figur an Hand einer Modellvorstellung "mathematisiert" wird. ....................

...... Man legt ein Rechteck um die 4x3 Punkte und stellt sich vor, dass das Rechteck innen verspiegelt ist. Schickt man z.B. von oben links einen Lichtstrahl in das Rechteck, so wird er vielfach reflektiert und beschreibt einen Weg wie links angefangen. 

Der eingezeichnete Strahl ist nicht erlaubt. Durch Gitter wird der Weg gesteuert. 
......
Es wird ein Gitter in das Rechteck gelegt..................................................................................
... Dann wird ein Lichtstrahl so in das Rechteck geschickt, dass er sich seinen Weg genau zwischen den vorgebenen Punkten bahnt.
...... Schließlich gelangt er zum Ausgangspunkt zurück; er durchquert alle Quadrate auf Diagonalen. 

Zurück bleibt ein Gitter aus auf der Spitze stehenden Quadraten.
...... Das schwarze Gittter wird gelöscht...........................................................................................
...... Man erkennt in dem roten Gitter aus Lichtstrahlen unschwer das 4x3-Lusona. 
Die Rundungen der Begrenzungslinie kann man dadurch erklären, 
dass die Wände des Rechtecks als Spiegel so wirken........................................................
Erste Regel
Es stellt sich die Frage, welche rechteckigen Figuren m*n ein Lusona sind.
Dazu vier Beispiele:
...
...
Diese vier Beispiele veranschaulichen die folgende erste Regel.
- Eine geschlossene Linie ergibt sich nur, wenn m und n teilerfremd sind.
- Sind mehrere geschlossenen Linien nötig, um die Figur zu erzeugen, so ist die Anzahl der Kurven gleich dem größten, gemeinsamen Teiler. 
Die Rechtecke zur Leopardenfamilie haben die Daten 3x10 und 2x3, ihre Maßzahlen sind teilerfremd. 
... ...... Die Rechtecke überlappen sich so, dass sie zusammen weiter durch eine geschlossene Linie erzeugt werden.
Innere zweiseitige Spiegel
... Die kompakten Sona werden interessanter, wenn man im Inneren Muster erzeugt.
...... Im einfachsten Fall löst man eine Kreuzung auf und ersetzt die Ecken durch Rundungen.

Das kann man im Spiegelmodell so erklären, dass man auf eine Kreuzung einen zweiseitigen Spiegel stellt.
 
...... Man kann auch mehrere Spiegel ins Innere stellen. 
Mit dem Einsetzen eines Spiegels ist eine Figur entstanden, die nicht mehr durch eine geschlossene Linie entsteht. 
...... Man benötigt zwei geschlossene Linien, um die Figur zu erfassen.........,,.,......................
...... Aus dieser Figur kann man übrigens durch Auflösen einer Kreuzung, in der sich die beiden verschiedenen Linien treffen, wieder ein Lusona erzeugen.
Zweite Regel
Für m*n-Sonas mit einem Innenspiegels gibt es eine einfache Regel. 
Dazu muss zum 4x3-Lusona ein Muster aus dunklen und hellen Feldern ermittelt werden. 
...... Man legt auf das 4x3-Lusona das Gitter..................................................................
...... Man kommt zu einem Muster, wenn man die Linie verfolgt und dabei jedes zweite Quadrat grau färbt. 

Färbt man die linke obere Ecke grau, dann geht man zwei Quadrate nach rechts und ein Quadrat nach unten. Dieses Quadrat wird wieder grau und so fort. 
...... Die zweite Regel besagt, dass immer da, wo 2x2-Quadrate aneinanderstoßen, ein Spiegel stehen kann. 

Das sind die drei Einzelspiegel und aus Symmetriegründen kommen noch vier dazu.

Das wird durch die Untersuchung der 42 Figuren im nächstenl Kapitel durch die ersten drei Sona bestätigt. 
Ein anderes Beispiel, das 5*4-Lusona
...
Von Lusona zur Matrix
...... ...... Schreibt man an Stelle der dunklen Felder eine Eins und der hellen Felder eine Null, so erhält man eine Matrix aus Nullen und Einsen. 

Sie kann einer 4x3-Figur zugeordnet werden, und sie wird durch die Matrix eindeutig beschrieben. 

Umgekehrt kann man neue Muster aus 0 und 1 entwerfen und zu neuen Sona gelangen. 

