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Was ist ein 3-4-5-Dreieck?
... ... |
Das 3-4-5-Dreieck ist ein Dreieck mit den Seitenlängen
3cm, 4cm und 5cm.
Allgemeiner bezeichnet man jedes Dreieck mit den Seiten
3e, 4e und 5e als 3-4-5-Dreieck, wobei e eine beliebige Einheitsstrecke
ist. Man kann auch fordern: Es muss a:b:c = 3:4:5 gelten. |
Auf dieser Seite werden deshalb zweckmäßigerweise
Maßeinheiten weggelassen.
Da der Satz
des Pythagoras gilt (3²+4²=5²), ist das Dreieck rechtwinklig.
Die folgende Zeichnung veranschaulicht
diesen Sachverhalt.
Größen
des Dreiecks top
Winkel
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Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt für die spitzen
Winkel:
sin(alpha)=a/c=4/5 oder alpha=arc sin(4/5), sin(beta)=b/c=3/5
oder beta = arc sin(3/5). |
Angenähert betragen alpha=53,1° und beta=36,9°.
Umkreis und
Inkreis
... . |
Der Umkreis wird durch den Halbkreis des Thales
gegeben. Der Radius ist R=c/2 oder R=2,5. |
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Der Inkreis hat den Radius r=1.
Für ein rechtwinkliges Dreieck
gilt die Formel r=(ab)/(a+b+c), d.h. r=(3*4)/(3+4+5) oder r=1. |
Hypotenusenabschnitte
und Höhe
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Nach dem Kathetensatz ist cp=a². Daraus folgt p=a²/c
oder p=16/5.
Nach dem Kathetensatz ist cq=b². Daraus folgt q=b²/c
oder q=9/5.
Nach dem Höhensatz ist h²=pq. Daraus folgt
h=12/5. |
Fläche
und Umfang
Der Flächeninhalt ist A=6, der Umfang
U=12.
Vierecke
und 3-4-5-Dreiecke
top
Quadrat im Dreieck
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In ein Dreieck passt ein Quadrat auf zwei verschiedene
Arten. Im ersten Fall ist die Seitenlänge 12/7 (ungefähr 1,7),
im zweiten Fall 60/37 (ungefähr 1,6). |
Die Rechnungen erfolgen analog zum 30-60-90-Dreieck
an anderer Stelle meiner Homepage..
Vierecke
aus vier Dreiecken
Vier Kreise im Kreis
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Zeichnet man in einen Kreis nebeneinander zwei halb so
große Kreise ein und füllt die Lücken oben und unten mit
zwei weiteren Kreisen aus, so bilden die vier Mittelpunkte der Kreise eine
Raute.
Diese Raute setzt sich aus vier 3-4-5-Dreiecken zusammen. |
Lösung:
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Es gelten nach der Zeichnung die drei Gleichungen r=x+h,
r=2y und (x+y)²=h²+y².
Daraus ergeben sich nach Umformungen x=(1/3)r, y=(1/2)r
und h=(2/3)r.
Daraus folgt für das Seitenverhältnis: (x+y):h:y=(5/6)r:(2/3)r:(1/2)r
= 5:4:3, w.z.b.w.. |
3-4-5-Dreiecke
bei Sangaku
Sechs Kreise im Dreieck
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Gegeben ist ein 3-4-5-Dreieck. Man zeichnet in das Dreieck
ein Quadrat und in ihm vier Kreise wie links. In die Dreiecke oben und
unten setzt man noch zwei weitere Inkreise.
Es stellt sich die Frage, wie man aus dem Radius r eines
gelben Kreises die Radien der übrigen Kreise berechnet. |
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Der Radius t des blauen Kreises ergibt sich aus dem Satz
des Pythagoras (r+t)²=r²+(2r-t)².
Nach einigen Rechenschritten erhält man t=(2/3)r.
Nach dem Ähnlichkeitssatz gilt y:(4r)=4:3 und x:(4r)=3:4.
Daraus ergibt sich x=3r und y=(16/3)r.
Für den Inkreis des oberen 3-4-5-Dreiecks gilt r'=(3r*4r)/(3r+4r+5r)
oder r'=r.
Aus der Proportion (16/3r):R=(4r):r ergibt sich R=(4/3)r. |
Ergebnis: Der Radius eines
blauen Kreises ist t=(2/3)r, des hellgelben Kreises r'=r und des grünen
Kreises R=(4/3)r.
