Potenzzahlen
Inhalt dieser Seite
Was ist eine Potenzzahl? 
Umwandlungen
Besondere Potenzen
Große Zahlen
Potenzen mit dem Taschenrechner
Große Primzahlen
Potenzen als Stufenzahlen
Teilmengen einer Menge
Bemerkung zu den Potenzen a^1 und a^0
Summe von Potenzen
Zahlenspielereien
Potenzzahlen im Internet
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist eine Potenzzahl? 

......
Eine Potenzzahl ist eine natürliche Zahl p, die man als Produkt aus mindestens 2 gleichen Faktoren schreiben kann.


...... Ist der Faktor a und ist die Anzahl der Faktoren n, so schreibt man die Zahl p als Potenz, nämlich p=an oder auch p=a^n. 
Aus dem Faktor wird die Grundzahl oder die Basis, aus der Anzahl wird die Hochzahl oder der Exponent.

Zahlenbeispiel
 
... Die Zahl 1.157.625 ist eine Potenzzahl, denn sie lässt sich als Potenz schreiben, 1.157.625 = 1053.

Im Englischen heißen die Potenzzahlen Perfect Powers und im Deutschen auch - vielleicht in Anlehnung an die englische Bezeichnung - Perfekte Potenzen. 
Auf dieser Webseite habe ich das zusammengestellt, was ich zu Potenzzahlen interessant fand. 


Die Potenzzahlen bis 1000   top
 
...... Das sind 14*3-1 = 41 von 1000 Zahlen. Damit sind 4,1% der Zahlen Potenzzahlen. 


Zu der Anzahl A=41 bis 1000 gelangt man auch über die Potenzen mit einer Primzahl als Hochzahl.
Primzahl 2:
Primzahl 3:
Primzahl 5:
Primzahl 7:
2^2, 3^2, 4^2, ..., 30^2, 31^2
2^3, 3^3, 4^3, 5^3, 6^3, 7^3, 8^3, 9^3, 10^3
2^5, 3^5
2^7
Das sind 30 Zahlen.
Das sind 9 Zahlen.
Das sind 2 Zahlen.
Das ist eine Zahl.

Addiert man die Potenzen, so gelangt man zu der zu großen Summe 42. Das liegt daran, dass man die Potenzen 8^2 = 4^3 und  27^2 = 9^3 doppelt gezählt hat. Also ist die Summe 40. Berücksichtigt man noch die Eins, erhält man die Anzahl 41, was zu zeigen war.

Hinter dieser Methode steht das Einschluss-Ausschluss-Verfahren, eine Methode aus der Mengenlehre. Für zwei Mengen heißt die Formel:
Sie bedeutet: Die Anzahl der Elemente einer Vereinigungsmenge bestimmt man, indem man die Anzahl der Elemente der Menge A und die Anzahl zu B addiert und die Anzahl der Elemente der Vereinigungsmenge subtrahiert. Durch die Subtraktion wird sicher gestellt, dass die Elemente, die sowohl in A als auch in B sind, nicht doppelt gezählt werden.
Danach ist die Anzahl der Potenzen bis 1000 ohne Eins A(2)+A(3)+A(5)+A(7)-A(2*3) = 30+9+2+1-2 = 40.
Näheres zum Prinzip von Inklusion und Exklusion findet man auf der Seite von de.wikipedia (URL unten).
(Anmerkung von Torsten Sillke)

Für die Anzahl der Potenzzahlen bis 10^n gibt OEIS unter http://oeis.org/A070428 an: 1, 4, 13, 41, 125, 367, 1111, 3395, 10491, 32670, ...

Umwandlungen   top
Von der Potenz zur Potenzzahl
Das wird am Beispiel 424 erklärt.
> Man berechnet 42*42*42*42 schriftlich.
> Steht ein Taschenrechner zur Verfügung, gibt man z. B. beim TI 30 die Tastenfolge [42 yx 4 =] ein. Es gilt 424 = 3.111.696.


