|
Was sind das Oval und die Eilinie?
Es gibt keine eindeutige Definion. Man definiert meist:
... ... |
Ein Oval ist eine in sich geschlossene ebene Linie, die
ellipsenförmig ist oder die Form eines Hühnereis hat.
Eine Eilinie oder Eikurve ist der Umriss des Hühnereies.
Das Hühnerei wird an einem Ende schmaler und hat
nur eine Symmetrieachse. |
Die Kurven sind konvex, sind stückweise zweimal stetig
differenzierbar ist und haben eine echt positive Krümmung.
.. ....
|
Man unterscheidet zwischen dem Oval, der Eifigur (Ovoid)
und dem Eikörper so wie man zwischen der Kreislinie, der Kreisfläche
und der Kugel unterscheidet. |
Ellipse
und ihre Abkömmlinge
top
Ellipse
Die Punkte P, deren Entfernungen von zwei festen Punkten
F1 und F2 eine konstante Summe haben, bilden eine Ellipse. In einem
Koordinatensystem hat sie in der Mittelpunktslage die Bestimmungsgleichung
Die Parameter a und b sind die beiden Halbachsen, F1 und
F2 die Brennpunkte.
Die Ellipse ist der Graph einer Relation.
... ...
|
Die nebenstehende Ellipse hat die Gleichung
Die konstante Summe ist 2a=6. |
 ...
|
Aus zwei Ellipsenhälften kann man ein Ei in
der Form eines Hühnereies zusammensetzen. |
Gärtnerkonstruktion
Man kann ein Ei zeichnen, indem man um drei Punkte, die ein
gleichschenkliges Dreieck bilden, nach der Gärtnermethode ein Seil
(grün) schlingt, das etwas länger als der Umfang des Dreiecks
ist, und bei gespannten Seil eine geschlossene Linie zeichnet (1). Es entstehen
Ellipsenbögen, die zusammen ein Ei (2) bilden.
In einer Computersimulation werden die drei Hauptellipsen
(2) (schwarz, rot, blau) vollständig darstellt (nach Buch 9).
Ist man genauer, so kommen im Bereich der Scheitelwinkel
der Innenwinkel des Dreiecks ABC noch drei weitere Ellipsen hinzu (4).
Das sind Ellipsen um die Seiten AB, AC und BC (3).
Noch
eine Gärtnerkonstruktion
... ... |
Will ein Gärtner ein ovales Beet anlegen, so geht
er so vor:
- Er schlägt in den Boden zwei Pfähle und schlingt
eine Schnur um sie.
- Er steckt einen Stock, der als Zeichenstift dient,
in das Band und führt ihn um die Pfähle. Dabei achtet er darauf,
dass die Schnur gespannt ist.
- So entsteht eine Ellipse. |
... ... |
Ersetzt man den dünnen Pfahl F1 durch
einen Pfahl mit "großem" Durchmesser, so entsteht eine Eilinie.
Das bestätigte ich in einem kleinen Experiment mit
Medizinbecher, Nadel, Wollfaden, Kugelschreiber auf Pappe. |
Gerhard Rörik hat sich
mit Kurven dieser Art beschäftigt.
... ... |
Er untersuchte geschlossene Kurven um zwei oder drei
"Rundhölzern" mit gleichen oder unterschiedlichen Durchmessern. |
Ich bedanke mich, dass er auf diese Methode eine Eilinie
zu
erzeugen hinwies.
Juni 2022
Superellipse top
... ... |
Ersetzt man in der Ellipsengleichung (x/a)²+(y/b)²=1
die Hochzahl 2 durch 2.5, so erhält man die Gleichung einer Superellipse.
Sie heißt:
Die Betragsstriche stellen sicher, dass die nun auftretenden
Wurzeln definiert sind.
Es gilt im nebenstehenden Graph a=3 und b=2. |
Der dänische Schriftsteller und Erfinder Piet Hein hat
sich ausgiebig mit der Superellipse beschäftigt (Buch 4). Eine Besonderheit
besteht darin, dass der dazugehörige Rotationskörper, als Holzkörper
ausgeführt, auf einer Spitze stehen kann. Im Gegensatz zum Ei des
Kolumbus braucht man keine Gewalt.
