Was ist ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck?

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Wenn man ein Quadrat durch eine Diagonale halbiert, entsteht ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck. Es hat somit einen rechten Winkel und zwei gleich lange Seiten.

Andere Namen sind 45-90-45-Dreieck oder Halbquadrat. 

Größen des Dreiecks    top
Größen sind die Hypotenuse AB, die Katheten AC und BC, die Höhe h, der Flächeninhalt A, der Umfang U, der Radius R des Umkreises und der Radius r des Inkreises. 
Ist z.B. die Hypotenuse a gegeben, so lassen sich die übrigen Größen berechnen.

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Die Katheten sind gleich sqr(2)/2*a, die Höhe ist  h=a/2.  Die Höhe teilt das Dreieck in wiederum gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Der Flächeninhalt ist A=a²/4. Der Umfang ist U=[1+sqr(2)]*a.

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Ganz links sind der Umkreis und der Inkreis des Dreiecks eingezeichnet.  Man sieht leicht ein, dass der Umkreis den Radius R=a/2 hat.  Zur Berechnung des Inkreisradius muss man etwas ausholen:  Es gelten die Beziehungen x=sqr(2)*r und CD=(1/2)a. Weiter ist CD = x + r.  Setzt  man CD und x ein, erhält man (1/2)a = sqr(2)*r + r.  Der Radius r wird isoliert, der Nenner wird rational gemacht. Es ergibt sich r=(1/2)[sqrt(2)-1]a.

Folgen von Dreiecken   top

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Zeichnet man in den Winkelraum eines 45°-Winkels eine Zick-Zack-Linie, so entstehen gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke.  Gibt man die vertikale Strecke mit a1=a vor, so bilden die "Sprossen" die geometrische Folge a1=a, a2=a/sqr(2), a3=a/[sqr(2)]², a4=a/[sqr(2)]³, ....  Die dazugehörige Summe, also die geometrische Reihe, hat den Grenzwert [2+sqr(2)]*a. Das ist ungefähr gleich 3,4*a.

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Eine Vertikale, eine Horizontale und die dazugehörigen Winkelhalbierenden bilden eine Geradenkreuzung aus vier Geraden.  In diese Figur kann man einen Streckenzug einzeichnen, der die Form einer Spirale hat.  Er wird aus den gleichen Strecken wie die Zickzacklinie oben gebildet. Die Länge der Spirale nähert sich wie oben [2+sqr(2)]*a.

Körper aus Dreiecken    top
Drei gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke bilden eine unten offene dreieckige Pyramide. Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck.
Diese Pyramide kommt in einem Würfel vor, wie das folgende Stereobild zeigt. Das Bild zeigt zwei Pyramiden dieser Art.

Klappt man die grüne Pyramide nach oben und legt sie auf die blaue Pyramide (gleichseitiges Dreieck auf gleichseitiges Dreieck), so erhält man eine Doppelpyramide. Dieser Körper wird von sechs gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken begrenzt. 

Tangram-Puzzles     top
Klassisches Tangram

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Teilt man ein Quadrat in 16 Quadrate und zeichnet die Diagonalen ein, so entstehen 32 gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Bestimmte Dreiecke fasst man zu den sieben  "Tangramstücken" zusammen.

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Aufgabe ist es, aus diesen "Steinen" neue Figuren zu legen. Mehr findet man auf meiner Tangram-Seite an anderer Stelle. 

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Zeichnet man in ein Quadrat die Diagonalen und die Mittellinien ein, so entstehen acht gleichschenklig-rechtwinklige Dreiecke. Aus ihnen kann man neue Figuren legen.  Dieses Puzzle heißt Oktagram (6).

Farbquadrate   top

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Ein attraktiver Gegenstand für Spielereien ist der Satz Farbwürfel von Mac Mahon. Das sind die Würfel, die auf den Seitenflächen sechs verschiedene Farben in allen Kombinationen haben. Links ist ein Würfel dargestellt. Will man vom Würfel auf Quadrate zurückgehen, müsste man konsequenterweise den Quadratseiten vier Farben geben (2). Diese Färbung erweitert man besser auf die gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecke, die den Seiten anliegen (3, 4).

