Viviani-Kurve 
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Was ist die Viviani-Kurve?
Parallelprojektion auf die Hauptebenen
Schnittlinie von Kugel und Zylinder
Vivianis Kurve als Schnittlinie anderer Flächen
Verschiedenes
Bekannte Raumkurven
Viviani-Kurve im Internet
Referenzen.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist die Viviani-Kurve?
...... Die Viviani-Kurve ist eine Raumkurve mit der Parameterdarstellung 
x(t)=R[1+cos(t)], 
y(t)=R*sin(t), 
z(t)=2R*sin[(1/2)t].

Dabei gilt 0<=t<=4pi.


Der Name geht auf den italienischen Mathematiker und Physiker Vincenzo Viviani 
(1622 bis 1703) zurück. 


Mit dem Stereo-Blick sieht man die Kurve dreidimensional.
 


Parallelprojektion auf die Hauptebenen    top
(1) Die Projektion der Kurve in z-Richtung in die x-y-Ebene ist ein Kreis mit dem Radius R.
...... Die Parameterdarstellung ist x(t)=R[1+cos(t)] und y(t)=R*sin(t).

Dabei gilt 0<=t<=2pi.


Herleitung der Koordinatengleichung
Es gilt x=R[1+cos(t)] oder x-R=R*cos(t) und y=R*sin(t) und weiter (x-R)²+y²=[R*cos(t)]²+[R*sin(t)]² oder (x-R)²+y²=R².

(2) Die Projektion der Kurve in y-Richtung in die x-z-Ebene ist eine Parabel
...... Die Parameterdarstellung ist x=R[1+cos(t)] und  z=2R*sin[(1/2)t].

Dabei gilt 0<=t<=4pi.


Herleitung der Koordinatengleichung
Vorweg: Es gilt die trigonometrische Formel sin²[(1/2)t]=1/2-(1/2)cos(t).
Die Kurve hat die Darstellung x=R[1+cos(t)] und  z=2R*sin[(1/2)t].
Dann ist z²=4R²*sin²[(1/2)t]=4R²[1/2-(1/2)cos(t)] oder z²=2R²-2R²cos(t) oder, nach cos(t) aufgelöst, 
2R²cos(t)=2R²-z² oder cos(t)=1-[1/(2R²)]z².
In die Gleichung x=R[1+cos(t)]=R+R*cos(t) wird cos(t) eingesetzt: 
x=R+R{1-[1/(2R²)]z²}=R+R-[1/(2R)]z²  oder x= -[1/(2R)]z²+2R.
Das ist eine Parabelgleichung.

(3) Die Projektion der Kurve in x-Richtung in die y-z-Ebene ist die Lemniskate von Gerono.
...... Die Parameterdarstellung ist y=R*sin(t) und  z=2R*sin[(1/2)t]. 

Dabei gilt 0<=t<=4pi.


Herleitung der Koordinatengleichung
Vorweg: Es gelten die Formel sin²[(1/2)t]+cos²[(1/2)t]=1 und sin²[(1/2)t]=1/2-(1/2)cos(t).
Die Kurve hat die Darstellung y=R*sin(t) und  z=2R*sin[(1/2)t].
Dann ist z²=4R²sin²[(1/2)t]oder z²==4R²[1/2-(1/2)cos(t)] oder =2R²-2R²cos(t) oder cos(t)=1-[1/(2R²)]z²
Andererseits ist y²=R²sin²(t)=R²-R²cos²(t)=R²-R²{1-[1/(2R²)]z²}² oder y²=R²-R²{1-2[1/(2R²)]z²+[1/(4R4)]z4} oder y²=z²-[1/(4R²)]z4. Multipliziert man beide Seiten mit 4R², ergibt sich 4R2y2-4R2z2+z4=0
Ist R=1, so gilt 4y²+4z²-z4-1=0.
Das ist die Koordinatengleichung der Lemniskate von Gerono, die bei Mathworld auch Eightcurve heißt.

Die bisherigen Bilder sind Bildschirmkopien des Applets von Markus Unterweger (URL unten).
Es folgen zwei Zeichnungen des Freeware-Programms WinPlot (URL unten).
......
Die rote Kurve ist Vivianis Kurve, die schwarzen sind ihre Projektionen in die Hauptebenen.