Die Superellipse gehört zu den Lamékurven.
Sie haben die Parametergleichung
.. .... |
In der Darstellung einiger Lamékurven setzt man
a=3, b=2 und für n die Zahlen
1(Parallelogramm, blau), 1.5(grün), 2(Ellipse, hellrot),
2.5 (Superellipse, rot) und 3 (schwarz) ein. |
Von
der Ellipse zur Hühnerei-Form
Man kann eine Hühnereiform aus einem Oval erzeugen,
indem man die Ovalgleichung leicht abändert. Man multipliziert y oder
y² mit einem Term t(x), so dass bei der Eilinie die y-Werte rechts
der y-Achse kleiner und links größer werden und der y-Achsenabschnitt
bleibt.
Auf diese Weise wird z.B. die Ellipsengleichung
x²/9+y²/4=1 zu x²/9+y²/4*t(x)=1. Man multipliziert
also hier y² mit t(x).
Drei Beispiele:
Zur roten Eilinie:
Die Ellipse ist schwarz. Die Eilinie ist rot. Rechts
der y-Achse liegt die Eilinie unter der Ellipse. Der Term t1(x) ist dort
größer als 1. Durch die Multiplikation von y²/4 wird die
Zahl 4 (=b²) kleiner. Die Kurve gehört also zu "Ellipsen" mit
kleinerer Halbachse, sie ist also flacher als die gegebene Ellipse. Entsprechend
erklärt man, warum links der y-Achse die rote Kurve oberhalb der Ellipse
liegt. (Man multipliziert mit einer Zahl kleiner als 1...)
Zur blauen und grünen Eilinien: Die drei farbigen
Eilinien haben etwa die gleiche gewünschte Form, obwohl die Gleichungen
auf den ersten Blick sehr verschieden sind.
Aber:
t2(x)=1/(1-0,2x) kann als geometrische Reihe geschrieben
werden.
Allgemein ist 1/(1-q) = 1+q+q²+..., hier ist 1/(1-0,2x)
= 1+0,2x+0,04x²+...
t3(x)=exp(0.2x) kann als Taylorreihe entwickelt werden.
Allgemeien ist f(x) = f(0)+x*f'(0)+x²*f''(0)+...,
hier ist exp(0.2x) = 1+0,2x+0,02x²+...
Zum Vergleich ist t1(x)=1+0,2*x+0*x²
Die drei Terme t1, t2 und t3 unterscheiden sich in der
Reihenentwicklung erst im quadratischen Glied.
| Man kann ablesen: t1(x) < t3(x) < t2(x)
Zeichnet man die drei zugehörigen Eilinien in ein
Koordinatensystem, so liegt die rote Eilinie außen, die grüne
in der Mitte und die blaue innen.
Warum liegt die blaue Eilinie innerhalb der roten?
Zu t2 gehören kleinere vertikale Halbachsen und
damit ist die Eilinie flacher.
|
... ... |
Vom Ei zum Dreieck
... ... |
Setzt man in die Gleichnung x²/9+y²/4*t(x)=1
den Term t(x)=(1+kx)/(1-kx) so ergibt sich die nebenstehende Kurvenschar
für verschiedene Zahlen k.
schwarz: k=0,1 rot:
k=0,2 grün: k=0,3
blau k=1/3.
Aus dem schwarzen Ei wird also ein blaues Dreieck.
Das schwarze Ei ist von der Art t1(x), t2(x) oder t3(x)
oben., denn die Reihenentwicklung (1+0,1x)/(1-0,1x)=1+0.2x+0.02x²+...
zeigt in den ersten Gliedern Übereinstimmung.
Es ergibt sich ein Dreieck, wenn k=1/3 ist. 3 ist die
große Halbachse.
Begründung:
Die Gleichungen x²/a²+y²/b²*(1+x/a)/(1-x/a)=1
und (x/a+y/b-1)(x/a-y/b-1)(x/a+1)=0 sind gleichwertig, denn multipliziert
man beide aus, ergibt sich
-b²x³+ab²x²+a²b²x+a²xy²+a³y²-a³b²=0. |
Mit (x/a+y/a-1)(x/a-y/b-1)(x/a+1)=0 werden die drei Geraden
beschrieben, die das Dreieck bilden.