Auf der Suche nach Sona     top
Frage: Wo müssen beim 4x3-Kolam die Doppelspiegel im Inneren stehen, damit die Figur ein Lusona bleibt?
Dazu werden alle möglichen Positionen von bis zu fünf Spiegeln durchgespielt.
...
Ergebnis: Unter den 42 untersuchten Figuren sind acht ein Lusona.

Frage: Wo müssen beim 3x3-Kolam die Doppelspiegel (blau) innen und am Rande stehen, damit die Figur ein Lusona wird?
...
Ergebnis: Es gibt unter den Komas 36 Sona, davon sind neun symmetrisch. 
...
Frage: Wie gelangt man zum folgenden Kolam aus fünf geschlossenen Kurven?
...
... Man entwirft mit Kugelschreiber auf kariertem Papier eine punktsymmetrische Figur in der Hoffnung, dass daraus ein ansehnliches Kolam entsteht. Man zeichnet es - wie im nächsten Kapitel beschrieben - mit MS-Paint oder einem Online-Programm.
... Man findet auch Sonas...................................................................................................................................

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Fünf Grundfiguren
Oben steht, dass Kolams entstehen, wenn man um Punkte herum Linien zeichnet. 
Gibt man ein Feld von 2x2 Punkten vor, so gibt es viele Möglichkeiten Punkte zu umkreisen.
...
Die Kolams als Gegenstand der Mathematik sind aus den folgenden Grundfiguren zusammengesetzt.
...
Damit fallen die ersten vier Figuren weg. Nur die drei nächsten Figuren bezeichnet man als Kolams. 
Streng genommen muss in der fünften Figur ein Punkt in der Mitte stehen.

So wie die Mandalas fernöstlicher Kulturen bieten sich auch die Linien-Kolams für eigene Tätigkeiten an. 
Zeichnen mit Kugelschreiber und Papier
Gibt man z.B. ein Punktmuster 3x2 vor und will Kolams oder gar Sona zeichnen, so wählt man an besten diesen Weg.
- Man zeichnet ein Rechteck 3x2 and wählt an passenden Stellen Doppelspiegel.
- Dann skizziert man die Kolams. Dabei tut man sich schwer, da man die fünf Grundfiguren im Kopf haben muss. 
- Dann werden die Skizzen in eine Reinzeichnung übertragen. 
...Dabei benutzt man MS-Paint oder das Online-Programm, die unten beschrieben werden.
...
Zeichnen mit MS-Paint
Die Zeichnungen auf dieser Webseite wurden mit dem Zeichenprogramm MS-Paint erstellt. 
Es steht jedem zur Verfügung, der im Internet Windows benutzt.
...... Die Figuren werden, wie oben schon angegeben, aus fünf Bausteinen zusammengesetzt.
Es kommt noch ein Kreis hinzu.
Ich zeige als Anregung für eigene Tätigkeiten zwei Bilderfolgen. 
...
Man kann die Kolams färben.
...
Zeichnen mit einem Programm 
Im Internet steht ein Programm bereit, mit dem man leicht Kolams zeichnen kann. 
Man gelangt in das Online-Programm, indem man es in der Linkliste unten mit dem Namen Forkphorus aufruft. 
Die Benutzeroberfläche ist übersichtlich. Rechts steht das Werkzeug, links die Zeichenfläche für maximal 5x5-Kolams. Oben stehen die sechs Grundfiguren bereit. Man holt eine Figur auf die Zeichenfläche, wenn man sie und dann das Zielquadrat antippt. Für das Drehen und Löschen der Figur gibt es Felder. Mit dem Feld unten rechts löscht man die Zeichnung. Das Feld unten links ist bei mir ohne Wirkung. 
Das Programm half, unter den 3x3-Kolams im vorigen Kapitel die Sona zu finden. Wenn man die kompakte 3x3-Figur vorgibt, kann man alle Kolams "erzeugen", indem man passende Grundfiguren dreht. Man erkennt die Lage der Doppelspiegel als Lücken und kann Sonas ausmachen, auch wenn die Formen nicht stimmen. 
Vorschlag
Eine vielleicht offene Frage ist, wie viele Kolams und dann Sona es zu den kompakten, relativ einfachen 3x2- und 4x2-Figuren gibt.
Dazu muss man also systematisch nach den möglichen Stellungen der Doppelspiegel mit Hilfe von Notizen auf kariertem Papier suchen. 
In einem zweiten Schritt erkennt man die Sonas mit Hilfe des Online-Programms. 
Kolam-Legespiel
Klebt man die Grundfiguren auf Quadrate aus Pappe, so erhält man eine Legespiel.
...

