|
Was ist eine Spirale?
Eine Spirale ist eine ebene oder räumliche Kurve, die in bestimmter
Weise um eine Mitte läuft.
Es folgen unterschiedliche Spiralen,
die meisten werden durch Formeln erzeugt.
Spiralen durch Polargleichungen
top
Archimedische Spirale top
Die Spirale kann man durch eine Überlagerung zweier Bewegungen
eines Punktes erzeugen, nämlich durch eine gleichförmige Bewegung
längs eines Strahls vom Anfangspunkt aus und durch eine gleichförmige
Kreisbewegung des Strahls um den Anfangspunkt herum.
.......................... . |
|
|
(1) Die gleichförmige Bewegung links bewegt einen Punkt nach
rechts. - Das Bild enthält neun Momentaufnahmen.
(2) Die gleichzeitig stattfindende gleichförmige Kreisbewegung
in der Mitte bringt die Punkte auf eine Spiralbahn.- Nach jeder Achteldrehung
wird ein Punkt gesetzt.
(3) Die Spirale entsteht als Kurve, wenn der Ort zu jedem Zeitpunkt
festgehalten wird.
Man gelangt in Analogie zum Kreis zu Formeln.
Kreis
 |
Es sei P ein beliebiger Punkt eines Kreises mit dem Radius R, der in
der Mittelpunktslage gegeben ist.
Es gibt u.a. drei Darstellungen des Kreises.
(1) Koordinatengleichung: x²+y² = R² oder [y = sqr(R²-x²)
und y = -sqr(R²-x²)],
(2) Parametergleichungen: x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t),
(3) Polargleichung: r(t) = R. |
In der (einfachen) Polargleichung (3) wird ein Punkt durch das Paar (Radius
OP, Winkel t) angegeben. Der Radius ist die Entfernung des Punktes vom
Nullpunkt (0|0). Der Winkel liegt zwischen dem Radius und der positiven
x-Achse, sein Scheitel im Nullpunkt.
Spirale
Bei der einfachsten Spirale, der Archimedischen Spirale, sind Radius
r(t) und Winkel t proportional. So bietet sich die folgende Polargleichung
an:
(3) Polargleichung: r(t) = at [a ist eine Konstante].
Daraus folgt
(2) Parametergleichungen x(t) = at cos(t), y(t) = at sin(t),
(1) Koordinatengleichung: x²+y² = a²[arc tan (y/x)]².
... ...
|
Die Archimedische Spirale links beginnt im Nullpunkt und beschreibt
um ihn eine immer weiter werdende Kurve mit drei Umläufen.
Der Abstand der Spiral-Äste bleibt gleich.
Genauer: Die Entfernungen benachbarter Kurvenpunkte auf einer Nullpunktsgeraden
sind konstant. |
... ... |
Spiegelt man eine Archimedische Spirale, so erhält man eine neue
Spirale mit dem entgegegesetzten Richtungssinn.
Beide Spiralen laufen von innen nach außen. Schaut man auf die
Spiralen, so beschreibt die linke eine Linkskurve, die rechte eine Rechtskurve. |
Verbindet man die beiden Spiralen durch eine gerade oder gekrümmte
Linie (rot), so entsteht die Doppelspirale.
Logarithmische Spirale (Spirale
des Bernoulli, englisch: Equiangular Spiral) top
... ...
|
(1) Die Polargleichung lautet r(t) = exp(t).
(2) Die Parametergleichung ist x(t) =
exp(t) cos(t), y(t) = exp(t) sin(t).
(3) Die Koordinatengleichung ist y = x tan[ln(sqr(x²+y²))].
Auch die logarithmische Spirale läuft von
innen nach außen.
Die Spirale hat eine charakteristische Eigenschaft:
Jede Nullpunktsgerade (rot) schneidet die Spirale unter demselben Winkel. |
Weitere Spiralen top
Ersetzt man in der Polargleichung zur Archimedischen
Spirale den Term r(t)=at durch andere Funktionsterme, so erhält man
eine Folge neuer Spiralen. Es folgen sechs Spiralen, die mit den Grundfunktionen
mit f(x)=x^a [a=2,1/2,-1/2,-1] und f(x)=exp(x), f(x)=ln(x) gebildet
worden sind. Dabei unterscheidet man zwei Gruppen, wenn man den Parameter
t von 0 aus wachsen lässt.
