Quersumme
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Was ist die Quersumme?
Folge der Quersummen
Umkehrung der Quersumme-Funktion
Teilbarkeitsregeln
Einstellige Quersummen
Folge der Querprodukte		 Umkehrung der Querprodukt-Funktion
Einstellige Querprodukte
Zahlenspielereien
Quersumme im Internet
Referenzen
.
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Was ist die Quersumme?
Die Quersumme einer natürlichen Zahl ist die Summe ihrer Ziffernwerte.

Ist die Zahl einstellig, so definiert man die Zahl selbst als Quersumme.

Die Quersumme ist abhängig vom Zahlensystem. 
Auf dieser Webseite geht es nur um Quersummen im Dezimalsystem.

Folge der Quersummen top
Jeder natürlichen Zahl wird eindeutig eine Quersumme zugeordnet. Deshalb ist die Zuordnung eine Funktion. Da der Definitionsbereich D=|N ist, ist die Funktion auch eine Folge. 
Der Wertebereich ist W=|N.
Das ist die Folge der ersten 100 Zahlen mit ihren Quersummen.
01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,
51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60,
61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70,
71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90,
  91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100,
Zahlen
01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 01,
02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 02,
03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 03,
04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 04,
05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 05,
06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 06,
07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 07,
08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 08,
09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 09,
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 01,
Quersummen

Graph dazu
Das Besondere ist, dass die Glieder der Folge immer wieder auf die Zahl 1 zurückfallen, denn die Zehnerpotenzen 1,10, 100, 1000, ... haben die Quersumme 1. Immer danach wiederholen sich die Zahlen in typischer Weise. Es gilt Selbstähnlichkeit. Das wird deutlich, wenn man mehr Glieder der Folge grafisch darstellt wie z.B. auf der Webseite Quersumme bei de.wikipedia.

Umkehrung der Quersumme-Funktion      top
Damit ist gemeint, dass man eine Quersumme vorgibt und sich dann die Frage stellt, welche Zahlen die gleiche Quersumme haben. 

Dazu ein Beispiel
Gegeben ist die Zahl 234. Wie viele dreistellige Zahlen haben die gleiche Quersumme?
Lösung
Die Quersumme ist 2+3+4=9. Man sucht alle Zerlegungen der Zahl 9 in drei Summanden.
3 Zerlegungen haben 3 verschiedene Ziffern: 126, 135 und 234. 
Zu jeder Zahl gibt es durch Permutation der Ziffern je 5 weitere Zahlen, 
z.B. zu 234 noch 243, 324, 342, 423 und 432.
Das sind 18 Zahlen.
3 Zerlegungen haben 2 verschiedene Ziffern: 144, 117 und 225. 
Zu jeder Zahl gibt es je 2 weitere Zahlen, z.B. zu 144 noch 414 und 441.
Das sind 09 Zahlen.
Dann wären da noch die Zahlen, die eine Null enthalten.
Es gibt 4 Zerlegungen der Zahl 9 in zwei Summanden: 18, 27, 36, 45. 
Zu jeder Zerlegung gibt es 4 weitere Zahlen, 
z.B. zu 18 die Zahlen 180, 108, 801 und 810.
Das sind 16 Zahlen.
Schließlich gibt es noch die Zahlen 333 und 900...............................
Das sind 02 Zahlen.
Ergebnis: Es gibt 18+9+16+2=45 Zahlen mit der Quersumme 9.
Mein Computer bestätigt das Ergebnis.
Die Zahlen mit Vornullen sind zu streichen.
Erst durch den Zusatz "dreistellig" hat die Aufgabe endlich viele Lösungen. Ansonsten könnte man z.B. beliebig viele Nullen an die Zahlen hängen, ohne dass sich die Quersumme ändert.

Teilbarkeitsregeln top
Die Quersumme dürfte den meisten durch einige Teilbarkeitsregeln bekannt sein.
(1) Teilbarkeit einer Zahl durch 9
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 9, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. 

