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Was ist ein 3-4-5-Dreieck?
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Das 3-4-5-Dreieck ist ein Dreieck mit den Seitenlängen 3cm, 4cm
und 5cm.
Allgemeiner bezeichnet man jedes Dreieck mit den Seiten 3e, 4e und
5e als 3-4-5-Dreieck, wobei e eine beliebige Einheitsstrecke ist.
Man kann auch fordern: Es muss a:b:c = 3:4:5 gelten.
Auf dieser Seite werden deshalb zweckmäßigerweise Maßeinheiten
weggelassen. |
Da der Satz des Pythagoras
gilt (3²+4²=5²), ist das Dreieck rechtwinklig.
Die folgende Zeichnung veranschaulicht diesen
Sachverhalt.
Größen des Dreiecks
top
Winkel
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Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt für die spitzen Winkel:
sin(alpha)=a/c=4/5 oder alpha=arc sin(4/5), sin(beta)=b/c=3/5
oder beta = arc sin(3/5). |
Angenähert betragen alpha=53,1° und beta=36,9°.
Umkreis und Inkreis
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Der Umkreis wird durch den Halbkreis des Thales gegeben. Der
Radius ist R=c/2=2,5.
Der Inkreis hat den Radius r=1. Der Mittelpunkt liegt an der
Stelle (1|1), wenn man sich ein Koordinatensystem denkt, das durch die
Katheten
erzeugt wird. |
Unten wird allgemeiner die Formel r=(1/2)(a+b-c) hergeleitet, die beim
3-4-5-Dreieck zu r=1 führt.
Übrigens liegt an der Stelle (6|6) der Mittelpunkt eines zweiten
Kreises (Ankreis). Er berührt die die Hypotenuse von außen und
die Verlängerungen der Katheten.
Hypotenusenabschnitte und
Höhe
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Nach dem Kathetensatz ist cp=a². Daraus folgt p=a²/c=16/5.
Nach dem Kathetensatz ist cq=b². Daraus folgt q=b²/c=9/5.
Nach dem Höhensatz ist h²=pq. Daraus folgt h=12/5. |
Fläche und Umfang
Der Flächeninhalt ist A=6, der Umfang
U=12.
Vierecke und 3-4-5-Dreiecke
top
Quadrat im Dreieck
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In ein Dreieck passt ein Quadrat auf zwei verschiedene Arten. Im ersten
Fall ist die Seitenlänge 12/7 (ungefähr 1,7), im zweiten Fall
60/37 (ungefähr 1,6). |
Die Rechnungen erfolgen analog zum 30-60-90-Dreieck
an anderer Stelle meiner Homepage..
Vierecke aus vier Dreiecke top
Vier Kreise im Kreis
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Zeichnet man in einen Kreis nebeneinander zwei halb so große
Kreise ein und füllt die Lücken oben und unten mit zwei weiteren
Kreisen aus, so bilden die vier Mittelpunkte der Kreise eine Raute.
Diese Raute setzt sich aus vier 3-4-5-Dreiecken zusammen. |
Lösung:
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Es gelten nach der Zeichnung die drei Gleichungen r=x+h, r=2y und (x+y)²=h²+y².
Daraus ergeben sich nach Umformungen x=(1/3)r, y=(1/2)r und h=(2/3)r.
Daraus folgt für das Seitenverhältnis: (x+y):h:y=(5/6)r:(2/3)r:(1/2)r
= 5:4:3, w.z.b.w.. |
Satz von Haga top
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Faltet man quadratisches Blatt Papier an der geraden PQ so, dass die
untere Ecke durch Falten oben in den Mittelpunkt einer Seite gelangt, so
entstehen drei rechtwinklige Dreiecke.
Die Dreiecke sind ähnlich und ihre Seiten stehen im Verhältnis
3:4:5. |
Beweis:
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Wegen des Faltvorgangs sind die roten Strecken gleich.
Es gilt x+y=a und nach dem Satz des Pythagoras (a/2)²+x²=y².
Daraus folgt x=(3/8)a und y=(5/8)a.
Somit ist x:(a/2):y=(3/8)a:(a/2):(5/8)a=3:4:5.
Eine Winkelbetrachtung führt zur Ähnlichkeit der drei Dreiecke. |
Knotenschnur top
Das 3-4-5-Dreieck hat eine gewisse Berühmtheit erlangt, da man auch
in Schulbüchern immer lesen kann, dass schon die alten Ägypter
das Dreieck kannten. Sie fertigten eine Knotenschnur mit Knoten in gleichen
Entfernungen an. Wenn nach den Überschwemmungen des Nils der Fluss
wieder zurückgewichen war und die verwüsteten, aber fruchtbar
gewordenen Felder wieder freigab, legten die Bauern die Knotenschnur in
Form von rechtwinkligen Dreiecken aus und konnten so in jedem Jahr
gleich große, rechteckige Felder reproduzieren.