...... ......... |
Ist der Betrag einer Funktion r(t) monoton steigend, so verlaufen die
Spiralen von innen nach außen. Im allgemeinen beginnen sie im Nullpunkt
und gehen über alle Grenzen.
Die Spirale 1
heißt parabolische Spirale oder Spirale von Fermat. |
.. .... |
Ist der Betrag einer Funktion r(t) monoton fallend, so verlaufen die
Spiralen von außen nach innen. Im allgemeinen laufen sie auf ein
Zentrum zu, das sie nie erreichen. Dann liegt ein Pol vor.
Die Spirale 2
heißt hyperbolische Spirale oder Lituus (Krummstab). |
Für die verschiedenen Spiralformeln wird jeweils ein Vertreter mit
einer für den Plotter geeigneten Gleichung ausgewählt.
Clothoide (Cornu-Spirale) top
.. .... |
Die Clothoide ist eine Doppelspirale, deren Krümmung mit der Entfernung
vom Nullpunkt immer größer wird. Der Krümmungsradius ist
umgekehrt proportional zu ihrer Bogenlänge, gemessen vom Nullpunkt
aus.
Zwei Gleichungen mit den Fresnelschen Integralen, die nur näherungsweise
lösbar sind, bilden die Parameterdarstellung.
Eine wichtige Anwendung der Cornu-Spirale ist die Fresnelsche Beugung
am Spalt oder an einer Kante. Mit Hilfe der Cornu-Spirale kann man Aussagen
zur Lichtverteilung machen.
|
Georg Schön teilte mir mit, dass er
viel wichtiger findet, dass die meisten Kurven von Straßen Klothoiden
sind. Die Klothoide ist nämlich die Kurve, die ein Auto zurücklegt,
wenn man bei konstanter Geschwindigkeit das Lenkrad mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
dreht.
Spiralen aus Kreisbögen
top
Halbkreisspirale
 |
Man kann stufenweise größer werdende Halbkreise zu einer
Spirale zusammensetzen.
Die Radien haben das Verhältnis 1 : 1.5 : 2 :
2.5 : 3..... |
Fibonacci-Spirale
... ... |
Man zeichnet zuerst zwei kleine Quadrate übereinander. Dann fügt
man in Folge immer größer werdende Quadrate entgegengesetzt
dem Uhrzeigersinn hinzu.
In die Quadrate werden (schwarze) Viertelkreise eingezeichnet.
Sie bilden die Fibonacci-Spirale. |
Der Name der Spirale rührt von den Fibonaccizahlen her. Schreibt man
die Seitenlängen der Quadrate der Reihe nach auf, so erhält man
die Folge 1,1,2,3,5,8,13,21, ... Das sind die Fibonacci-Zahlen, die sich
nach der Rekursionsformel a(n)=a(n-1)+a(n-2) errechnen [a(1)=1, a(2)=1,
n>2].
Spiralen aus Strecken top
... ...
|
Die Spirale besteht aus Strecken der Längen 1,1,2,2,3,3,4,4,....
Aufeinanderstoßende Strecken stehen paarweise aufeinander senkrecht. |
... ... |
Die Spirale wird in eine Geradenkreuzung eingezeichnet,
die aus vier Geraden besteht, die jeweils einen Winkel von 45° bilden.
Man beginnt mit der horizontal liegenden Strecke 1 und knickt die nächste
Strecke so ab, dass sie auf der nächsten Halbgeraden senkrecht
steht. Die Strecken bilden eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten
sqr(2).
Zeichnet man eine Spirale in ein Geradenbüschel
aus beliebig vielen Geraden, die gleiche Winkel einschließen, so
nähert sich die Streckenspirale einer logarithmischen Spirale, wenn
man die Winkel immer kleiner werden lässt. |
... ... |
Die nächste Spirale entsteht aus einer Kette von rechtwinkligen
Dreiecken, die jeweils eine Seite gemeinsam haben. Aus der Hypotenuse eines
Dreiecks wird eine Kathete des nächsten Dreiecks. Erstes Glied ist
das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck 1-1-sqr(2).