Das ist noch einmal die Parameterdarstellung.
x(t)=R[1+cos(t)] 
y(t)=R*sin(t) 
z(t)=2R*sin[(1/2)t]

Dabei gilt 0<=t<=4pi.


Eine andere Parameterdarstellung
...... In der Literatur findet man für die Kurve von Viviani auch die folgende Darstellung.
x(t)=sin(t)cos(t) oder x(t)=(1/2)sin(2t)
y(t)=sin²(t)
z(t)=cos(t)

Dabei gilt 0<=t<=2pi.

Die beiden Darstellungen beschreiben die gleiche Kurve. In dieser Darstellung reicht es aus, dass der Parameter t die Zahlen von 0 bis 2pi durchläuft. Außerdem ist diese Kurve um 90° um die z-Achse gedreht gegenüber oben.


Schnittlinie von Kugel und Zylinder    top
Ein Zylinder mit dem Radius R seines Grundkreises berührt eine Kugel mit doppelt so großem Radius 2R innen.
In der Aufsicht ist die Schnittlinie beider Körper ein Kreis, in der Perspektive vermeintlich die Viviani-Kurve. 
Die folgende Rechnung bestätigt das. 


Die Kugel hat in einem räumlichen, kartesischen Koordinatensystem die Darstellung x²+y²+z²=4R², der Zylinder die Darstellung (x-R)²+y²=R².
Es ist zu zeigen, dass die Koordinaten eines Punktes P(x|y|z) der Viviani-Kurve beide Gleichungen erfüllen. Man setzt dazu x(t)=R[1+cos(t)], y(t)=R*sin(t) und z(t)=2R*sin[(1/2)t] in die linken Terme der Koordinatengleichungen ein. 
Nach einigen Umformungen ergibt sich 4R² bzw. R².

x²+y²+z² = R²[1+cos(t)]²+R²sin²(t)+4R²sin²[(1/2)t] = R²+2R²cos(t)+R²cos²(t)+R²sin²(t)+4R²[1/2-(1/2)cos(t)] = 2R²+2R²cos(t)+2R²-2R²cos(t) = 4R²

(x-R)²+y² = x²-2Rx+R²-y² = R²[1+cos(t)]²-2R²[1+cos(t)]+R²-R²sin²(t) = R²-2R²cos(t)+R²cos²(t)-2R²-2R²cos(t)+R²-R²sin²(t)  = R² 

Vivianis Kurve als Schnittlinie anderer Flächen     top
Die Parametergleichungen x=sin(t)cos(t), y=sin²(t) und z=cos(t) führen zu folgenden Koordinatengleichungen. 
Aus x=sin(t)cos(t) und y=sin²(t) folgt x²-y+y²=0.
Aus y=sin²(t) und z=cos(t) folgt z²-y-1=0.
Aus x=sin(t)cos(t) und z=cos(t) folgt x2-z2+z4=0.
Das führt zu den folgenden Bildern von Flächen, die sich in der (roten) Kurve von Viviani schneiden.

z²-1-y=0 und x²-y+y²=0

x2-z2+z4=0 und x²-y+y²=0


Man kann auch alle drei Parametergleichungen kombinieren. 
Aus x²=sin²(t)cos²t folgt x²=yz² oder x²-yz²=0. Das ergibt eine etwas kompliziertere Fläche im Raum. 

x²-y²z²=0

x²=y²z² und x²-y+y²=0
Fügt man noch den Zylinder hinzu, so wird die Viviani-Kurve als Schnittlinie deutlicher.

Verschiedenes  top
Viviani-Körper
...... Man kann das Augenmerk nicht auf Vivianis Kurve, sondern auf den Körper legen, der sowohl zur Kugel als auch zum Zylinder gehört. Dieser "Kern" heißt dann auch Viviani-Körper. 


Zylindrische Bohrung
......
...
Man verschiebt den Zylinder innerhalb der Kugel zur Mitte hin. 

Dann entstehen aus Vivianis Kurve zwei parallel liegende Kreise.

Diese Anordnung kennt man von einer Perle.