Martin Gardner ist in seinem Buch (2) der Frage nachgegangen, was da
dran ist. Er berichtet, dass nur sicher ist, dass die ägyptischen
Tempelbauer bei der Fundamentlegung Seile verwendeten [Abb. in Buch (3)].
Aber kein einziges Schriftstück unterstützt die Vermutung, dass
dabei 3-4-5-Dreiecke eine Rolle spielten.
Er bemerkt, dass die Geschichte erst um 1900 aufkam und wohl auf den
deutschen Forscher der Geschichte der Mathematik, Moritz Cantor, zurückgeht.
Dieser wies darauf hin, dass den alten Ägyptern möglicherweise
eine Schnur mit Knoten bekannt war.
Nach Buch (4) geht die Legende schon auf den griechischen Gelehrten
Herodot (484 v.Chr. - 430 v.Chr.) zurück.
Meine Meinung: Man sollte diese schöne Geschichte den Schülern
weiterhin erzählen, doch vielleicht ein Vielleicht einflechten.
Darstellung Pythagoräischer
Zahlen top
Das Besondere am 3-4-5-Dreick ist, dass die Seitenlängen ganzzahlig
sind (und dass es rechtwinklig ist). Dreiecke mit diesen Eigenschaften
heißen Pythagoräische Dreiecke und die drei Maßzahlen
der Seiten heißen Pythagoräische Zahlen.
Weitere Pythagoräische Tripel sind 5-12-13, 8-15-17 oder auch
15-112-113.
Über diese Zahlen ist schon viel geschrieben worden, gehen sie
doch auf Euklid (um 300 AC) zurück, der sie in seinen "Elementen"
beschrieb.
Bei der Definition des 3-4-5-Dreiecks wurde schon angemerkt, dass auch
Dreiecke dazugehören, deren Seiten Vielfache von 3-4-5 wie zum Beispiel
6-8-10 oder 9-12-15 sind. Man kann die Pythagoräischen Zahlen in Klassen
einteilen mit je einem Repräsentanten, der keine gemeinsamen Teiler
mehr hat. Diese Repräsentanten heißen primitive Tripel.
Will man alle Zahlen a-b-c erfassen, so gibt man
üblicherweise zwei Parameter m und n mit m>n>0 vor und setzt a=2mn,
b=m²-n² und c=m²+n². Für die ersten Zahlen m=2
bis m=6 und n<m erhält man die folgenden Ergebnisse.
Man erhält neben den primitiven Tripeln (rot) auch Zahlen, die gemeinsame
Faktoren haben, also eigentlich unerwünscht sind.
Wie kommt man zu der Parameterdarstellung oben und zu einer Darstellung
nur der primitiven Tripel?
Das Tripel a-b-c sei Pythagoräisch und primitiv.
>a, b und c haben keinen gemeinsamen Faktor. Es genügt, dass z.B.
a und b keinen gemeinsamen Faktor haben, denn wegen c²=a²+b²
hat c dann auch diesen Faktor.
>a und b sind nicht beide gerade.
Denn wegen c²=a²+b² ist dann auch c gerade. Das ist
ein Widerspruch zur Aussage, dass das Tripel a-b-c primitiv ist.
>a und b dürfen nicht beide ungerade sein.
Angenommen, sie sind beide ungerade, es gelte also a=2x+1 und b=2y+1.
Dann ist c²=a²+b²=(2x+1)²+(2y+1)²=4(x²+x+y²+y)+2.
Dividiert man c² durch 4, so erhält man den Rest 2.
Andererseits ist c² danach gerade, c²=2z. Dann muss aber
z und damit c gerade sein, das heißt, dass sich der Rest 0
ergibt, wenn man c² durch 4 dividiert.
Das ist ein Widerspruch.
Angenommen, b sei ungerade (b=2y+1). Dann ist a gerade (a=2x) und wegen
c²=a²+b²=4y²+4x²+4x+1=4z+1 die Zahl c ungerade.
Aus a²+b²=c² folgt a²=b²-c²=(b+c)(b-c).
Dann ist b+c =2y+4z+2=2(y+2z+1) und b-c = 2y-4z=2(y-2z). Die Zahl 2
ist der einzige gemeinsame Faktor, sonst wären b und c gerade.