Eine Zuschrift
... ... |
Don M. Jacobs, M.D., aus Daly City, USA, entwickelte
eine schöne Eiform, indem er die Kreisgleichung x²+y²=1
leicht abänderte: x² + [1,4^x*1.6y]² = 1.
Die Ei-Gleichung ist eine Exponentialgleichung vom Typ
t3 oben, wie eine Umrechnung zeigt:
|
Eilinie
zwischen zwei Ellipsen
Die Ellipsengleichung x²/a²+y²/b²=1
kann zu y=+b*sqrt(1-x²/a²) /\ y=-b*sqrt(1-x²/a²) umgeschrieben
werden.
 |
Die Gleichung y=+-b1*sqrt(1-x²/a²)
beschreibt die äußere schwarze Ellipse.
Die Gleichung y=+-b2*sqrt(1-x²/a²)
beschreibt die innere blaue Ellipse.
Die Gleichung y=+-b(x)*sqrt(1-x²/a²)
beschreibt die rote Eilinie.
Dabei ist b(x)=[b1(a-x)+b2(a+x)]/2a.
In der Zeichnung ist a=1, b1=0,7
und b2=0,4. |
Andere Parameter sind möglich, z.B. b1=0,8
und b2=0,6.
Der
Term b(x)=[b1(a-x)+b2(a+x)]/2a wird umgeformt:
Man erkennt, dass der Mittelwert von
x-a und x+a gebildet wird, wobei mit b1 und b2 unterschiedlich
gewichtet wird.
Diese Methode teilte mir
Jirka Landa aus Tschechien mit.
Er erklärt sie auf seiner Webseite ausführlicher
(URL unten).
Inversion
einer Ellipse am Kreis
 ...
|
Spiegelt man eine Ellipse an einer Geraden (links), so
entsteht als Bild eine kongruente Ellipse.
Spiegelt man sie an einer Kreislinie (rechts), so entsteht
eine Eilinie. |
 |
Unter einer Inversion versteht man eine Abbildung der komplexen
Ebene in sich durch reziproke Radien oder eine Spiegelung (=Inversion)
an einem Kreis mit dem Radius R. Mittelpunkt der Spiegelung ist der Nullpunkt
(0|0). Die Funktionsgleichung heißt z'=R²/z.
Weitere
Ortslinien
top
Cassinische Kurven
Die Punkte P, deren Entfernungen von zwei festen Punkten
F1 und F2 ein konstantes Produkt haben, bilden
die Cassinische Kurve. In einem Koordinatensystem hat sie in der Mittelpunktslage
die Gleichung
(x²+y²)² - 2e² (x²-y²)
- (a²)² + (e²)²=0. Dabei ist 2e die Entfernung der
beiden festen Punkte, a² ist das konstante Produkt.
... ...
|
Die nebenstehende Kurve hat die Gleichung
(x²+y²)² - 72(x²-y²) - 2800
= 0.
Es sind e=6 und a=8.
|
 |
Die nebenstehenden Cassinischen Kurven sind dadurch
entstanden, dass man e=6 festhält und für a die Werte 10 (blau),
8.5 (grau), 7 ( rot), 6 (schwarz) und 4 (grün) einsetzt. |
Allgemein gilt:
Ist a>[e mal Wurzel2], so ergibt sich ein eiförmige
Figur.
Ist a=[e mal Wurzel2], so ergibt sich auch eine eiförmige
Figur, allerdings ist die Krümmung auf der Vertikalachse gleich 0.
Ist e<a<[e mal Wurzel2], so ergibt sich eine eiförmige
Figur mit einer Einschnürung.
Ist a=e, so ergibt sich eine Lemniskate.
Ist a<e, so ergeben sich zwei ovale Figuren.
 |
Die inneren ovalen Figuren mit a<e nehmen eine interessante
Eiform an, wenn a der Zahl e=6 nahekommt. |
Kartesianische
Ovale
Die Punkte P bilden ein kartesianisches Oval, wenn die
Summe
aus der Entfernung des Punktes von einem Fixpunkt und der
doppelten
Entfernung von einem zweiten Fixpunkt konstant ist. Die Punkte werden
durch die Gleichung
4a²m²((c-x)²+y²)-(a²+m²c²-2cm²x+(m²-1)(x²+y²))²=0
beschrieben.
c ist die Entfernung der Fixpunkte, a ist die konstante
Summe und m=2 ("doppelte" Entfernung). Der linke Fixpunkt liegt im Ursprung.