Die freien Katheten der Länge 1 bilden die Spirale.
Das Besondere ist, dass sich die Dreiecke in Seiten berühren,
deren Länge die Wurzeln aus den natürlichen Zahlen sind. Das
beweist man mit dem Satz des Pythagoras.
Diese Figur heißt Wurzelspirale oder Wurzelschnecke. |
... ... |
Ein Quadrat wird um seinen Mittelpunkt um jeweils 10° gedreht und
gleichzeitig so gestaucht, dass die Eckpunkte auf den Seiten des vorhergehenden
Quadrats liegen.
Ergebnis: Alle Eckpunkte beschreiben vier Spiralarme. Je kleiner der
Drehwinkel ist, desto mehr nähern sich die Spiralen einer logarithmischen
Spirale.
Man kann auch andere regelmäßige Vielecke, z.B. ein gleichseitiges
Dreieck, drehen und erhält ähnliche Figuren. |
Diese Grafiken erinnern an die Programmiersprache LOGO aus den Kindertagen
der Computerei (C64-Nostalgie).
Dreidimensionale Spiralen
top
Helix
... ... |
Zeichnet man in der x-y-Ebene eine Kreislinie mit x=cos(t) und y=sin(t)
und zieht sie gleichmäßig in z-Richtung auseinander, so ensteht
eine räumliche Spirale.
Sie heißt zylindrische Spirale oder Helix. |
Das Bildpaar ermöglicht eine dreidimensionale
Sicht.
... ... |
Die Raumspirale wird an einer Vertikalebene gespiegelt. Es entsteht
eine neue Spirale (rot) mit dem entgegengesetzten Richtungssinn.
Umfasst man die rechte Spirale mit der rechten Hand und zeigt der Daumen
in z-Richtung, so geht es entgegen dem Uhrzeigersinn aufwärts. Die
Spirale hat eine Rechtsdrehung.
Für die linke Spirale muss man die linke Hand nehmen. Die linke
Spirale hat eine Linksdrehung.
Beispiel: Fast alle Schrauben haben eine Rechtsdrehung. Sie sind rechtsgängig,
passend für Rechtshänder. |
... ... |
In der "technischen" Literatur wird die Rechtsdrehung so erklärt:
Man wickelt ein rechtwinkliges Dreieck um einen Zylinder. Es entsteht eine
rechtsdrehende Spirale, wenn das Dreieck nach rechts steigt. |
Konische Spiralen
Kegelförmige Raumspiralen erhält man aus der Archimedischen
oder aus der logarithmischen Spirale. Sie heißen auch konische Spiralen.
Die Bildpaare ermöglichen eine dreidimensionale
Sicht.
Loxodrome,
Sphärische Spirale
... ... |
Die Loxodrome ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche, die die
Meridiane unter gleichen Winkeln schneidet. Sie erscheinen auf der Mercatorkarte
als gerade Linien.
Die allgemeine Gleichung lautet:
x=cos(t) cos [1/tan (at)]
y=sin(t) cos[1/tan (at)]
z= -sin [1/tan (at)] (a ist eine Konstante)
Man kann nachrechnen, dass x²+y²+z²=1 gilt. Diese Gleichung
besagt, dass die Loxodrome auf der Kugeloberfläche liegt. |
Allgemeiner gibt es zu jedem Rotationskörper eine Loxodrome.
Apfelmännchen-Spiralen
top
Die Koordinaten gehören zur Mitte der Bilder.
Schöne Spiralen findet man auch als Juliamengen. Hier ein Beispiel:
Mehr über diese Graphiken findet man auf meiner Seite Apfelmännchen.
Basteln von Spiralen top
... ... |
Zieht man zwischen dem Daumen und der Schneide eines Messers unter
Druck einen Papierstreifen, so krümmt sich dieser zu einer Spirale.
Er wird zu einer Locke, wenn man die Schwerkraft wirken lässt.
Dieser Effekt wird auf Kunststoffbänder angewandt, um die Enden
eines Geschenkbandes ansehnlicher zu machen. |
Ich nehme an, dass dieser Effekt wie beim Bimetallstreifen zu erklären
ist.