Durchdringung zweier Zylinder
Die Zylinderachsen schneiden sich und stehen aufeinander senkrecht. 
...
Die Zylinder werden beschrieben mit 
x²+y²=R²
x²+z²=R².
Die Schnittlinien haben die Darstellung
x=R*sin(t)
y=+R*sqrt[1-sin²(t)]
z=R*cos(t)
x=R*sin(t)
y=-R*sqrt[1-sin²(t)]
z=R*cos(t)

0<=t<=2pi


...... In der Aufsicht erscheinen die Zylinder als Rechtecke und die Schnittlinien als Strecken.

Aus x²+y²=R² und x²+z²=R² folgt nämlich y²=z² oder y=z /\ y=-z.

Die Schnittlinien entstehen auch, wenn man die Zylinder und die Halbierungsebenen der Hauptebenen z=y und z=-y zum Schnitt bringt. Dann entstehen Ellipsen.

Die Schnittlinien sind also Ellipsen mit den Halbachsen R und sqrt(2)R.


Sattelkurve
...... Beim Variieren der Parametergleichungen geriet ich an folgende einfache Gleichungen. 
x(t)=cos(t) 
y(t)=sin(t) 
z(t)=sin(2t) oder z(t)=2sin(t)cos(t)

Sie führen zur einer einfach geschlossenen Raumkurve, der Sattelkurve.


....
Hyperboloid..
... Aus x(t)=cos(t) und y(t)=sin(t) folgt die Koordinatengleichung x²+y²=R². Das führt zum Mantel eines Zylinders.

Aus allen Gleichungen folgt die Koordinatengleichung z=2xy. 
Das führt zu einer Sattelfläche, dem Hyperboloid.

Die Sattelkurve ist die Schnittlinie beider Flächen.

Oben lag die Schnittlinie mit einem Zylinder auf einer Kugeloberfläche, hier auf einem Hyperboloid.


Bekannte Raumkurven     top
Schraubenlinie
...
Projektion in die xy- und yz-Ebene
x=cos(6t)
y=sin(6t)
z=t

0<=t<=2pi


Konische Spirale
.......
Projektion in die xy- und yz-Ebene
x=t*cos(6t)
y=t*sin(6t)
z=t

0<=t<=2pi


Eine Lissajous-Figur
...
Projektion in die xy- und yz-Ebene
x=cos(3t)
y=sin(3t)
z=sin(2t)

0<=t<=2pi


Ein Knoten
..................
Projektion in die xy- und yz-Ebene
x=cos(t)+2cos(2t)
y=sin(t)+2sin(2t)
z=2cos(3t)

0<=t<=2pi


Sinuskrone
...
Projektion in die xy- und yz-Ebene
x=3cos(t)
y=3sin(t)
z=sin(6t)

0<=t<=2pi


Viviani-Kurve im Internet top

Deutsch

Anne Bläsius
Die Viviani-Kurve
Annäherungen an Kurven und Flächen im Raum mit Nutzung moderner Medien
(Ich empfehle das Kapitel 4 für weitere Studien der Viviani-Kurve)

Jürgen Meier
Viviani Kurve

Jutta Gut
Schleifenkurven im Raum

Markus Unterweger
Parametrische Kurven im Raum (mit Applet)

Richard S. Palais   (3D-XplorMath)
Viviani Kurve (parametrisch)   (Applet)

Wikipedia
Raumkurve, 3D-Grafik-Software, Schraube (Mathematik)Spirale, Kurve (Mathematik)

Englisch

Barbara Kaskosz
Parametric curves   (Applet)

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Viviani's CurveCylinder-Sphere Intersection, Eight Curve

History of Mathematics Archive [University of St Andrews, Scotland] 
Vincenzo Viviani

Richard Parris
peanut Software (Programm WINPLOT) 

Wikipedia
Viviani's curve, Sphere-cylinder intersection, Vincenzo Viviani, Lemniscate of Gerono
Curved space, Helix, Spiral, Hilbert curve

Französisch

Robert FERRÉOL
COURBE DE VIVIANILEMNISCATE DE GERONO


Referenzen   top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2012 Jürgen Köller

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