Tetragon
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Was ist Tetragon?
Beschreibung der Vierecke
Etwas Mathematik
Legen von Figuren
Verschiedenes
Verwandte Legespiele
Nachbemerkung
Verwandte Legespiele im Internet. .
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Was ist Tetragon?
Tetragon ist ein Legespiel des Geometrie-Ingenieurs Urs B. Roth aus der Schweiz von 1984. 
Es besteht aus acht ähnlichen Vierecken aus Plexiglas, aus denen man ein Quadrat und viele weitere Figuren legen kann. 


Beschreibung der Vierecke 
Beim Tetragon-Spiel sind die Figuren acht ähnliche Vierecke.



... Das sind die Figuren noch einmal in perspektivischer Lage.

...... Jedes Viereck hat zwei gegenüber liegende rechte Winkel und zwei nebeneinander liegende gleiche Seiten.

...... Das Besondere ist, dass immer drei aufeinander folgende Vierecke eine zu den Ausgangsvierecken ähnliche Figur bilden. 

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Bestimmung des Streckfaktors k
............. Man betrachtet drei aufeinander folgende Vierecke, die zusammen ein neues Viereck bilden. 
Da sie ähnlich sind, stehen entsprechende Seiten in einem festen Verhältnis, nämlich k.
Bezeichnet man zwei gegenüber liegende Seiten des größten Vierecks mit 1 und k, so haben die übrigen Seiten die Längen k und k² bzw. k² und k³.


...... Zwei nebeneinander liegende Seiten sind gleich...............................................................................

...... Für die drei noch fehlenden Seiten gelten folgende Proportionen.
x:k = k3:1 oder x = k4,
y:k2 = k3:1 oder y = k5,
z:k3 = k3:1 oder z=k6..............................................................................................................

..... Damit sind alle Seiten durch Terme mit k ausgedrückt.

In der Zeichnung kann man als Grundseite ablesen: k6 + k4 + k2 = 1. 
Diese Gleichung gestattet es, den Streckfaktor k zu berechnen................................................


Die Gleichung k6 + k4 + k2 = 1 führt mit x=k2 zur kubischen Gleichung x3+x2+x-1=0.
Die reelle Lösung lautet:
Das führt zur Dezimalzahl x=0,54368901 an.
Dann ist der Streckfaktor k=sqrt(x)=0,73735270 oder sinnvoll gerundet k=0,7374.
Anmerkung:

Bei OEIS (URL unten) hat die kubische Gleichung x3+x2+x-1=0 die Lösung 
x = (1/3)*(-1-2/(17+3*sqrt(33))^(1/3)+(17+3*sqrt(33))^(1/3)) oder angenähert x=0.54368901269207636157... . 
Die Konstante r ist der reziproke Wert der sogenannten Tribonacci-Konstanten.

Bestimmung eines Innenwinkels eines Vierecks
...... Es gilt tan(alpha)=(k2+k4)/(1-k2) oder einfacher tan(alpha) = 1/k2
Setzt man nämlich (k2+k4)/(1-k2)= 1/k2, so ist (k2+k4)k2 =1-k2 oder  k6 + k4 + k2 = 1.

Aus tan(alpha)=1/k² folgt tan(alpha) = 1,8393 oder alpha=61,5°.

Der stumpfe Innenwinkel hat dann eine Größe von 118,5°.
 


Bestimmung der Flächeninhalte der Vierecke
...... Das größte Viereck besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken und hat einen Flächeninhalt von
A1 = (1/2)k2+(1/2)k4 = (1/2)k2(1+k2). 

Da die Vierecke ähnlich sind, stehen die Flächeninhalte im Verhältnis k². 
Dann ist A2=(1/2)k2(1+k2)*k2 =(1/2)k4(1+k2)
und allgemein An=(1/2)k2n(1+k2)  (n=1, 2, 3,..., 8).


Aufbau eines Quadrates

Legen von Figuren top
Die Vierecke sind Glieder einer geometrischen Folge bzw. Reihe und lassen sich deshalb zu einer Zickzacklinie oder zu einer Spirale anordnen.


Es gelingt, aus ihnen neben dem Quadrat gängige Vierecke wie das Trapez, das Rechteck und das Parallelogramm zu legen.

Wie bei Tangram hat auch das Legen abstrakter Figuren ihren Reiz. Die Figuren sind nach dem Schwierigkeitsgrad geordnet.

Aus der Sammlung von Urs B. Roth


Verwandte Legespiele  top
Tangram
Tangram besteht aus sieben Figuren, die aus kongruenten gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken aufgebaut sind.

Aufgabe ist es, aus allen sieben Figuren neue Figuren zu legen. Die Grundfigur ist das Quadrat rechts.