Beim Bimetallstreifen werden zwei Streifen aus verschiedenen Metallen
aufeinandergeklebt. Erhitzt man den Bimetallstreifen, so dehnt sich ein
Metallstreifen stärker aus, der Bimetallstreifen krümmt sich.
Beim Papierstreifen mag weniger der Temperaturunterschied zwischen Ober-
und Unterseite die Ursache sein. Mit dem Messer wird auf einer Seite die
Oberflächenstruktur verändert. Diese Seite wird "kürzer".
Übrigens krümmt sich ein Papierstreifen auch leicht, wenn
man ihn hoch über eine Kerze hält.
... ... |
Die Bildung von Locken erinnert an ein Kinderspiel: Der untere Teil
des Stängels einer Butterblume (Löwenzahn) wird von unten in
Streifen längs des Stängels geschnitten, der oberer Teil und
die Blüte bleiben unangetastet. Taucht man die Blume ins Wasser und
lässt die Blüte auf der Wasseroberfläche schwimmen, so bilden
die Stängelstreifen nach einiger Zeit Locken. (Vorsicht, Flecken.)
Zur Erklärung: Es dürfte die unterschiedliche Wasseraufnahme
der beiden Oberflächen eines Streifens eine Rolle spielen. |
Spiralen aus Metall top
Spiralfiguren findet man als Verzierungen bei eisernen Fenstergittern,
Zäunen, Toren oder Türen. Man sieht sie überall, wenn man
darauf achtet.
... ... |
Ich fand schöne Spiralen in New Ulm, Minnesota, USA.
Deutschamerikaner errichteten gegen 1900 als Symbol der Freiheit eine
Kopie des Hermannsdenkmals bei Detmold. Eiserne Gitter mit vielen Spiralen
schmücken den Aufgang (Foto).
Mehr über den amerikanischen und deutschen Hermann findet man auf
Wikipedia-Seiten (URL unten).
|
Auch Modeschmuck nimmt die Spirale als
Motiv.
... ...
|
Annettes Schmuckspirale
 |
Spiralen, Spiralen, Spiralen
top
Ammoniten, Anordnung der Sonnenblumenkerne, @, Bimetall-Thermometer,
Bischofsstab, Bretagne-Zeichen, Darm einer Kaulquappe, Diskus von Festós,
Doppelhelix der DNA, Doppelspirale, Doppelwendel der Glühbirne, Elektronenstrahl
im magnetischen Längsfeld, Exner-Spirale, Fadenpendels mit Reibung,
Fingerabdruck, Gehörn von Wildschafen, Gewinde, Schneckenminarett
in Samarra (Irak), Heizdraht in einer Kochplatte, Hoch- oder Tiefdruckgebiete,
Hühnerring, Korkenzieher, Kräuterspirale, Kreise eines Seeadlers,
Lakritzenschnecke, Lebensspirale, Locke, Lohn-Preis-Spirale, Lorenz-Attraktor,
Kopf des Musikinstruments Violine, Musikinstrument Horn, Pendelkörper
des sich überschlagenden Galilei-Pendels, Ranke, Rauchwirbel, rechtsdrehende
Milchsäure, Reliefband der Trajanssäule in Rom oder der Bernwardsäule
in Hildesheim, Rille einer Schallplatte, Rolle (Draht, Faden, Kabel, Schlauch,
Maßband, Papier, Verband), Mohnschnecke, Saugrüssel (Unterkiefer)
des Kohlweißlings, Schlange in Ruhestellung, Schlange des Äskulapstabes,
Schlingpflanzen, Schnecke des Innenohrs, Schneckenhaus, Schnörkel,
Schwanz des Seepferdchens, Schraube, Schraubenalge, Schraubenfeder, Segelflugzeug
aufsteigend, Spinnennetz, Spiralheftung, Spiralnebel, Spirallala, Spirelli-Nudeln,
Spirillen (z.B. Cholerabazillus), Sprungfedern einer Matratze, Spule, Spuren
auf einer CD oder DVD, Stoßzähne des Mammuts, Straße
eines Kegelberges, Tannenzapfen, Teilchenbahn im Zyklotron, Uhrfeder und
Unruh mechanischer Uhren, Violinschlüssel, Volute, Wärmespirale,
Wasserspirale des Archimedes, Wasserstrudel, Wendeltreppe (z.B. zwei Wendeltreppen
in der Glaskuppel des Reichstagsgebäudes in Berlin), Wirbelsturm,
Wissensspirale, Viren, Zapfen von Nadelgewächsen, Zunge und Wickelschwanz
des Chamäleons, Zyklone.