Quelle: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/KidsSangaku.shtml
Kreise
im Quadrat mit einem gotischen Bogen
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Auf meiner Webseite Sangaku
werden die Radien der Kreise in nebenstehenden Figuren berechnet.
Die Resultate stehen in den Kreisen bzw. Halbkreisen. |
In zwei Figuren liegen 3-4-5-Dreiecke.
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Es gilt 54:72:90 = 72:96:120 = 3:4:5. |
Tangente
an den Halbkreis im Quadrat
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Zeichne in das Quadrat ABCD mit der Seitenlänge
a den Halbkreis mit dem Mittelpunkt F und dem Radius (1/2)a.
Zeichne vom Eckpunkt C aus die Tangente an den Halbkreis.
Der Berührpunkt sei H und der Schnittpunkt mit der Seite AD Punkt
G.
Bei zahlenjagd.at (Das aktuelle Rätsel)
Mai 2013 heißt die Aufgabe: Berechne die Länge der Strecke
CG.
Passend zu dieser Webseite soll die Aufgabe lauten: Zeige,
dass das Dreieck CDG ein 3-4-5-Dreieck ist.
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1.Beweis
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Man zeichnet in die mittlere Figur oben die Tangente
ein.
Das gelbe und das blaue Dreieck sind ähnlich, da
Tangente und Sekante aufeinander senkrecht stehen.
Deshalb ist das blaue Dreieck ein 3-4-5-Dreieck. |
2.Beweis
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Ergänzt man die Zeichnung wie links, so erkennt
man zwei Tangenten, die von Punkt C aus an den Halbkreis gelegt werden,
ebenso von Punkt G aus. Es gilt AG=GH und CH=BC.
Die beiden Winkel mit dem Scheitelpunkt E werden durch
die Strecken EG und CE halbiert. Da sie zusammen einen gestreckten Winkel
bilden, stehen EG und CE aufeinander senkrecht. Das Dreieck CGE ist rechtwinklig.
Nach dem Höhensatz ist EH²=GH*CH oder (a/2)²=GH*a.
Dann ist GH=(1/4)a und weiter CG=(5/4)a.
Nach dem Satz des Pythagoras ist DG²=[(5/4)a]²-a²
= (9/16)a². Dann ist DG=(3/4)a. |
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Das Dreieck CDG ist ein 3-4-5-Dreieck, denn es gilt:
DG=(3/4)a, , CD=a, CG=(5/4)a und DG:CD:CG = [(3/4)a]:a:[(5/4)a]
= 3:4:5, wzbw. |
Quelle: (5), Aufgabe 5.6, Seite 105
3.Beweis
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Man geht vom 3-4-5-Dreick mit dem Inkreis aus.
Dann kann man in die Figur das Quadrat mit dem Inkreis
einzeichnen.
Die Eigenschaft des Dreiecks OFN, ein 3-4-5-Dreieck zu
sein, ergibt sich wie von selbst. |
Hinweis von Torsten Sillke
Satz von Haga top
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Faltet man quadratisches Blatt Papier an der geraden
PQ so, dass die untere Ecke durch Falten oben in den Mittelpunkt einer
Seite gelangt, so entstehen drei rechtwinklige Dreiecke.
Die Dreiecke sind ähnlich und ihre Seiten stehen
im Verhältnis 3:4:5. |
Beweis:
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Wegen des Faltvorgangs sind die roten Strecken gleich.
Es gilt x+y=a und nach dem Satz des Pythagoras (a/2)²+x²=y².
Daraus folgt x=(3/8)a und y=(5/8)a.
Somit ist x:(a/2):y=(3/8)a:(a/2):(5/8)a=3:4:5.
Eine Winkelbetrachtung führt zur Ähnlichkeit
der drei Dreiecke. |
Drei-Quadrate-Satz
top
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Gegeben sind drei nebeneinander liegende Quadrate.
Verbindet man den Eckpunkt oben rechts mit den Eckpunkten
der Quadrate unten links, so entstehen drei Winkel.
Es gilt der Satz: Die Summe der beiden linken Winkel
ist genau so groß wie der Winkel rechts. |
Beweis:
Es muss gezeigt werden, dass arc tan(1) = arc tan(1/2)+arc
tan(1/3) gilt.
Das gelingt mit Hilfe des Inkreises im 3-4-5-Dreieck.
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In der Zeichnung kann man ablesen: tan(alpha/2)=1/3,
tan(beta/2)=1/2.