Die Regel wird anhand des Beispiels "9 teilt 347.265" erläutert.
Es gilt 347265/9=(3*100000+4*10000+7*1000+2*100+6*10+5)/9
=[3*(99999+1)+4*(9999+1)+7*(999+1)+2*(99+1)+6*(9+1)+5]/9
=(3*99999+3+4*9999+4+7*999+7+2*99+2+6*9+6+5)/9
=(3*99999+4*9999+7*999+2*99+6*9+3+4+7+2+6+5)/9
=(3*1111+4*1111+7*111+2*11+6)+(3+4+7+2+6+5)/9.
Daraus folgt, dass 347265/9 genau dann eine ganze Zahl ist, wenn (3+4+7+2+6+5)/9 ganzzahlig ist.
Hinter der Rechnung steht die folgende Aussage.
Dividiert man die Potenzen von 10 durch 9, so bleibt der Rest 1.
(2) Teilbarkeit einer Zahl durch 3
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 3, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. 
Die Überlegungen zu Regel (2) entsprechen denen zu Regel (1).
(3) Teilbarkeit einer Zahl durch 11
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 11, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. 
Die alternierende Quersumme erhält man, wenn man von rechts beginnend die Ziffernwerte abwechselnd subtrahiert und addiert.
Die Regel (3) wird anhand des Beispiels "11 teilt 124542" erläutert.
Es gilt 124542/11=(1*100000+2*10000+4*1000+5*100+4*10+2)/11
=([1*(100001-1)+2*(9999+1)+4*(1001-1)+5*(99+1)+4*(11-1)+2]/11
=(1*100001-1+2*9999+2+4*1001-4+5*99+5+4*11-4+2)/11
=(1*100001+2*909+4*91+5*9+4)+(-1+2-4+5-4+2)/11.
Daraus folgt, dass 124542/11 eine ganze Zahl ist, wenn (-1+2-4+5-4+2)/11 ganzzahlig ist.
Hinter der Rechnung stehen die folgenden Aussagen.
>Dividiert man die geraden Potenzen von 10 durch 11, so bleibt der Rest 1.
>Dividiert man die ungeraden Potenzen von 10 durch 11, so bleibt der Rest -1.
(4) Teilbarkeit einer Zahl durch 7
Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 7, wenn die mit den Siebener-Resten gewichtete Quersumme durch 7 teilbar ist.
Die Regel wird anhand des Beispiels "7 teilt 857423" erläutert.
857423/7=(8*100000+5*10000+7*1000+4*100+2*10+3)/7
=[8*(99995+5)+5*(9996+4)+7*(994+6)+4*(98+2)+2*(7+3)+3]/7
=(8*99995+8*5+5*9996+5*4+7*994+7*6+4*98+4*2+2*7+2*3+3]/7
=(8*14285+5*1428+7*142+4*14+2*1)+(8*5+5*4+7*6+4*1+2*3+1*3)/7
Daraus folgt, dass 124542/11 eine ganze Zahl ist, wenn (5*8+4*5+6*7+2*4+3*2+3)/7 ganzzahlig ist.
Im Term  5*8+4*5+6*7+2*4+3*2+1*3 werden die Summanden der Quersumme mit Siebener-Resten  verknüpft. Der Term ist eine mit den Siebener-Resten gewichtete Quersumme.
Hinter der Rechnung steht folgender Sachverhalt.
10/7 ergibt Rest 3, 100/7 ergibt Rest 2, 1000/7 ergibt Rest 6, 10000/7 ergibt Rest 4, 100000/7 ergibt Rest 5.
Dividiert man eine Zehnerpotenz durch 7, so bleiben die Reste 1, 3, 2, 6, 4, 5, 1, 3, ...
Vielleicht ist es günstiger, auch negative Reste zuzulassen. Dann kann man sich die Folge der Siebener-Reste einfacher merken: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, ... 
Aber auch dann bleibt die Regel unhandlich. 
Neunerprobe
In Vor-Rechner-Zeiten war die Gefahr groß, sich zum Beispiel beim schriftlichen Multiplizieren zu verrechnen. Da wurde die Aussagen "Jede Zahl lässt bei der Division durch 9 den gleichen Rest" und "Das Rechnen mit Resten folgt den Regeln des Rechnens mit Zahlen" benutzt, um die Rechnung zu überprüfen. 
Beispiel: 
Gilt 345*739=254956?
345 hat die Quersumme 12 und den Neunerrest 3. 739 hat die Quersumme 19 und den Neunerrest 1.
254956 hat die Quersumme 31 und den Neunerrest 4.
Die Neunerprobe 3*1=4 ist falsch. (Das Produkt ist 254955, dann gilt 3*1=3.) 