Von der Potenzzahl zur Potenz
Das wird am Beispiel 1.157.625 erklärt.
> Man zerlegt die Zahl in Primfaktoren, wobei die Teilbarkeitsregeln hilfreich sind, 1157625 = 33*53*73. Es gilt nach einem Potenzgesetz 33*53*73= (3*5*7)3 und somit ist 1.157.625 = 1053.
> Steht ein Taschenrechner zur Verfügung, so kann man die Hoffnung haben, dass die Hochzahl klein ist. 
Man gibt in den TR [1157625 yx (1/n)] (n=2,3,4,...) ein und stellt bei dieser Zahl erfreut fest, dass schon [1157625 yx (1/3)] eine Potenzzahl ist, nämlich 105. 

Besondere Potenzen  top
Primzahlpotenzen
Das sind Potenzen der Form p=qn, wobei q eine Primzahl und n eine natürliche Zahl ist.
...... Unter den ersten 1000 Zahlen sind 25 Zahlen Potenzen von Primzahlen mit einer Hochzahl >1. 

Dazu kommen noch (bis 1000) die 17*10-2 = 168 Primzahlen selbst mit der Hochzahl 1.
    002    003    005    007    011    013    017    019    023    029 
    031    037    041    043    047    053    059    061    067    071 
    073    079    083    089    097    101    103    107    109    113 
    127    131    137    139    149    151    157    163    167    173 
    179    181    191    193    197    199    211    223    227    229 
    233    239    241    251    257    263    269    271    277    281 
    283    293    307    311    313    317    331    337    347    349 
    353    359    367    373    379    383    389    397    401    409 
    419    421    431    433    439    443    449    457    461    463 
    467    479    487    491    499    503    509    521    523    541 
    547    557    563    569    571    577    587    593    599    601 
    607    613    617    619    631    641    643    647    653    659 
    661    673    677    683    691    701    709    719    727    733 
    739    743    751    757    761    769    773    787    797    809 
    811    821    823    827    829    839    853    857    859    863 
    877    881    883    887    907    911    919    929    937    941 
    947    953    967    971    977    983    991    997  


Das bedeutet, dass bis 1000 16,8% der Zahlen Primzahlen sind und 19,3% Primzahlpotenzen.

Quadratzahlen haben die Hochzahl 2.
...... Unter den ersten 1000 Zahlen sind 31 Zahlen Quadratzahlen, nämlich 12 = 1 bis 312 = 961.
Mehr auf meiner Webseite Quadratzahlen

Kubikzahlen haben die Hochzahl 3.
...... Unter den ersten 1000 Zahlen sind sechs Zahlen Kubikzahlen, nämlich 13 = 1 bis 103 = 1000.

Mehr auf meiner Webseite Kubikzahlen

Zweierpotenzen haben die Grundzahl 2.
...... Unter den ersten 1000 Zahlen sind zehn Zahlen Potenzen der Zahl 2, nämlich 20 = 1 bis 29 = 512.

Große Zahlen     top
Große Zahlen können im Dezimalsystem beliebig lang werden. Eine Eins mit 100 Nullen z.B. braucht viel Platz.
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000. 
Da ist die Darstellung als Potenz, nämlich 10100 oder 10^100, angebracht. 


Als Beispiel einer großen Zahl habe ich nicht zufällig die Zahl 10^100 ausgewählt. Der amerikanische Mathematiker Edward Kasner prägte für sie 1920 den Namen Googol, der populär geworden ist und der es zu einer eigenen Wikipedia-Seite gebracht hat (URL unten). 
Nach der Seite https://en.wikipedia.org/wiki/Google_(verb)#Etymology ist daraus nicht der Name der Suchmaschine Google hervorgegangen, was eigentlich naheliegend wäre.
Dr. Francis Googol, great-great-great-grandson of Francis Drake, in Buch (1) geht (natürlich) auf die Zahl Googol zurück.