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Es gibt sechs verschiedene Farbquadrate mit vier verschiedenen Farben.

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Das Würfelproblem von Mac Mahon lautet für Quadrate: Man greife ein Quadrat heraus und baue aus vier der fünf übrigen Quadrate  ein doppelt so großes Quadrat mit gleichen Farben außen. Innen sollen gleiche Farben aufeinander treffen.  Links wird eine Lösung dargestellt. Das Spiegelquadrat zum ersten Quadrat bleibt zurück.

Geodreieck    top

Anfang der 1950iger Jahre bereiste ein Vertreter aus Hannover die Volksschulen um ein neues Zeichengerät anzupreisen. Er wies auf die folgenden Fähigkeiten hin: Man kann bequem >>Strecken halbieren, >>Senkrechte und Parallelen zeichnen, >>Winkel zeichnen. Man sparte andere Zeichendreiecke ein und m.E.auch den Zirkel. Das Geodreieck war allerdings anfangs ziemlich teuer. Er legte eine Referenzliste von Schulen vor, die das Dreieck schon eingeführt hatten. Darunter waren viele Berufsschulen.

Für das Gymnasium war das Geodreieck eigentlich überflüssig, da im Unterricht (der Euklidischen Geometrie folgend) nur konstruiert, also mit Zirkel und Lineal gezeichnet wurde. Doch die Schüler fanden schnell heraus, dass das Konstruieren umständlich war und das Zeichnen mit dem Geodreieck fixer ging. So benutzten sie es heimlich beim Anfertigen von Hausaufgaben.
Erst als später in den Klassen 5 und 6 vermehrt Geometrieunterricht vorgeschrieben wurde und das Geodreieck in jeder Familie vorhanden war, gaben auch die Puristen unter den Lehrern nach. Das Geodreieck wurde als Zeichengerät des Gymnasiums toleriert und später eingeführt. Es wurde jedoch von Lehrerseite immer wieder betont, dass das Zeichnen mit dem Geodreieck nur ein Ersatz für das Kontruieren war.
Die Konstruktion als geometrisches Problem ist inzwischen fast eine Randerscheinung im Geometrieunterricht geworden und auf  die Zeichnungen beschränkt, die mit dem Geodreieck nicht möglich sind. 

Ich sehe in der Rückschau eine ähnliche Entwicklung bei der Ablösung des Rechenstabes durch den Taschenrechner in den 1970iger Jahren im Bereich des Zahlenrechnens. 

Wer kennt ihn noch?

Polyabolos
Mit Figuren aus mehreren gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken kann man in Analogie zu den Pentominos oder den Polyiamonds viele Lege-Probleme untersuchen. Sie heißen Polyabolos. Die Tetrabolos aus vier Dreiecken sind der Favorit, denn die Anzahl 14 der Steine ist nicht zu groß und nicht zu klein. Weitere Informationen finden sich auf der Seite Polyabolos an anderer Stelle meiner Homepage.

Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck im Internet     top

Deutsch

Bildungsserver Südtirol
Messen von Winkeln mit dem Geodreieck

Wikipedia
Gleichschenklige Dreiecke,  Geodreieck

Englisch

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Isosceles Right Triangle,  Polyabolo

Wikipedia Special right triangles#45-45-90 Triangle,  Polyabolo

Referenzen   top
(1) Martin Gardner: Mathematische Hexereien, Ullstein, Berlin/Frankfurt/Wien, 1988 (ISBN 3 550065787)
(2) bild der wissenschaft 8/1979, (Halbquadrat-Mehrlinge), Seite 102ff.
(3) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, DuMont, Köln 1987 (ISBN 3-7701-2097-3)
(4) Friedrich L. Bauer: Einladung zur Mathematik, Deutsches Museum, München 1999
(5) Bruno Kerst: Mathematische Spiele, Berlin 1933 (Nachdruck: Martin Sändig, Wiesbaden 1968)
(6) Ulrich Namisloh: Oktagram - Grafisches Figurenrätsel und Legespiel, Köln 1984 (ISBN 3-7701-1636-4)