Einstellige Quersummen top
(Englisch: digit roots)
Oben in der Untersuchung zu "9 teilt 347.265" wurde festgestellt, dass die Quersumme 3+4+7+2+6+5=27 für die Teilbarkeit der Zahl 347.265 steht. M an kann einen Schritt weitergehen und die Quersumme von 27 bestimmen und so die Teilbarkeit durch 2+7=9 sicherstellen.
Bei größeren Zahlen könnte man die Quersumme der Quersumme der Quersumme ... berechnen.
Man kann immer sicher sein, dass sich schließlich eine einstellige Zahl ergibt. 

Beharrlichkeit (persistence)
Man braucht also für die Zahl 347.265 zwei Schritte, um zur einstelligen Zahl 9 zu kommen. Die Anzahl der Schritte heißt die Beharrlichkeit der Zahl. Die Beharrlichkeit von 347.265 ist 2.
Es stellt sich allgemein die Frage nach der kleinsten Zahl, für die n Schritte erforderlich sind. 
Da gibt es folgende Zahlen.
Zahl 
Beharrlichkeit
10
1
19
2
199
3
19999999999999999999999
4
...
...
Mehr bei Mathworld unter Additive Persistence (URL unten)
Glückszahl
Jeder Mensch hat eine einstellige Glückszahl   ;-).
Hier ist ein Vorschlag, wie man eine Zahl eindeutig aus dem Geburtsdatum berechnen kann.
In 23.01.1977 steckt die Zahl 23.011.977. Die Quersumme ist 2+3+0+1+1+9+7+7=30 und 30 hat die Quersumme 3+0=3.
Ergebnis: Die Glückszahl ist 3.
Prüfziffernberechnung
Ziffernfolgen spielen in vielen Lebensbereichen eine immer größer werdende Rolle. 
Ich nenne
> Seriennummern auf den Banknoten des Euro, 
> ISBN -  International Standard Book Number,
> Personalausweisnummer.
Auf der Webseite http://www.pruefziffernberechnung.de/ kann man nachlesen, wie die Quersummen dieser, sowie vieler anderer Kennzahlen in die Berechnungen einer Prüfzahl eingehen (URL unten).

Folge der Querprodukte top
Das Querprodukt einer natürlichen Zahl ist das Produkt der Ziffernwerte.

Ist die Zahl einstellig, so definiert man die Zahl selbst als Querprodukt.

Jeder natürlichen Zahl wird eindeutig ein Querprodukt zugeordnet. Deshalb ist die Zuordnung eine Funktion. Da der Definitionsbereich D=|N ist, ist die Funktion auch eine Folge. 
Der Wertebereich ist W=|N.
Das ist die Folge der ersten 100 Zahlen mit ihren Querprodukten.
01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40,
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50,
51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60,
61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70,
71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80,
81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90,
  91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 90, 100,
Zahlen
01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 00,
01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 00,
02, 04, 06, 08, 10, 12, 14, 16, 18, 00,
03, 06, 09, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 00,
04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 00,
05, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 00,
06, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 00,
07, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 00,
08, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 00,
09, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 00, 
Querprodukte
Graph dazu
Das Besondere ist, dass die Glieder der Folge immer wieder auf die Zahl 0 zurückfallen, denn schon eine Null in der Zahl führt zum Produkt 0. Dazwischen wiederholen sich die Zahlen in typischer Weise. Es gilt Selbstähnlichkeit. Das wird deutlich, wenn man mehr Glieder der Folge grafisch darstellt wie z.B. auf der Webseite Querprodukt  bei de.wikipedia.

Umkehrung der Querprodukt-Funktion     top
Damit ist gemeint, dass man ein Querprodukt vorgibt und sich dann die Frage stellt, welche Zahlen das gleiche Querprodukt haben. 

Dazu ein Beispiel.
Gegeben ist die Zahl 234. Welche dreistelligen Zahlen haben das gleiche Querprodukt?
Lösung
Das Querprodukt ist 2*3*4=24.
Man findet noch weitere 3 Zerlegungen der Zahl 24 in drei Faktoren, nämlich 24=1*3*8=1*4*6=2*2*6.
Zu jeder Zerlegung gehören weitere Umstellungen.
Ergebnis
Es gibt 21 dreistellige Zahlen, nämlich
234 243 324 342 423 432 
138 183 318 381 813 831
146 164 416 461 614 641
226 262 622
Mein Computer bestätigt das Ergebnis.
Erst durch den Zusatz "dreistellig" hat die Aufgabe endlich viele Lösungen. Ansonsten könnte man beliebig viele Einsen an die Zahl hängen, ohne dass sich das Querprodukt ändert.