Danach sind (b+c)/2 und (b-c)/2 ganze Zahlen und wegen a²=(b+c)(b-c)
sogar Quadratzahlen.
Also muss gelten c+b=2m² und c-b=2n².
>Daraus folgt b=m²-n² und c=m²+n², weiter a=2mn.
Das ist die Darstellung oben.
Einschränkungen für m und n
>m und n sind nicht gleichzeitig gerade.
Angenommen, m=2x und n=2y. Dann sind auch a=2mn=8xy und b=m²-n²=4(x²-y²)
gerade. Das ist ein Widerspruch.
>m und n sind nicht gleichzeitig ungerade.
Angenommen, m=2x+1 und n=2y+1, Dann sind a=2mn und auch b=m²-n²=4z
gerade. Das ist ein Widerspruch.
>a und b dürfen keinen gemeinsamen Faktor haben. Das gilt auch
für m und n.
Ergebnis:
Fordert man also, dass m>n>0 ist und m und n nicht gleichzeitig gerade
oder ungerade sind und keinen gemeinsamen Faktor haben, so werden durch
die Darstellung a=2mn, b=m²-n² und c=m²+n² alle primitiven
Pythagoräischen Zahlen erzeugt.
Zwei Eigenschaften
Pythagoräischer Zahlen top
Gerade Zahl erzeugt Pythagoräische Tripel
Gibt man eine beliebige gerade Zahl vor, z.B. 8, so sind a=2*8, b=8²-1
und c=8²+1 Pythagoräische Zahlen. Das ist das Tripel 16-63-65.
Diese Konstruktion gelingt bei jeder geraden Zahl. In der Formelsprache
heißen die Zahlen 2g, g²-1 und g²+1, wenn g gegeben wird.
Es gilt (2g)²+(g²-1)²=(g²+1)².
Auf diese Weise erhält man nur eine Auswahl Pythagoräischer
Zahlen.
Inkreisradius ist ganzzahlig
Im 3-4-5-Dreieck ist der Radius des Inkreises gleich 1, also auch ganzzahlig.
Das ist kein Zufall. Alle Radien in Pythagoräischen Dreiecken sind
nämlich ganzzahlig.
Beweis:
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Das nebenstehende Dreieck sei ein Pythagoräisches Dreieck. Der
Flächeninhalt ist gleich A=(1/2)ab. Man kann ihn auch mit Hilfe der
farbigen Dreiecke bestimmen: A=(1/2)ar+(1/2)br+(1/2)cr =(1/2)r(a+b+c).
Daraus folgt r=2A/(a+b+c)=ab/(a+b+c). Setzt man b=sqr(c²-a²)
ein, so ergibt sich nach längerer Umformung r= (1/2)(a+b-c).Im letzten
Kapitel wurde gezeigt, dass eine Kathete immer gerade, die andere ungerade
und die Hypotenuse ungerade ist. Dann ist der Term a+b-c gerade und somit
r ganzzahlig. |
Das 3-4-5-Dreieck im
Internet top
Deutsch
Faust-Gymnasium Staufen (H.B.Meyer )
Pythagoräische
Tripel
Horst Steibl
Der Satz
von Haga (.ppt-Datei)
Spektrum der Wissenschaft, Mai 1997, Seite 10
Das
Verfahren von Franz Gnädinger zur Berechung von PI
Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Pythagoräische
Zahlentripel
Wikipedia
Pythagoreisches
Tripel
Englisch
Alexander Bogomolny (cut-the-knot)
Pythagorean
Triples, The
Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples
Antony Galton
construct
a 3:4:5 triangle
Eric W. Weisstein (World of Mathematics)
Pythagorean
Triple, Right
Triangle
Jim Loy
The 3-4-5 Right Triangle
In Ancient Egypt
Kelley L. Ross, Ph.D.
Pythagorean Triplets
L. N. Hammer
How to Generate
Pythagorean Triplets
mathpuzzle.com
The Pythagoras
Figure
Wkipedia
Pythagorean
triple
Referenzen top
(1) Heinrich Behnke u.a. (Hrsg.): Mathematik 1 (Das Fischer Lexikon
29/1), Frankfurt a.M. 1964 (Seite 90)
(2) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig/Wiesbaden,
1979 (ISBN 3-528-08402-2) (Seite 145f.)
(3) W.Gellert (Hrsg.): Mathematik, Leipzig 1986 (Abbildung in Anhang,
Seite 9)
(4) Peter Baptist: Pythagoras und kein Ende? Leipzig 1998 (Seite
40)
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