Man benennt große Zahlen mit Tausend, Million, Milliarde, Billion und Billiarde. Dabei ist jede dieser Zahlen um den Faktor 1000 größer als die vorherige. Man hat nicht das Bedürfnis, sich auf noch größere Zahlen einzulassen, einfach, weil sie unanschaulich werden und weil sie im praktischen Leben kaum vorkommen. Immerhin hat 1 Billiarde nach der Eins schon 15 Nullen.
Meinetwegen, man hat sich Namen für noch größere Zahlen überlegt. Auf der Webseite Zahlennamen von Wikipedia (URL unten) wird ein Schema mit Namen noch größerer Zahlen vorgestellt. Die größte Zahl auf der Webseite ist 1 Duzentilliarden = 10^1203.

Dummerweise gibt es in der englischsprachigen Welt für große Zahlen andere Namen.
Im Amerikanischen (genauer in U.S., English Canada, Australia, and modern British) heißt die Reihe 
Thousand, Million, Billion, Trillion und Quadrillion.

Mir gefällt,  dass man einer nicht näher definierten, sehr großen Fantasiezahl den Namen eine Zillion gegeben hat.

Potenzen mit dem Taschenrechner     top
Als Taschenrechner wähle ich den weit verbreiteten TI-30Xa Solar.
Er hat im Display 10 Felder. Damit ist 9.999.999.999 die größte Zahl, die angezeigt werden kann. 
Sie wird gelesen als 9 Milliarden 999 Millionen 999 Tausend und 999.
Da im Englischen der Punkt als Dezimalpunkt vergeben ist, schreibt man stattdessen 9,999,999,999.


Größere Zahlen als  9.999.999.999 werden im Rechner auch angezeigt, dann aber in der Exponentialform oder wissenschaftlichen Form und dann oft gerundet. Berechnet man eine Potenz mit [10 yx 99 =], so wird das Ergebnis mit der Eins vorne und den folgenden 99 Nullen dargestellt als 1.99, zu verstehen als 1099. Gibt man [10 yx 100 =] ein, so erscheint im Display Error. Die Zahl ist für den Taschenrechner zu groß. Der Exponent darf nur ein- oder zweistellig sein. 

In der wissenschaftlichen Darstellung werden Zahlen durch eine Dezimalzahl (oder Mantisse) und einen Exponenten angegeben. 
Soll z.B. die Zahl 1234 in der wissenschaftlichen Form angezeigt werden, drückt man [2nd SCI 1234 =].
Dann  erscheint 1.234 03, zu verstehen als  1,234*103. - Die übliche Darstellung wird reaktiviert mit 2nd FLO.

Will man eine Zahl, die in der wissenschaftlichen Form vorliegt, eingeben, tippt man nacheinander die Mantisse, und den Exponenten ein, getrennt von der Taste EE. Für die Eingabe von 1,234*103 drückt man [1.234 EE 3]. Mit [2nd FLO] gelangt man in die übliche Darstellung.

Die Mantisse ist eine Dezimalzahl und kann bis zu 9 Dezimalen haben. Will man die Zahl 1.123456789 03 auf 2 Stellen genau angeben, gibt man noch [2nd Fix 2] ein. Es erscheint 1123.46. 


...... EE hat eine eigene Taste.
Hinter den Zifferntasten 4, 5 und dem Dezimalpunkt verstecken sich FLO, SCI und FIX.

Große Primzahlen top
Die Zahlen 2n-1 heißen Mersenne-Zahlen. Sie sind von Interesse, weil man unter ihnen die größten Primzahlen findet.
Für n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127 ergeben sich Primzahlen. 
Die zur Zeit (Februar 2017) größte bekannte Primzahl ist 2274.207.281-1. Sie hat 22.338.618 Stellen.
Mehr auf meiner Seite Turm von Hanoi


Potenzen als Stufenzahlen     top
Zehnerpotenzen als Stufenzahlen
Zehnerpotenzen sind Potenzen mit der Grundzahl 10. Wir stellen mit ihnen die Zahlen dar. 
So werden dazu in der Dezimalbruchschreibweise z.B der Zahl 542.607 die einstelligen Zahlen unterschiedlich bewertet. 
Es gilt 542.607 = 5*105+4*104+2*103+6*102+0*101+7*100.