Einstellige Querprodukte      top
(englisch: Multiplicative digit roots)
Oben wurde schon der Begriff der einstelligen Quersumme eingeführt. Das lässt sich auf das Querprodukt übertragen. Im Allgemeinen ist das Querprodukt mehrstellig. Bildet man weiter das Querprodukt des Querprodukts ..., so gelangt man schließlich zu einer einstelligen Zahl. 
Beispiel
Die Zahl 896 hat das Querprodukt 432, die Zahl 432 hat das Querprodukt 24 und die Zahl 24 hat das Querprodukt 8.

Beharrlichkeit (persistence)
Um das einstellige Querprodukt der Zahl 896 zu bestimmen, braucht man also 3 Schritte. 
Die Anzahl der Schritte heißt die multiplikative Beharrlichkeit einer Zahl. 896 hat die Beharrlichkeit 3.
Es stellt sich allgemein die Frage nach der kleinsten Zahl, für die n Schritte erforderlich sind. 
Da gibt es folgende Zahlen.
Zahl
Beharrlichkeit
10
1
25
2
39
3
77
4
679
5
6788
6
68889
7
2677889
8
26888999
9
13778888999
10
...
...
Mehr bei Mathworld unter Multiplicative Persistence (URL unten) 

Zahlenspielereien  top
Zu den Ziffern einer Zahl und speziell zu den Quersummen hat man sich zahlreiche, mehr oder weniger putzige Fragestellungen ausgedacht. 

01 
Welche dreistelligen Zahlen können als Summe der dritten Potenzen ihrer Ziffernwerte dargestellt werden?
Diese und viele der folgenden Aufgaben kann man mit Hilfe eines einfachen Computer-Programms  untersuchen.
for x=0 to 9
for y=0 to 9
for z=0 to 9
if x*x*x+y*y*y+z*z*z=100*x+10*y+z then print x;y;z
next z
next y
next x 		 ... Ergebnis
153=13+53+33
370=33+73+03
371=33+73+13
407=43+03+73
Das Problem kann auf n-stellige Zahlen erweitert werden.
1634=14+64+34+44
8208=84+24+04+84
9474=94+44+74+44
54748=55+45+75+45+85
92727=95+25+75+25+75
93084=95+35+05+85+45
Mehr bei Mathworld unter Narcissistic Number (URL unten)
Variationen
4150=45+15+55+05
 4151=45+15+55+15
Der Exponent ist 5 und nicht mehr 4.
3435=33+44+33+55 Mehr bei Mathworld unter Muenchhausen Number (URL unten)
02
>Bilde die Quersumme einer Zahl.
>Zerlege die Zahl in ihre Primfaktoren und bilde die Quersumme der Ziffernwerte der Primfaktoren.
Für welche Zahl stimmen die Quersummen überein?
1. Beispiel
> 852 hat die Quersumme 8+5+2=15.
> Andererseits gilt 852=2*2*3*71. Die Quersumme ist 2+2+3+7+1=15.
2. Beispiel
> Die berühmte Zahl 666 hat die Quersumme 6+6+6=18.
Die Summe der Ziffern aller Primteiler ist 2+3+3+(3+7)=18.
Mehr bei Mathworld unter Smith Number (URL unten)
03 
"Eine fröhliche Zahl ist eine natürliche Zahl, die als Ausgangswert für eine bestimmte Iterationsvorschrift nach endlich vielen Iterationsschritten zu dem Zahlenwert 1 führt, ähnlich dem  (3n+1)-Problem."
(Zitat nach de.wikipedia)
Beispiel
19 ist eine fröhliche Zahl, denn nach 3 Schritten gelangt man zur Eins.
1²+9²=82
8²+2²=68
6²+8²=100
1²+0²+0²=1
Mehr bei Mathworld unter Happy Number (URL unten)
04
Welche Zahl lässt sich als Potenz der Quersumme darstellen?
512=(5+1+2)³ 
4913=(4+9+1+3)³ 
5832=(5+8+3+2)³ 
17576=(1+7+5+7+6)³ 
19683=(1+9+6+8+3)³ 		 81=(8+1)2
2401=(2+4+0+1)4
...
20047612231936=(2+0+0+4+7+6+1+2+2+3+1+9+3+6)8
Quelle: (1) und http://oeis.org/A023106
Variation
(8+1)²=81 (20+25)²=2025 (30+25)²=3025 (98+01)²=9801
Mehr bei Mathworld unter Kaprekar Number (URL unten)
05
Welche Zahl ist durch ihre Quersumme teilbar?
Drei Beispiele
(1+2) teilt 12 ohne Rest 
(1+3+2) teilt 132 ohne Rest
(1+7+1) teilt 171 ohne Rest
Mehr bei Mathworld unter Harshad Number (URL unten)
06
Sonstiges
135=(1*3*5)*(1+3+5)
144=(1*4*4)*(1+4+4)		 2+2=2*2
1+2+3=1*2*3
(9+9+9)²=9*9*9
(3+3+3)³=(3*3*3)²		 1³+2³=(1+2)²
1³+2³+3³=(1+2+3)²
2³+2³=(2+2)²
1³+2³+3³=(1+2+3)²
3³+3³+3³=(3+3+3)²		 37*(3+7)=3³+7³
48*(4+8)=4³+8³
1!=1
2!=2
  
