Abgestumpftes Ikosaeder

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Was ist ein abgestumpftes Ikosaeder?
Beschreibungen
Bau des Körpers
Größen

Der duale Körper
Fußball und Buckyball
Abgestumpftes Ikosaeder im Internet
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Was ist ein abgestumpftes Ikosaeder?

...... Ein abgestumpftes Ikosaeder ist ein Körper, der von 12 regelmäßigen Fünfecken und 20 regelmäßigen Sechsecken gebildet wird.

Neben den 12+20=32 Seitenflächen hat das abgestumpfte Ikosaeder 90 Kanten und 60 Eckpunkte.

Wer den 3D-Blick beherrscht, sieht das abgestumpftes Ikosaeder räumlich.

durchsichtig

undurchsichtig

Entstehung

...

...

Er entsteht aus einem Ikosaeder, indem man die Ecken passend abschneidet. Dazu teilt man die Kante in drei gleiche Teile.
An den Ecken des Ikosaeders entstehen Fünfecke. Die Seitenflächen des Ikosaeders reduzieren sich auf Sechsecke.

Einordnung

Da beim abgestumpften Ikosaeder (4) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den 13 archimedischen Körpern.

Beschreibungen top
Lage der Fünf- und Sechsecke

... Jedes Fünfeck ist isoliert...........................

... Jeweils fünf Sechsecke bilden einen Ring.

...

Zehn Sechsecke laufen "am Äquator" als Zickzacklinie um den Körper herum.

Die beiden Ringe in "Polnähe" sind gegeneinander gedreht.

Parallelprojektionen

Ein Sechseck, ein Fünfeck, eine Kante, eine Kante und ein Eckpunkt liegen vorne.

Schlegel-Diagramm

Diagonalen
240 Flächendiagonalen

...

....

Die Diagonalen der Fünf- und Sechsecke bilden die Flächendiagonalen des abgestumpften Ikosaeders. Jedes Fünfeck hat 5 Diagonalen. Jedes Sechseck hat 9 Diagonalen.

Das führt zu insgesamt 12*5+20*9=240 Flächendiagonalen.

1440 Raumdiagonalen

...

...

Von jedem der 60 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu den anderen Eckpunkten aus. Das sind 8 Flächendiagonalen und 3 Kanten, wie die Zeichnung zeigt. In 60-11=49 Punkten enden dann Raumdiagonalen.
Das führt zu insgesamt (1/2)*60*48=1440 Raumdiagonalen des abgestumpften Ikosaeders.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das abgestumpfte Ikosaeder bedeutet das, dass es (1/2)*59*60=1770 Verbindungslinien gibt.
Das sind die 90 Kanten, 240 Flächendiagonalen und 1440 Raumdiagonalen.

Bau des Körpers top
Die Schönheit dieses Körpers erschließt sich eigentlich erst, wenn man ihn bastelt.

...... Es ist sicherlich viel Arbeit, das abgestumpfte Ikosaeder aus einem Netz zu basteln.
G. Korthals Altes bietet eine Vorlage an (URL unten).

Viel schneller und origineller entsteht der Körper allein mit Hilfe regelmäßiger Sechsecke.
Die Fünfecke erscheinen beim fertigen Körper als Löcher.

Die Bastelvorlage enthält 31 Sechsecke. Für den Körper braucht man aber nur 20. Elf Sechsecke kleben aufeinander. - Vielleicht ist es sicherer, vor dem Kleben Büroklammern zu verwenden, wie ich es getan habe. Der Link auf die Vorlage existiert nicht mehr, hier ist ein Ersatz.

Wer sich in der Flechttechnik auskennt, findet eine Vorlage bei H.B.Meyer (URL unten).

Größen top
Das abgestumpfte Ikosaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben.
Daraus lassen sich die weiteren Größen Radius R der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O, Abstand d₅ gegenüberliegender Fünfecke, Abstand d₆ gegenüberliegender Sechsecke berechnen.
Es gilt

Herleitung
Vorweg: Es werden hier Formeln verwendet, die an anderen Stellen meiner Homepage hergeleitet werden.

Regelmäßiges Fünfeck
Flächeninhalt:
A₅= (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²
Umkreises des Fünfecks:
R₅= (1/10)sqrt[50+10*sqrt(5)]a

Regelmäßiges Sechseck
Flächeninhalt:
A₆= (3/2)sqrt(3)a²
.
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Ikosaeder
Abstand paralleler Gegenseiten:
d = (1/2)[1+sqrt(5)]a'
.
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Wie gesagt entsteht das abgestumpfte Ikosaeder aus dem Ikosaeder. Für die Rechnungen ist es hilfreich, beim Ikosaeder durch eine Kante und den Mittelpunkt eine Schnittfläche zu legen.

Überträgt man diesen Schnitt auf das abgestumpfte Ikosaeder, so ergibt sich das blaue Zehneck aus zwei Kanten und je vier Höhen von Fünf- und Sechsecken.
Die Mittelpunkte des Ikosaeders und des abgestumpften Ikosaeders fallen zusammen.

Radius der Umkugel
d = (1/2)[1+sqrt(5)]a' ist beim Ikosaeder (und auch hier) der Abstand paralleler Gegenseiten.
Es gilt a' = 3a und somit d = (3/2)[1+sqrt(5)]a.