Diese (unhandliche) Gleichung leitet man mit dem Ansatz
s1+2*s2=a und einer zweimaligen Anwendung des Satzes des Pythagoras her.
... ... |
In der nebenstehenden Zeichung ist die Entfernung der
Fixpunkte c=5 und die gemeinsame Summe ist a=12.
Die allgemeine Gleichung von oben lautet dann
2304((5-x)²+y²) - (3x²+3y² -40x+44)²=0 |
...... ........
|
Der eben dargestellte Graph ist unvollständig.
Die Relationsgleichung 2304((5-x)²+y²)-(3x²+3y²-40x+44)²=0
liefert überraschenderweise außerhalb der
Eilinie noch eine zweite geschlossene Linie. |
...... ..... |
Ersetzt man m=2 durch m=2.2, so ergibt sich eine neue
Eiform. Die Variablen c=5 und a=12 werden beibehalten. |
Diese Eilinien gehen auf Renatus Cartesius alias René
Descartes (1596-1650) zurück, daher der Name.
Kurven
aus Schleifen
Szegö-Kurve
x²+y²=e2x-2
|
x²+y²+0,02=e2x-2
|
Kartesisches Blatt
x³+y³=3xy
|
x³+y³+0,06=3xy
|
(x²+y²)³-4x²y²
|
(x²+y²)³+0,001-4x²y²
|
Weitere Eiformen auf diesem Wege:
>Trisextrix of MacLaurin y²(1+x)+0,01=x²(3-x)
>Lemniskate des Bernoulli (x²+y²)²-(x²-y²)+0,01=0
>Conchoid of de Sluze 0,5(x+0,5)(x²+y²)-x²+0,02=0
...
|
(Nach einer Idee von Torsten Sillke)
Konstruktion
von Fritz Hügelschäffer
Man überträgt die bekannte Ellipsenkonstruktion
mit Hilfe zweier konzentrischer Kreise auf eine Zweikreisfigur.
Die Konstruktion erfolgt in der Reihenfolge M1,
M2, P1,
P2
und P.
In der Zeichnung sind a und b die Radien der Kreise.
d ist rechts die Entfernung der Mittelpunkte.
Die Parameter a,b und d sind gut geeignet, eine Eiform
zu kennzeichnen. 2a ist ihre Länge, 2b ihre größte Breite
und um d seitlich von der Mitte aus verschoben liegt die breiteste Stelle.
Die Gleichung der Eilinie
ist eine Gleichung dritten Grades:
x²/a² + y²/b²[1 + (2dx+d²)/a²]
= 1
oder b²x²+a²y²+2dxy²+d²y²-a²b²=0
Herleitung:
... ... |
P1(x1|y1) ist ein Kreispunkt.
Es gilt im grünen Dreieck nach dem Satz des Pythagoras
(1) (x1-d)²+ y1²=a²
P2(x2|y2) ist ein Kreispunkt.
Es gilt im gelben Dreieck nach dem Satz des Pythagoras
(2) x2²+ y2²=b²
Da die Punkte M2, P1 und P2
auf einer Nullpunktsgeraden liegen, gilt (3) y1/x1
= y2/x2.
Punkt P(x1|y2) liegt auf der Eilinie.
Also muss eine Beziehung zwischen den beiden Variablen x1 und
y2
gefunden werden. Die Variablen x2 und
y1 sind zu ersetzen. |
Aus (1) folgt die Gleichung (1') x2²=b²-y2²
Aus (2) folgt die Gleichung (2') y1²==a²-(x1-d)²
Aus (3) folgt die Gleichung (3') x2²y1²
= x1²y2² .
Man setzt (1') und (2') in (3') ein und erhält nach
längerer Rechnung
-a²b²+b²x1²-2b²dx1+b²d²+a²y2²+2dx1y2²-d²y2²=0
Die Gleichung wird einfacher, wenn man den Nullpunkt des
Achsenkreuzes von M2 nach M1 verschiebt.