Dann ist alpha/2=arc tan(1/3) und beta/2=arc tan(1/2).
Es gilt weiter alpha+beta=2*45° oder 2*arc tan(1/3)+2*arc
tan(1/2)=2*arc tan(1) oder
arc tan(1/3)+arc tan(1/2)=arc tan(1), wzbw.. |
Quelle: (6), Seite 145
Bei Gardner kann man nachlesen, dass er nach Veröffentlichung
dieses Problems in Scientific American ein Fülle von Zuschriften
mit unterschiedlichen Beweisen erhielt. - Charles Trigg veröffentlichte
54 Beweise in Journal of Recreational Mathematics, Band 4, April
1971, Seite 90-99.
Hinweis von Torsten Sillke
3-4-5-Dreieck
im Quadrat top
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In einem Quadrat entsteht ein 3-4-5-Dreieck, wenn man
den Mittelpunkt einer Seite mit zwei gegenüber liegenden Eckpunkten
verbindet und dann noch einen Eckpunkt mit der freien Seitenmitte. |
Beweis
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Die Eckpunkte des Quadrates sollen A,B,C, D, die Mittelpunkte
der Seiten E, F und der Schnittpunkt im Inneren Punkt G heißen.
Der Einfachheit halber sei die Seitenlänge des Quadrates
1.
In einem Koordinatensystem mit dem Nullpunkt in A haben
die Punkte die Darstellungen
A(0|0), B(1|0), C(1|1), D(0|1), E(1/2|0) und F(0|1/2). |
Punkt G muss berechnet werden. Er ist der Schnittpunkt der
Geraden BF und CE.
Die Geradengleichnung von BF ist y=-(1/2)x+1/2. Die Geradengleichnung
von CE ist y=2x-1.
Für den Schnittpunkt gilt -(1/2)x+1/2 = 2x-1 oder
-x+1 = 4x-2 oder 5x=3. Dann ist x=3/5, y=1/5 und G(3/5|1/5).
Die Seitenlängen ergeben sich aus folgenden Rechnungen.
Aus CF²=(1-4/5)²+(1-1/5)²=5/4 folgt CF=(1/2)sqrt(5)=(5/10)sqrt(5).
Aus CG²=(1-3/5)²+(1-1/5)²=20/25 folgt
CG=(2/5)sqrt(5)=(4/10)sqrt(5).
Aus FG²=(0-3/5)²+(1/2-1/5)²=45/100 folgt
FG=(3/10)sqrt(5).
Damit gilt FG:CG:CF =[(3/10)sqrt(5)]:[(4/10)sqrt(5)]:[(5/10)sqrt(5)]=3:4:5,
wzbw..
... ... |
Verbindet man jeden Eckpunkt des Quadrates mit den beiden
Seitenmitten, entsteht im Inneren ein gleichseitiges Achteck.
Es wird auf der Webseite Regelmäßiges
Achteck untersucht. |
Hinweis von Torsten Sillke
3-4-5-Dreieck
und goldener Schnitt top
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Man kommt über den Inkreis des 3-4-5-Dreiecks auf
eine Strecke, die im Goldenen Schnitt
geteilt wird.
Man erhält den Inkreis, indem man die Winkelhalbierende
eines Innenwinkels wie links einzeichnet und den Schnittpunkt mit der Seite
zum Mittelpunkt des Kreises macht.
Es gilt dann PQ:BP = (1/2)[sqrt(5)+1] = Phi.
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Beweis:
Es gilt in einem beliebigen Dreieck der Satz: "Jede Winkelhalbierende
(eines Innenwinkels) im Dreieck teilt die gegenüberliegende Seite
im Verhältnis der anliegenden Seiten". Ein Beweis befindet sich auf
meiner Webseite Allgemeines
Dreieck.
Danach gilt AM:CM = 5:3 oder AM = (5/3)CM.
Aus AM+CM = 4 folgt (5/3)CM+CM = 4 und CM = 4:(8/3) oder
CM = 3/2 und PQ = 3. Weiter ist AM = 4-CM = 5/2.
Nach dem Sekanten-Tangenten-Satz ist BP*BQ = BC².
Das heißt (BM-3/2)*(BM+3/2) = 3². Daraus folgt
BM²-3/2 = 9 oder BM² = 45/4 oder BM = (3/2)sqrt(5).