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Paulus Gerdes
Beim Recherchieren im Internet erkennt man, dass die Lusona-Forschung durch den Wissenschaftler Paul Gerdes begründet und vorangetrieben wurde. Er verfasste zu diesem Thema zahlreiche Schriften und sammelte um sich viele Schüler, die sich mit Lusona befassten.
Er war Holländer, ab 1976 Professor der Mathematik in Mosambik und nahm dort auch die Staatsbürgerschaft an.

Keltische Knoten
Aus dem 3x3-Kolam und dem 4x3-Lusona werden keltische Knoten, wenn man die Linien dicker wählt und längs einer Linie abwechselnd Unterführungen und Brücken setzt.
Indianisches Sandbild
...... Sandbild der Nordamerikanischen Ureinwohner, 

fixiert mit Haarfestiger, 

außerhalb des Kreises vierstrahlig,

hergestellt für Touristen,

kauften wir irgendwo in der Nähe des Grand Canyon, USA.
Deutsche S(tr)andmalerei
...
..........................
Springertour
...... Bei der Springertour geht es darum, dass der Springer sich so auf dem Schachbrett bewegen soll, dass er (auch) eine geschlossenen Linie beschreibt. Links steht eine Lösung für das kleinere 6*5-Feld.

Mehr auf meiner Seite Haus des Nikolaus.

Referenzen   top
(1) South African History Online (www.sahistory.org.za)
(2) https://www.zukunft-irular.de/neue-seite/ (Sona-Geometrie: Zehn Vögel)
(3) http://www.math.buffalo.edu/mad/special/african-geometry.html
(4) https://www.researchgate.net/publication/256932750_Sona_drawings_mirror_curves_and_pattern_designs

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Deutsch

Alban Da Silva (Spektrum)
Mathematik einer Südseetradition (Sandzeichnungen des südpazifischen Archipels)

arte.tv
Kolam: Die flüchtige Kunst der Inderinnen

Henning Krause  (Spektrum)
Ethnomathematik - dargestellt am Beispiel der Sona Geometrie
Labbé
pulli-kolams, Was sind Sona?
M. Weber, A. Mischau (Mathematisches Panorama)
Mathematik und (bzw. in) andere(n) Kulturtechniken   (.pdf-Datei)
Wikipedia
Kolam, Sona (Mathematik), Paulus Gerdes, Ethnomathematik, Sandbild, Sandanimation

Englisch

Darrah Chavey
Mathematical Experiments with African Sona Designs

Darrah Chavey
Constructing Symmetric Chokwe Sand Drawings
Forkphorus
Drawing program
Ljiljana Radovic
MIRROR CURVES
Marcia Ascher (spektrum.de)
Ethnomathematik: Die Kolam-Figuren Südindiens
Mattia De’ Michieli Vitturi
Sona drawings, mirror curves and pattern designs
NN
Sona - Sand Drawings from Africa
Paulus Gerdes 
m-Canonic mirror curves
Paulus Gerdes
Geometria Sona de Angola  Matemática duma Tradição Africana
Portugiesisch, 191 Seiten, 342 Abbildungen
Slavik Jablan, Ljiljana Radovi, Radmila Sazdanovi Ana Zekovi
Knots in Art 
South African History Online
Sona Patterns - Revisiting the Contributions of the People in Sub-Saharan Africa to Modern Mathematics
Wikipedia 
Kolam, Rangoli, Lusona, Sandpainting, Sand animation, Sand mandala, Ethnomathematics, Zenigata_Sunae

Youtube
Angolan Sand Drawings
Einige Zeichnungen und Geschichten
Youtube
CHIKKU KOLAM WITH 10-2 DOTS | HOW TO DRAW A SIKKU KOLAM | NELI KOLAM
Beispiel einer indischen Bodenmalerei

Youtube
Pongal' theme for Chennai's Kolam and Rangoli competition
Ein Treffen der Künstlerinnen
Youtube
Kolam designs
Riesensammlung von Videos

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Ein Besucher meiner Seiten, Volker Sayn, hat mich auf die Kolams und Sona hingewiesen, die ich vorher zu meiner eigenen Verwunderung nicht kannte. Ich habe für diese Webseite seine umfangreichen Unterlagen vewendet und bedanke mich. 

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URL meiner Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de

©  März 2023 Jürgen Köller

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