Zweierpotenzen als Stufenzahlen
Man kann z.B. die Zahl 39=3*10+9 auch im Zweiersystem darstellen. 
Dazu zerlegt man sie in eine Summe aus Zweierpotenzen (39 = 1+2+4+32) und kennzeichnet die vorkommenden Zweierpotenzen in einer Tabelle durch eine Eins.
...
...
256er
0
128er
0
64er
0
32er
1
16er
0
8er
0
4er
1
2er
1
Einer
1
Man liest die Darstellung im Zweiersystem ab, 39 = (100111)2.
Die Zweierpotenzen heißen Stufenzahlen so wie die Zehnerpotenzen im Dezimalsystem. 

Mehr auf meiner Seite Zweiersystem

Teilmengen einer Menge       top
Gegeben ist die Menge M = {a,b,c} aus drei Elementen.
Sie hat die Teilmengen 
{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}. Das sind 8 Teilmengen.

Gegeben ist die Menge M = {a,b,c,d} aus vier Elementen.
Sie hat die Teilmengen 
{}, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}. Das sind 16 Teilmengen.


Verallgemeinerung
Satz: Eine Menge von n Elementen hat 2n Teilmengen.

Beweis dieser Aussage durch vollständige Induktion
Die Aussage gilt für n=3 und n=4.
Angenommen, die Aussage gilt für n Elemente.
Dann ist zu zeigen, dass eine Menge von n+1 Elementen 2n+1 Teilmengen hat.
Geht man von einer Menge mit 2n Teilmengen aus, so kommt noch zu jeder dieser Teilmengen ein Element hinzu. So gibt es doppelt so viele Teilmengen wie bei der Menge mit n Elementen. Das führt zu 2*2n = 2n+1=Teilmengen, wzbw..


Bemerkung zu den Potenzen a^1 und a^0    top
Nach der Definition der Potenzzahl oben ist die Hochzahl als Anzahl mindestens gleich 2. 
Die Potenzen a0 und a1 sind definiert als a0 = 1 und a1 = a. Die Zahl a=0 ist nicht zugelassen.
Herleitung
Man betrachtet die Folge a5, a4, a3, a2.
Dividiert man jedes Glied durch die Grundzahl a, so erhält man a4, a3, a2, a. Das führt zu a1=a.
Man betrachtet die Folge a4, a3, a2, a.
Dividiert man jedes Glied durch die Grundzahl a, so erhält man a3, a2, a, 1. Das führt zu a0=1.
Diese Methode wird als Permanenzprinzip bezeichnet, von bekannten Potenzen gelangt man zu unbekannten.


Setzt man a=0, so gilt 01= 0 und 00 = 0. Somit haben zwei Potenzen mit gleicher Grundzahl denselben gleichen Wert 0. 
Man löst diesen Widerspruch auf, indem man  01= 0 festlegt und 00 nicht definiert.
So zeigt auch der TI-30Xa Solar nach Eingabe von [0 yx 0=] im Display Error.


Google Rechner
Trotzdem gibt es Rechner, die der Potenz 00einen Wert zuordnen, nämlich 00 = 1.
Streng mathematisch gesehen steht das im Widerspruch zu 10 = 1.
Doch es mag Bereiche geben, wo es zweckmäßig ist, 00 trotzdem zu definieren. 
[Siehe Kapitel Null hoch Null auf der Wikipedia-Seite Potenz (Mathematik) (URL unten)]

......
f(x)=xx für x>0
Jürgen Wagner hat diese Webseite gefunden und schreibt zum Problem 00 = 1?:
Der Graph der Funktion f mit f(x)=x^x könnte anschaulich zum Wert 1 verleiten, da f doch für x gegen 0 gegen 1 zu konvergieren scheint. Allerdings erkennt man nach der Umformung f(x) = x^x = e^(x*ln x), dass f für x=0 nicht definiert werden kann.