Trigon
...... Trigon ist eine Legespiel von Wilhelm Kienzle von 1951 und ist bei Naef 1958 erschienen.

Es enthält neun ähnliche, rechtwinklige Dreiecke, die eine geometrische Folge bilden. 
Zusammen bilden sie ein Quadrat mit einem quadratischen Loch, in dem ein Würfel liegt.
Ein Dreieck setzt sich aus zwei kleineren der Folge zusammen.
Die Seitenlängen des Dreiecks sind [ 1, sqrt(t), t ] mit t = [sqrt(5)+1]/2.
Die entscheidende Konstante ist also die des goldenen Schnitts. 

Mehr  findet man im Buch "Kurt Naef: der Spielzeugmacher" bei Google Books (URL unten).


Verschiedenes top
Zwei bemerkenswerte Strecken
1
....... Betrachtet man drei aufeinander folgende Vierecke, so gibt es in der Figur eine weitere Strecke der Länge k. 


Beweis
Für die folgende Rechnung werden die Formeln k6+k4+k2 = 1 (s.o.) und k8+1 = 2k2 bereitgestellt.
Die zweite Formel ergibt sich aus der Diagonale im rechten Viereck. Es gilt 2x der Satz des Pythagoras.
... Nach dem Satz des Pythagoras gilt  r2=k6+(k3+k5)2.
r2=k2[k4+(k2+k4)2]
= k2[k4+k4+2k6+k8]
=k2[2k4+2k6+2k2-1]
=k2[2(k4+k6+k2)-1]
=k2   wzbw.

2
........ Als Glieder einer geometrischen Reihe liegen die Vierecke im Winkelraum des Winkels beta=90°-alpha.

Die Lage von drei aufeinander folgenden Vierecken kann wegen tan(alpha)=1/k² durch die gekennzeichnete Einheitsstrecke angegeben werden.


Beweise des Satzes von Pythagoras
........ Der Satz des Pythagoras lautet bekanntlich: Im rechtwinkligen Dreieck gilt c² = a²+b².
Es ist möglich, mit Hilfe des Vierecks des Tetragons mit einem beliebigem, spitzem Innenwinkel Beweise zu finden.

1.Beweis

> Man ergänzt das rechtwinklige Dreieck zu einem Quadrat mit der Seitenlänge b und dem Flächeninhalt b².
> Das Dreieck unten schneidet man ab und setzt es oben rechts an.
> Es entsteht ein Viereck mit den Seiten c, c , a-b und a+b.
> Das Viereck hat den Flächeninhalt von (1/2)c²+(1/2)(a+b)(a-b).

Da das Ausgangsquadrat und das Viereck den gleichen Flächeninhalt haben, gilt 

b² = (1/2)c²+(1/2)(b+a)(b-a)
<=>   2b² = c²+(b²-a²)
<=>   c²=a²+b², wzbw.

Quelle: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#27, Proof #51

2.Beweis
> Man ergänzt wieder das rechtwinklige Dreieck zu einem Quadrat mit der Seitenlänge b und dem Flächeninhalt b².
> Zusätzlich zeichnet man das Dreieck noch einmal in die obere rechte Ecke ein.
> Das Dreieck unten schneidet man ab und setzt es oben rechts an.
> Es entsteht ein Viereck mit den Seiten c, c , a-b und a+b.
> Für den Flächeninhalt des Vierecks gilt A=(b-a)b+2*(1/2)ab =b².
Mit A=(1/2)c²+(1/2)(a+b)(a-b) gilt wieder c²=a²+b², wzbw.

Quelle: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#27, Proof #51

3.Beweis
Der Zerlegungsbeweis geht auf Perigal (1873) zurück.
........ In diesem Beweis werden vier kongruente Vierecke des Tetragons (allerdings mit  mit beliebigen Innenwinkel) zu einem Quadrat b² angeordnet und dann neu zu einem größeren Quadrat c²+x², so dass in der Mitte ein quadratisches Loch entsteht. Es muss x=a bewiesen werden. 

Dann gilt dann nämlich c² = a²+b². 


Vorbereitung
........ Vorweg sei festgestellt, dass man das Viereck in ein flächengleiches Quadrat verwandeln kann, indem man ein Dreieck rechts abschneidet und es oben ansetzt.
Bezeichnet man die Seiten des Dreiecks mit c/2, b/2 und a/2, so hat das Viereck die Seiten c/2, c/2, b/2-a/2 und b/2+a/2.

........ So ist leicht einzusehen, dass vier Vierecke ein Quadrat bilden.

Die Quadratseiten sind b. Sie werden aufgeteilt in die Teilstrecken b/2-a/2 und b/2+a/2.