Man setzt dazu x1=x und y2=y und
vereinfacht.
Ergebnis:
-a²b²+b²x²+a²y²+2dy²x+d²y²=0
wzbw.
Für die oben gezeichnete
Eilinie gilt a=4, b=2 und d=1. Das führt zur Gleichung 4x²+16y²+2xy²+y²-64=0.
Zweites Beispiel:
|
Für die hier gezeichnete Eilinie ist a=4, b=3 und
d=1.
Dazu gehört die Gleichung 9x²+16y²+2xy²+y²-144=0. |
Quelle: (11), Seite 67/68
Granvillesches
Ei
>Gegeben ist eine Halbgerade, die von A ausgeht und waagerecht
verläuft. In der Entfernung a liegt eine Vertikale und im Abstand
a+b symmetrisch zur Horizontalen ein Kreis mit dem Radius r (linke Zeichnung).
>Zieht man von Punkt A aus eine Gerade (rot), so schneidet
sie die Vertikale in B und die Kreislinie in C. Zeichnet man durch C eine
Vertikale und durch B eine Horizontale (grün), so schneiden sich diese
in Punkt P.
>Bewegt sich Punkt C auf dem Kreis, so liegen die Punkte
P auf einer Eilinie (rechts).
Quellen: (13), Jan Wassenaar (URL unten), Torsten
Sillke (URL unten)
Ein
mechanisch erzeugtes Ei
 |
Gegeben sei ein fester Punkt P und ein beweglicher Punkt
A, der sich um P mit dem Radius r=PA bewegt.
An Punkt A wird eine Strecke a=AQ gehängt, deren
freier Endpunkt Q sich auf einer Horizontalen durch P hin und her
bewegt. Ein Punkt B auf der Strecke mit BQ=b beschreibt eine Eikurve. |
 |
Quellen: (12), (www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/), Jan
Wassenaar (quartic egg curve, URL unten)
Eierketten top
Ein Doppel-Ei
 ...
|
Die Polargleichung r(t)=cos²t erzeugt ein Doppelei
(Münger 1894).
Eine zweite Gleichung ist r(t)=exp(cos(2t))*cos²(t)
(Hortsch 1990). |
Zweites
Doppelei
|
Die Gleichung x4+2x²y²+4y4-x³-6x²-xy²=0
erzeugt ein Doppelei. |
Hier
ist ein weites Feld zum Experimentieren.
Ketten
Man kann Sinuskurven so verändern
und kombinieren, dass man eine Kette von Eiern erhält.
Auch Polynome können Ketten erzeugen (siehe bei Torsten
Sillke, URL unten).
Eleganter ist die Darstellung
einer Kette durch y² = abs[sin(x)+0,1sin(2x)]:
(Torsten Sillke)
Eilinien aus
Kreisbögen
top
 ...
|
 ... |
Das Oval setzt sich zusammen aus zwei kleinen Viertelkreisen
(rot) und zwei großen Viertelkreisen (grau), die ein Quadrat gemeinsam
haben. (Die Winkel der Kreisausschnitte müssen nicht 90° betragen.) |
... ... |
Die zweite Figur setzt sich zusammen aus einem Halbkreis
(grün), einem Viertelkreis (rot) und zwei Achtelkreisen (grau), die
ein Dreieck gemeinsam haben. Zerschneidet man das Ei in neun Teile,
so entsteht das Tangram-Puzzle "Das magische Ei" oder "Das Ei des Kolumbus". |
... ... |
Man kann die obige Figur verallgemeinern, indem man das
dunkelgraue Dreieck verkleinert. |
... |
Aufgeteilt und wieder zusammengesetzt |
... ... |
Aufgeteilt und wieder zusammengesetzt
(14), Seite 122 |
Ein Ei im Fünfeck
- fast
... ... |
r1 = c
r2 = c(2-phi)
r3 = c(2phi-3)
h =(c/phi)[1+sqrt(7-4phi)]
a = 2c(2-phi)
phi = (1/2)[1+sqrt(5)]
............................................................................................ |
Auf diese Eilinie wies im Juni 2022
Fernand Marsal hin, von ihm stammen auch die Formeln.