Dann ist PB = BM-3/2 = (3/2)sqrt(5)-3/2.
Schließlich ist PQ:BP = 3:[(3/2)sqrt(5)-3/2] = (1/2)[sqrt(5)+1],
wzbw.
Quelle: Alexander Bogomolny
(cut-the-knot) (URL unten)
Knotenschnur top
Das 3-4-5-Dreieck hat eine gewisse Berühmtheit erlangt,
da man auch in Schulbüchern lesen kann, dass schon die alten Ägypter
das Dreieck kannten. Sie fertigten eine geschlossene Knotenschnur mit 12
Knoten in gleichen Entfernungen an. Wenn nach den Überschwemmungen
des Nils der Fluss wieder zurückgewichen war und die verwüsteten,
aber fruchtbar gewordenen Felder wieder freigab, legten die Bauern die
Knotenschnur in Form von rechtwinkligen Dreiecken aus und konnten so in
jedem Jahr gleich große, rechteckige Felder reproduzieren.
Martin Gardner ist in seinem Buch (2) der Frage nachgegangen,
was da dran ist. Er berichtet, dass nur sicher ist, dass die ägyptischen
Tempelbauer bei der Fundamentlegung Seile verwendeten [Abb. in Buch (3)].
Aber kein einziges Schriftstück unterstützt die Vermutung, dass
dabei 3-4-5-Dreiecke eine Rolle spielten.
Er bemerkt, dass die Geschichte erst um 1900 aufkam und
wohl auf den deutschen Forscher der Geschichte der Mathematik, Moritz Cantor,
zurückgeht. Dieser wies darauf hin, dass den alten Ägyptern möglicherweise
eine Schnur mit Knoten bekannt war.
Nach Buch (4) geht die Legende schon auf den griechischen
Gelehrten Herodot (484 v.Chr. - 430 v.Chr.) zurück.
Darstellung
pythagoräischer Zahlen top
Das Besondere am 3-4-5-Dreick ist, dass die Seitenlängen
ganzzahlig sind (und dass es rechtwinklig ist). Dreiecke mit diesen Eigenschaften
heißen pythagoräische Dreiecke und die drei Maßzahlen
der Seiten heißen pythagoräische Zahlen.
Weitere pythagoräische Tripel sind 5-12-13, 8-15-17
oder auch 15-112-113.
Über diese Zahlen ist schon viel geschrieben worden,
gehen sie doch auf Euklid (um 300 AC) zurück, der sie in seinen "Elementen"
beschrieb.
Bei der Definition des 3-4-5-Dreiecks
wurde schon angemerkt, dass auch Dreiecke dazugehören, deren Seiten
Vielfache von 3-4-5 wie zum Beispiel 6-8-10 oder 9-12-15 sind. Man kann
die pythagoräischen Zahlen in Klassen einteilen mit je einem Repräsentanten,
der keine gemeinsamen Teiler mehr hat. Diese Repräsentanten heißen
primitive Tripel.
Will man alle Zahlen a-b-c erfassen,
so gibt man üblicherweise zwei Parameter m und n mit m>n>0 vor und
setzt a=2mn, b=m²-n² und c=m²+n². Für die ersten
Zahlen m=2 bis m=6 und n<m erhält man die folgenden Ergebnisse.
Man erhält neben den primitiven Tripeln (rot) auch Zahlen,
die gemeinsame Faktoren haben, also eigentlich unerwünscht sind.
Wie kommt man zu der Parameterdarstellung oben und zu
einer Darstellung nur der primitiven Tripel?
Das Tripel a-b-c sei pythagoräisch und primitiv.
>a, b und c haben keinen gemeinsamen Faktor. Es genügt,
dass z.B. a und b keinen gemeinsamen Faktor haben, denn wegen c²=a²+b²
hat c dann auch diesen Faktor.
>a und b sind nicht beide gerade.
Denn wegen c²=a²+b² ist dann auch c gerade.
Das ist ein Widerspruch zur Aussage, dass das Tripel a-b-c primitiv ist.
>a und b dürfen nicht beide ungerade sein.
Angenommen, sie sind beide ungerade, es gelte also a=2x+1
und b=2y+1.
Dann ist c²=a²+b²=(2x+1)²+(2y+1)²=4(x²+x+y²+y)+2.
Dividiert man c² durch 4, so erhält man den Rest 2.