...

Nach dem Satz des Pythagoras ist R² = (d/2)²+(a/2)².

Daraus folgt R = (1/4)sqrt[58+18sqrt(5]a.

...

Verbindet man die Eckpunkte der Fünf- und Sechsecke mit dem Mittelpunkt des Körpers, so entstehen gerade regelmäßige Pyramiden.

Alle Seitenlinien der Pyramiden sind so lang wie der Radius der Umkugel.

Oberfläche
Die Oberfläche wird von Fünfecken und Sechsecken gebildet.
Das Fünfeck hat den Flächeninhalt A₅= (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a², das Sechseck A₆= (3/2)sqrt(3)a².
Es ergibt sich O = 12A₅ +20A₆= 3{sqrt[25+10sqrt(5)]a²+10sqrt(3)}a².

Abstand gegenüberliegender Fünfecke
Zunächst wird die Höhe der Fünfeckpyramide bestimmt.

...

Sie ist nach dem Satz des Pythagoras h₅= sqrt(R²-R₅²).
Dabei ist R₅= (1/10)sqrt[50+10*sqrt(5)]a der Radius des Umkreises des Fünfecks.

Mit R = (1/4)sqrt[58+18sqrt(5)]a erhält man h₅= sqrt{(1/40)[125+41sqrt(5)]}a.
Dann ist d₅= 2h₅= sqrt{(1/10)[125+41sqrt(5)]}a.

Abstand gegenüberliegender Sechsecke
Zunächst wird die Höhe der Sechseckpyramide bestimmt.

...

Sie ist nach dem Satz des Pythagoras h₆= sqrt(R²-a²). Dabei ist R₆= a der Radius des Umkreises des Sechsecks.
Mit R = (1/4)sqrt[58+18sqrt(5)]a erhält man h₆= sqrt{(1/8)[21+9sqrt(5)]}a.
Dann ist d₆= 2h₆= sqrt{(1/2)[21+9sqrt(5)]}*a.

Volumen
Das Volumen setzt sich aus den Volumina der Fünf- und Sechseckpyramiden zusammen:
V = 12*(1/3)A₅h₅+20*(1/3)A₆h₆ (#).
Die Höhen sind h₅= sqrt[(1/40)125+41sqrt(5)]*a und h₆= sqrt{(1/8)[21+9sqrt(5)}a
und die Grundflächen A₅= (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a² und A₆= (3/2)sqrt(3)a².
Setzt man diese Terme in die Gleichung (#) ein, so ergibt sich nach längerer Rechnung
V = sqrt{(1/8)[1035+455sqrt(5)]}a³+sqrt{(1/4)[3150+1350sqrt(5)]}a³.
Das Programm Derive von etwa 1990 (noch mit Tastenbedienung) hilft, den Term zu vereinfachen:

Ergebnis: V = (1/4)[125+43sqrt(5)]a³

Inkugel
Das abgestumpfte Ikosaeder hat keine Inkugel. Sein Mittelpunkt ist vom Fünfeck weiter entfernt als vom Sechseck:
Es gilt gerundet h₅= 2,33a und h₆= 2.27a. Im Vergleich dazu ist der Radius der Umkugel R = 2,47a.
Eine Kugel mit dem gleichen Volumen wie das abgestumpfte Ikosaeder hat einen Radius von 2,36a.

Der duale Körper top
Verbindet man die Mittelpunkte der nebeneinanderliegenden Fünf- und Sechsecke, die das abgestumpfte Ikosaeder bilden, so entsteht der duale Körper.
Wenn das abgestumpfte Ikosaeder 60 Kanten, 32 Flächen und 90 Ecken hat, dann hat der duale Körper 60 Kanten, 90 Flächen und 32 Eckpunkte. Die Anzahl der Flächen und Ecken tauschen sich aus.
Der duale Körper wird von Dreiecken begrenzt. Fünf Dreiecke bilden jeweils eine Fünfeckpyramide.
Der Körper heißt Pentakisdodekaeder.

Fußball und Buckyball top
Das abgestumpfte Ikosaeder hat Berühmtheit erlangt, weil einmal eine Spielart des Balles des Fußballspiels bis auf die Wölbung, die durch den Innendruck entsteht, diese Form hat. Zum anderen gibt es Makromoleküle aus Kohlenstoffatomen in der gleichen Form. Dieses Molekül heißt das Fulleren (Mehrzahl: die Fullerene) oder der Buckyball.
Weitere Informationen erhält man über die Links im nächsten Kapitel.

Abgestumpftes Ikosaeder im Internet top

Deutsch

Friedrich Cordes
Fußball - Ikosaeder

H.B.Meyer
Abgestumpftes Ikosaeder

Raúl Rojas
Brazuca: das Eckige im Runden

Thomas Burmester
Himmelskugel (aus Holz)

Werner Brefeld
Fußball, Platonische Körper und Archimedische Körper

Wikipedia
Abgestumpftes Ikosaeder, Fulleren, Ikosaeder, Archimedischer Körper, Fußball (Sportgerät), Pentakisdodekaeder

Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated Icosahedron, Pentakis Dodecahedron, Truncation, Archimedean Solid, Dual Polyhedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
Polyhedra (Applets)

G. Korthals Altes
Paper Model Truncated Icosahedron (soccer ball)