Sucht man bei Google mit "x hoch x grenzwert", gelangt man zu mehreren Beweisen zu lim(x^x) = 1 für x gegen +0.

Zahlenspielereien top
Eine Gleichung
Die Gleichung x^y = y^x hat nur die Lösung x = 2 und y = 4.


666
Es gibt auch Darstellungen in Potenzen der bekannten Zahl der Zahlenmystik.
 
666 = 1^6-2^6+3^6 666 = 6+6+6+6^3+6^3+6^3 666 = 2²+3²+5²+7²+11²+13²+17² 

(1), Mehr auch auf meiner Webseite Römische Ziffern


Apocalyptic Number
Die Zahl 2^157 ist eine apokalyptische Zahl, denn sie enthält die Ziffernfolge 666.
2^157 = 182.687.704.666.362.864.775.460.604.089.535.377.456.991.567.872
Weitere Zahlen sind 2^157, 2^192, 2^218, 2^220, ...  (http://oeis.org/A007356)

Potenzen und Quersumme
153=13+53+33
370=33+73+03
371=33+73+13
407=43+03+73
1634=14+64+34+44
8208=84+24+04+84
9474=94+44+74+44
54748=55+45+75+45+85
92727=95+25+75+25+75
54748=55+45+75+45+85
92727=95+25+75+25+75
93084=95+35+05+85+45
4150=45+15+55+05
4151=45+15+55+15
3435=33+44+33+55

512=(5+1+2)³ 
4913=(4+9+1+3)³ 
5832=(5+8+3+2)³ 
17576=(1+7+5+7+6)³ 
19683=(1+9+6+8+3)³ 
81=(8+1)2
2401=(2+4+0+1)4
...
20047612231936=(2+0+0+4+7+6+1+2+2+3+1+9+3+6)8

(8+1)²=81 (20+25)²=2025 (30+25)²=3025 (98+01)²=9801

Näheres auf meiner Webseite Quersumme

Vierte Potenzen
Die Webseite THE ON-LINE ENCYCLOPEDIA OF INTEGER SEQUENCES, gegründet von N.J.A.Sloane, ist eine Fundgrube für  Zahlenfolgen aller Art. Darunter sind auch viele Folgen mit Potenzen.
Es folgt eine kleine Auswahl einfacher Zahlenfolgen, die sich nur auf die Folge der vierten Potenzen beziehen. 
1
Folge der vierten Potenzen mit der Darstellung a(n) = n^4
Die ersten zehn Glieder sind 0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561.
Quelle: http://oeis.org/A000583

2
Reihe zur Folge des vierten Potenzen mit der Darstellung  a(n) =0^4+1^4+2^4+3^4+...+n^4
Das sind die ersten zehn Glieder: 0, 1, 17, 98, 354, 979, 2275, 4676, 8772, 15333. 
Quelle: http://oeis.org/A000538

3
Folge mit a(n) = n^4 + 1
Das sind die ersten zehn Glieder: 1, 2, 17, 82, 257, 626, 1297, 2402, 4097, 6562.
Quelle: http://oeis.org/A002523

4
Folge mit a(n) = n^4 - 1
Das sind die ersten zehn Glieder:  0, 15, 80, 255, 624, 1295, 2400, 4095, 6560, 9999.
Quelle: http://oeis.org/A123865

5
Folge der Summe zweier vierter Potenzen x^4+y^4.
Beipiele: a(1) = 2 = 1^4+1^4, a(5) = 97 = 2^4+3^4
Das sind die ersten zehn Glieder: 2, 17, 32, 82, 97, 162, 257, 272, 337, 512.
Quelle: http://oeis.org/A003336