Schnitte
durch Rotationskörper
top
Legt man einen schrägen Schnitt
durch einen Kegel oder Zylinder, so entsteht als Schnittlinie u.a. eine
Ellipse. Wählt man einen hyperbolischen Trichter, so gelangt man zu
Eilinien nach Art des Hühnereies. Hyperbolische Trichter sind Körper,
die durch Rotation einer Hyberbel um die Symmetrieachse entstehen.
 ... |
Links ist der hyperbolische Trichter
zu f(x) =1/x² dargestellt. - Die y-Achse ist senkrecht zur Zeichenebene
nach hinten gerichtet.
Die Gerade stellt eine Schnittebene
dar, die senkrecht auf der Zeichenebene steht. |
 ... |
Die Ebene schneidet den hyperbolischen Trichter in der
z-x-Ebene in drei Punkten.
Projeziert man die Schnittlinien in die x-y-Ebene, so
erhält man die roten Linien. |
 ...
|
In der Schnittebene erscheint die Schnittlinie als Eilinie. |
Die Rechnung dazu sieht so aus.
Auch andere Körper können schräg geschnitten
werden und liefern Eilinien.
Verschiedenes top
Weitere Gleichungen 3. und 4. Grades
... ...
|
Gleichungen der Form y²=(x-a)(x-b)(x-c)... liefern
Eilinien.
Links zwei Beispiele:
2y²=(x-1)(x-2)(x-3) und y²=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
|
Das
Folium
 ...
|
Die Polargleichung r(t)=cos³t erzeugt das Folium
oder das falsche Kepler-Ei. |
Ein krummes
Ei
"Jedes legt noch schnell ein Ei und dann kommt der Tod
herbei."
... ...
|
Die Polargleichung r(t)=sin³t+cos³t liefert
ein krummes Ei. |
|
Stehendes
Ei
...
|
Torsten Sillkes Ei des Kolumbus
y^4+10y^2x^2+5x^4 = y |
Neue
Eier
Diese Eilinien entdeckte Florian Blaschke (Email vom
02.07.2016).
x^1.5-1.5^0.5x+y^2 = 0
|
x^1.5-a^0.5x+y^2 = 0 mit a=1, 2 und 3
|
|
Neues Ei
... |
Diese Eilinie entdeckte Martin Vladimirov (Email vom
23.09.2018).
2y(x^2)+e*(y-3)^2=6.4
Dabei ist e die eulersche Zahl. |
Ein
neues Ei
... |
Adrian Skovgaard entdeckte diese Webseite und schickte
ein neues Ei.
x^2 = 3*sqrt(2y+1)-2y-3
(Email zugesandt am 27.04.2020) |
Ein neues Ei
... |
Jean-Claude Babois fand eine Gleichung, in der "phi"
vom Goldenen Schnitt auftritt.
y^2+(1/phi)*[sqr( x)-1/phi]^2=(1/10)*(1/phi).
(Email zugesandt am 20.12.2022)
|
Ein
neues Ei
... |
Arthur Bouma sandte mir, wie er schrieb, die mit Abstand
einfachste Gleichung einer Eikurve zu.
x^2+y^2 = 2^y
(Email zugesandt am 17.08.2023)
|
3D-Ei
 |
Arthur Bouma hatte die Idee, seine Formel auf die dritte
Dimension zu erweitern.
x^2+y^2+z^2= 2^z
Voila, es ergibt sich ein 3d-Ei.
Das linke Bild enstand mit dem einfachen Zeichenprogramm
Winplot dieser Webseite, das andere mit dem Programm Desmos
3D Graphing Calculator.
(Email zugesandt am 11.07.2024) |
Noch
ein neues Ei.
... |
Joeri Neyt entdeckte diese Webseite und schickte mir
ein neues Ei.
cosh(x)/e+y² = x
(Email zugesandt am 15.09.2024) |
Referenzen top
(1) Lockwood, E. H.: A Book of Curves.
Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 157,
1967.
(2) Martin Gardner: The Last Recreations,
Hydras, Eggs, and Other Math.Mystifications, Springer, New York
1997
(3) Sz.-Nagy, Gyula: Tschirnhaussche Eiflaechen und Eikurven.
Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1, 36-45 (1950). Zbl 040.38402
(4) Ulrich/Hoffman: Differential-
und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld 1975
(5) Martin Gardner: Mathematischer
Karneval, Frankfurt/M, Berlin 1977
(6) Gellert...: Kleine Enzyklopädie
- Mathematik, Leipzig 1986
(7) Wolfgang Hortsch: Alte und neue Eiformeln in der
Geschichte der Mathematik, München, Selbstverlag 1990, 30S
(8) Gebel und Seifert: Das Ei einmal anders betrachtet,
Junge Wissenschaft 7 (1992)
(9) Hans Schupp, Heinz Dabrock:
Höhere Kurven, BI Wissenschaftsverlag 1995
(10) Martin Gardner: Geometrie
mit Taxis, die Koepfe der Hydra und andere mathematische Spielereien, Basel
1997,
Deutsche Ausgabe von (2)
(11) Elemente der Mathematik 3
(1948)
(12) Karl Mocnik: Ellipse, Ei-Kurve
und Apollonius-Kreis, Praxis der Mathematik. (1998) v. 40(4) p. 165-167
(13)W. A. Granville: Elements of
the differential and integral calculus, Boston, (1929)
(14) Heinz Haber (Hrsg.): Mathematisches
Kabinett, München 1983 [ISBN 3-423-10121-0]
Eilinien im Internet
top
Deutsch
Michael Hinterseher
Eilinien
(mit Klotoiden)
Projekt der Universität Würzburg
Mathematik
rund ums Ei
Wikipedia
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(Geometrie),
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Englisch
André Heck
A
potpourri of mathematical egg curves
CARLOS CALVIMONTES ROJAS
GEOMETRY
OF THE PARABOLA ACCORDING TO THE GOLDEN NUMBER
Chickscope project at the Beckman Institute
Eggmath
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Oval,
Cartesian
Ovals,
Cassini
Ovals,
Ellipse,
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and Rollett's Egg, Mosss
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Superellipse,
Jan Wassenaar
2dcurves
Apollonian
cubic,
Cubic
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Cartesian
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Cassini(an)
oval, |
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Paul L. Rosin
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Richard Parris (Freeware-Programme)
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The MacTutor History of Mathematics archive (Created
by John J O'Connor and Edmund F Robertson)
Cassinian
Oval, Folium,
Cartesian
Oval
Torsten Sillke
Egg
shaped curves
Granville's egg - quartic [Granville 1929]
Cubic curves as perturbated ellipse
Mechanical egg curve construction by a two bar linkage
- a quartic
Polynomials making chains of eggs
Newton's cubic: Elliptic curve
Apollonian cubic
Transforming the ellipse |
Limacon Graphics Gallery
Toric sections - hippopede of Proclus: analyzed by Perseus
The Family r = cos^p(phi) or [Münger
Eggs]
Multifocal Curves - Tschirnhaussche Eikurven
Pivot transform construction of Path-curves
Bezier Curve
References |
Wikipedia
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the Great (Fabergé egg),
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Columbus
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Zvonimir Durcevic
CONIC
SECTIONS AND THEIR SPECIAL CASES
Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
COURBES
2D, OVALE
DE DESCARTES, ELLIPSE,
FOLIUM
SIMPLE, OEUF
DOUBLE,
Oeuf
d'Ehrhart, ŒUF
DE GRANVILLE, COURBE
DE ROSILLO, OVOÏDE
Serge MEHL
Ovale,
Ovales
de Cassini
Holländisch
NN (published in: Pythagoras, wiskundetijdschrift
voor jongeren, december 2000)
Een eitje,
zo'n eitje
Pythagoras
De
ei-kromme (page 12)
Usbekistanisch
admin @ arbuz.uz
u cassini.html
Dänisch
Erik Vestergaard
Ellipser
og æg,
Piet
Heins Superellipse
Tschechisch
Jirka Landa
Rovnice vajícka
- jednoduchá jako Kolumbovo vejce :-), Velikonocní
speciál (Video)
Japanisch
Nobuo YAMAMOTO
Equation
of Egg Shaped Curve of the Actual Egg is Found, Equation
of Egg Shaped Curve II, Equation
of Egg Shaped Curve III
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2000 Jürgen Köller
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