Andererseits ist c² danach gerade, c²=2z. Dann
muss aber z und damit c gerade sein, das heißt, dass sich der
Rest 0 ergibt, wenn man c² durch 4 dividiert.
Das ist ein Widerspruch.
Angenommen, b sei ungerade (b=2y+1). Dann ist a gerade
(a=2x) und wegen c²=a²+b²=4y²+4x²+4x+1=4z+1 die
Zahl c ungerade.
Aus a²+b²=c² folgt a²=b²-c²=(b+c)(b-c).
Dann ist b+c =2y+4z+2=2(y+2z+1) und b-c = 2y-4z=2(y-2z).
Die Zahl 2 ist der einzige gemeinsame Faktor, sonst wären b und c
gerade.
Danach sind (b+c)/2 und (b-c)/2 ganze Zahlen und wegen
a²=(b+c)(b-c) sogar Quadratzahlen.
Also muss gelten c+b=2m² und c-b=2n².
>Daraus folgt b=m²-n² und c=m²+n²,
weiter a=2mn. Das ist die Darstellung oben.
Einschränkungen für m und n
>m und n sind nicht gleichzeitig gerade.
Angenommen, m=2x und n=2y. Dann sind auch a=2mn=8xy und
b=m²-n²=4(x²-y²) gerade. Das ist ein Widerspruch.
>m und n sind nicht gleichzeitig ungerade.
Angenommen, m=2x+1 und n=2y+1, Dann sind a=2mn und auch
b=m²-n²=4z gerade. Das ist ein Widerspruch.
>a und b dürfen keinen gemeinsamen Faktor haben.
Das gilt auch für m und n.
Ergebnis:
Fordert man also, dass m>n>0 ist und m und n nicht gleichzeitig
gerade oder ungerade sind und keinen gemeinsamen Faktor haben, so werden
durch die Darstellung a=2mn, b=m²-n² und c=m²+n² alle
primitiven pythagoräischen Zahlen erzeugt.
Zwei
Eigenschaften pythagoräischer Zahlen top
Gerade Zahl erzeugt pythagoräische
Tripel
Gibt man eine beliebige gerade Zahl vor, z.B. 8, so sind
a=2*8, b=8²-1 und c=8²+1 pythagoräische Zahlen. Das ist
das Tripel 16-63-65. Diese Konstruktion gelingt bei jeder geraden Zahl.
In der Formelsprache heißen die Zahlen 2g, g²-1 und g²+1,
wenn g gegeben wird. Es gilt (2g)²+(g²-1)²=(g²+1)².
Auf diese Weise erhält man nur eine Auswahl pythagoräischer
Zahlen.
Inkreisradius
ist ganzzahlig
Im 3-4-5-Dreieck ist der Radius des Inkreises gleich
1, also auch ganzzahlig. Das ist kein Zufall. Die Radien in pythagoräischen
Dreiecken sind nämlich ganzzahlig.
Das 3-4-5-Dreieck
im Internet top
Deutsch
Faust-Gymnasium Staufen (H.B.Meyer )
Pythagoräische
Tripel
Wikipedia
Pythagoreisches
Tripel
Englisch
Alexander Bogomolny (cut-the-knot)
Pythagorean
Triples, The
Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples, Golden
Ratio and the Egyptian Triangle
Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Pythagorean
Triple, Right
Triangle
Kelley L. Ross, Ph.D.
Pythagorean
Triplets
L. N. Hammer
How
to Generate Pythagorean Triplets
mathpuzzle.com
The
Pythagoras Figure
Torsten Sillke
Halving
the angles in the right 3-4-5 triangle
Wikipedia
Pythagorean
triple
Referenzen top
(1) Heinrich Behnke u.a. (Hrsg.): Mathematik 1 (Das Fischer
Lexikon 29/1), Frankfurt a.M. 1964 (Seite 90)
(2) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig/Wiesbaden,
1979 [ISBN 3-528-08402-2] (Seite 145f.)
(3) W.Gellert (Hrsg.): Mathematik, Leipzig 1986 (Abbildung
in Anhang, Seite 9)
(4) Peter Baptist: Pythagoras und kein Ende? Leipzig
1998 (Seite 40)
(5) Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise,
Berlin Heidelberg 2013 [ISBN 978-3-642-34792-4]
(6) Martin Gardner: Mathematischer Zirkus, Ullstein Berlin
Frankfurt Wien 1988 [USBN 3 550 07692 4]
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2003, erweitert 2013, Jürgen Köller
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