Spiralen im Internet top
Deutsch
Asti
BEWEGUNGSFUNKTIONEN
Spiralen
D.H.O. Braasch
Spiralen
als Symbol der Sonnenbahn
Jürgen Berkemeier
Spiralen
Matheprisma
Bewegungsfunktionen
(Spiralen 1 ) - (Spiralen online zeichnen)
Michael Komma
Fresnel-Beugung
am Einzelspalt (Cornu-Spirale)
Susanne Helbig, Kareen Henkel und Jan Kriener
Spiralen
in Naturwissenschaft, Technik und Kunst
Stephan Jaeckel und Sergej Amboni
Spiralen
in Natur, Technik und Kunst
(Referenz: Heitzer J, Spiralen, ein Kapitel phänomenaler Mathematik,
Leipzig 1998)
Wikipedia
Spirale, Klothoide,
Logarithmische
Spirale, Fibonacci
Folge, Loxodrome,
Ulam-Spirale
Hermannsdenkmal,
Hermann
Heights Monument
Englisch
A Pocket Art Show Production in association with the Pataphysics Department
at the Quantum Mechanics Institute, Keighley
Fraktal
Ayhan Kursat ERBAS
Equiangular
Spiral
Bob Allanson
This is a
logarithmic spiral
David Eppstein (Geometry Junkyard)
Spirals,
(Links)
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Spirals:
Archimedean
Spiral, Circle
Involute, Conical
Spiral, Cornu
Spiral, Curlicue
Fractal, Fermat's
Spiral, Helix,
Hyperbolic
Spiral, Logarithmic
Spiral, Mice
Problem, Nielsen's
Spiral, Polygonal
Spiral, Prime
Spiral, Rational
Spiral, Seashell,
Spherical
Spiral
Hop David (Hop's Gallery)
Riemann sphere,
Ram's
Horn,
Spiral
Tile
Ivars Peterson
Pursuing
Pursuit Curves
Jan Wassenaar
spiral
Jim Bumgardner
A musical realization
of the motion graphics of John Whitney as described in his book "digital
harmony"
John Macnab
Sculptures
Keith Devlin
The Double Helix
Mark Newbold
Counter-Rotating
Spirals Illusion
Richard Parris (peanut Software)
Program WINPLOT
Xah Lee
Equiangular
Spiral, Archimedean
Spiral, Lituus,
Cornu
Spiral
,
Wikipedia
Spiral, Archimedean
spiral, Cornu
spiral, Fermat's
spiral, Hyperbolic
spiral, Lituus,
Logarithmic
spiral,
Fibonacci spiral,
Golden
spiral,
Rhumb line,
Ulam
spiral,
Hermann
Heights Monument,
Hermannsdenkmal
Französisch
Robert FERRÉOL (COURBES
2D )
SPIRALE
COURBES
3D (SPHÉRO-CYLINDRIQUE, SPIRALE CONIQUE DE PAPPUS, SPIRALE CONIQUE
DE PIRONDINI, SPIRALE SPHÉRIQUE)
You can read this page in Haitian
Creole translation.
Referenzen top
(1) Martin Gardener: Unsere gespiegelte Welt, Ullstein, Berlin, 1982
[ISBN 3-550-07709-2]
(2) Rainer und Patrick Gaitzsch: Computer-Lösungen für Schule
und Studium, Band 2, Landsberg am Lech, 1985
(3) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York
/ London (1997) [ISBN 0-393-04002-X]
(4) Khristo N. Boyadzhiev: Spirals and Conchospirals in the Flight
of Insects, The College Mathematics Journal, Vol.30, No.1 (Jan.,1999) pp.23-31
(5) Jill Purce: the mystic spiral - Journey of the Soul, Thames and
Hudson, 1972, reprinted 1992
Ich bedanke mich bei Torsten Sillke für etliche Tipps.
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
Diese
Seite ist auch in Englisch vorhanden.
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2002 Jürgen Köller
top |