145=1!+4!+5!
40585=4!+0!+5!+8!+5!
7!+1=71²
    
u.a. (3)
07 
Für welche Zahlen sind Quersumme und Querprodukt gleich?
Beispiel: 321 hat die Quersumme 3+2+1 und das Querprodukt 3*2*1
Die ersten Zahlen sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 22, 99, 123, 132, 213, 231, 312, 321, 1124, 1137, 1142, 1173, 1214, 1241, 1317, 1371, 1412, 1421, 1713, 1731, 2114, 2141, 2411, 3117, 3171, 3344, 3434, 3443, 3711, 4112, 4121, 4211, 4334, 4343, 4433, 7113, 7131, 7311, 11125,
Quelle OESIS A249334
08 
222
Noch eine Merkwürdigkeit von meiner Seite: Die Kaprekar-Zahl und andere Zahlenspielereien
Gegeben ist eine dreistellige Zahl aus nicht gleichen Ziffern, z.B. 369. Man bildet 5 weitere Zahlen, indem man die Ziffern auf jede mögliche Weise umstellt [396, 639,693, 936, 963]. Man addiert die sechs Zahlen [369+396+639+693+936+963=3996]. Man erhält das 222-fache der Quersumme [222*(3+6+9)=3996].

Quersumme im Internet top

Deutsch

Holger Krug
Eine praktikable Teilbarkeitsregel für die 7 (.pdf-Datei)
(Zur Diskussion gestellt)

NN
Prüfziffernberechnung in der Praxis

Wikipedia
Quersumme, Querprodukt, Neunerprobe, Narzisstische Zahl,  Fröhliche Zahl

Englisch

Dr. Math (The Math Forum)
Products of Digits

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Digit Sum, Digital Root,  Additive Persistence, Multiplicative Persistence,   Multiplicative Digital Root, Narcissistic Number, Muenchhausen Number, Smith Number, Kaprekar Number

N. J. A. Sloane  (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) 
Integer Sequences
Digital sum (i.e. sum of digits) of n. A007953
Smallest number of additive persistence n. A006050
Product of decimal digits of n. A007954
Smallest number of multiplicative persistence. A003001
a(n) is a power of the sum of its digits. A023106
Numbers n for which the digital sum contains the same distinct digits as the digital product. A249334
Numbers n such that n = (product of digits of n) * (sum of digits of n). A038369

Wikipedia
Digit sum,  Digital root,  Persistence of a number,  Vedic square,  Happy number, Sum-product number

Referenzentop
(1) Walter Lietzmann: Sonderlinge im Reich der Zahlen, Bonn 1948 
(2) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und Formen, Göttingen 1969 
(3) Martin Gardner: Geometrie mit Taxis, die Köpfe der Hydra und andere mathematische Spielereien, Basel 1997 [ISBN 3-7643-5702-9] 


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URL meiner Homepage:
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©  2012 Jürgen Köller

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