6
Folge der Summe dreier vierter Potenzen x^4+y^4+z^4.
Das sind die ersten zehn Glieder: 3, 18, 33, 48, 83, 98, 113, 163, 178, 243.
Beispiel: a(6) = 1^4+2^4+3^4 = 98
http://oeis.org/A003337

7
Primzahlen mit p=x^4
Das sind die ersten zehn Glieder: 16, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, 130321, 279841, 707281.
Quelle: https://oeis.org/A030514

8
Folge der Primzahlen mit p=x^4 + y^4.
Beispiel: a(3) = 97 = 2^4+3^4
Das sind die ersten zehn Glieder: 2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657.
Quelle: http://oeis.org/A002645

9
Folge der Primzahlen mit p = (x^4 + y^4)/2
Beispiel: a(1) = 41 = (1^4+3^4)/2 
Das sind die ersten zehn Glieder: 41, 313, 353, 1201, 3593, 4481, 7321, 8521, 10601, 14281.
Quelle: http://oeis.org/A002646

10
Folge der Zahlen, deren Summe der 4.Potenzen ihrer Primfaktoren eine Primzahl ist
Das sind die ersten zehn Glieder: 6, 10, 12, 14, 22, 34, 38, 40, 45, 46,
Beispiel: a(9) = 45, 45 = 3*3*5, 3^4+3^4+5^4 = 787. Die Zahl 787 ist eine Primzahl.
Quelle: https://oeis.org/A134620

11
Folge der Summe der vierten Potenzen ihrer Ziffernwerte
Das sind die ersten 15 Glieder:  0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 1, 2, 17, 82, 257.
Beispiel: a(14) = 1^4+3^4 = 82
Quelle: http://oeis.org/A055013

12
Folge der Zahlen, die in mehrfacher Weise die Summe zweier vierter Potenzen sind 
Das sind die ersten 5 Glieder: 635318657, 3262811042, 8657437697, 10165098512, 51460811217.
1. Beispiel: a(1) = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4.         2. Beispiel: a(2) = 7^4 + 239^4 = 157^4 + 227^4. 
Quelle: https://oeis.org/A018786

Potenzzahlen im Internet        top

Deutsch

HELMUT RICHTER, BERNHARD SCHIEKEL
POTENZSUMMEN, BERNOULLI-ZAHLEN UND EULERSCHE SUMMENFORMEL   (.pdf-Datei)

K. P. RYBAKOWSKI  (UNIVERSITÄT ROSTOCK)
KURIOSES UBER ZWEIERPOTENZEN

Matheplanet
Diskussion eines  Java-Programms

M. Rheinländer  (Universität Konstanz)
Potenzzahlen gegen Primzahlen

Wikipedia
Potenz (Mathematik), Prinzip von Inklusion und Exklusion Googol, Potente ZahlPrimzahlpotenz, Mersenne-Zahl, Zahlennamen, Faulhabersche Formel
Liste besonderer ZahlenVorsätze für Maßeinheiten

Englisch

Eric W. Weisstein   (MathWorld)
Perfect PowerEulers Sum of Powers Conjecture

Jean-Charles Meyrignac
Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers

OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences)
A001597  (Perfect powers: m^k where m > 0 and k >= 2)
A001597 as a graph
A070428  (Number of perfect powers (A001597) not exceeding 10^n)
A117453  (Perfect powers in more than one way)
A070265  (Odd powers: numbers n = m^e with e > 1 odd)
A072103  (Sorted perfect powers a^b for a, b > 1 with duplication)
A001694  (Powerful numbers, definition (1): if a prime p divides n then p^2 must also divide n)

Wikipedia
Perfect powerPrime powerExponentiation, Inclusion-exclusion principleGoogol, Names of large numbers
Faulhaber's formula, List of notable numbersUnit prefix


Referenzen   top
(1) Clifford A. Pickover: Wonders of Numbers, New York, 2001.


 Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  Februar 2017 Jürgen Köller

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