........ Man liest ab:

x=[b/2+a/2]-[b/2-a/2] = a, wzbw.


In den bisherigen Beweisen wird dasselbe Prinzip verfolgt: Aus dem Quadrat wird das Viereck mit Seiten aus einer Differenz und einer Summe.

4.Beweis
Der Zerlegungsbeweis ist bekannt unter dem Namen "Stuhl der Braut".
........ Man gibt zwei nebeneinander liegende Quadrate mit den Seitenlängen a und b vor. Man teilt die Figur so auf, 
dass sie zu einem neuen Quadrat der Länge c zusammengesetzt werden können. Es gilt a²+b²=c².

Der Satz passt zu dieser Webseite, weil ein Viereck mit gegenüberliegenden rechten Winkeln auftritt.


Beweis
> Man geht von den beiden Quadraten aus.
> Man zeichnet die Seite c ein, so dass das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten a, b und c entsteht.
> Man verbindet einen Eckpunkt mit dem oberen, linken Eckpunkt des rechten Quadrats. Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.
> Nach dem Satz WWS sind die Dreiecke kongruent. Man zeichnet oben die Strecke a ein. 
> Man schneidet die Dreiecke unten ab und setzt sie oben an. Es ist ein Quadrat der Seitenlänge c entstanden.
Es gilt a²+b²=c².

Reptiles und Irreptiles
...... Reptiles sind Figuren, die man aus kleineren kongruenten Kopien von ihnen legen kann.
(Das Wort sollte man nicht übersetzen, weil sonst das Wortspiel Rep(eat)-Tiles verloren geht.)

...... Sind die Teilfiguren nur ähnlich und bilden eine zu ihnen ähnliche Figur, so spricht man von Irreptiles. 

Insofern bilden drei aufeinander folgende Vierecke des Tetragons Irreptiles.


...... Eine Sammlung von Irreptiles findet man bei Erich Friedmann von der Stetson University in DeLand, Fla. (URL unten). 

Darunter ist auch die links stehende Konstruktion von Erich Friedmann. 

Die Vierecke sind allgemeiner. Sie haben zwar auch zwei gegenüber liegende rechte Winkel, aber keine gleiche Seiten. Beim Viereck des Tetragons ist a=k.


Nachbemerkung  top
Dieses ist eine Neubearbeitung meiner Webseite Tetragon. Die alte Version vom April 2013 hatte das Schlusswort "Ruedi Lang wies mich auf das Legespiel hin. Er hat sich intensiv mit ihm beschäftigt und sandte mir umfangreiches Informationsmaterial zu, das ich für diese Seite verwende."


Im Januar 2014 fand der Entwickler des Spiels, Herr Urs B. Roth, diese Seite und stellte mir weiteres Material zur Verfügung, mit dem ich sie jetzt mit seinem Einverständnis ergänze. 
Urs B. Roth
Atelier für Konkrete Kunst
Räffelstr.25   8045 Zürich
Tel/Fax 044 450 45 00
ubroth (at) bluewin.ch

In der Kulturzeitschrift "du" Nr. 10 vom Oktober 1988 äußert er sich zu Tetragon:
"Auf der Suche nach Formen, die sich in zu sich selbst ähnlichen Formen zerlegen lassen, stieß ich auf ein spezielles Viereck mit zwei rechten Winkeln. Eine geometrische Folge solcher Vierecke hat die Eigenschaft, dass jedes Element aus der Summe der drei vorangegangenen Elemente gebildet werden kann. Durch Zufall entdeckte ich, dass sich 8 aufeinanderfolgende Teile dieser Folge zu einem Quadrat zusammensetzen lassen.
Aus diesen 8 Teilen lassen sich aber auch eine Vielzahl anderer Figuren (Rechteck, Parallelogramm, Trapez, etc.) bilden. Dies inspirierte mich zu einem Legespiel in Anlehnung an das berühmte chinesische Tangram." (Auszug)

Torsten Sillke und Urs B. Roth veranlassten mich, meine ursprüngliche Rechnung zu vereinfachen. 
Statt eines Innenwinkels sollte man besser den Streckfaktor in den Mittelpunkt einer Berechnung stellen.

Verwandte Legespiele im Internet     top

Deutsch

Google Books
Kurt Naef: der Spielzeugmacher

Naef
Hersteller von Spielobjekte

Wikipedia
Abgeschrägtes Hexaeder



Englisch

Alexander Bogomolny
Pythagorean Theorem

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Naef Trigon Wooden Puzzle Swiss Made

Liste von Erich Friedman 
Reptiles - Problem of the Month (October 2002)

OEIS
A192918  The real root r of the cubic equation r^3 + r^2 + r - 1 = 0 is the reciprocal of the tribonacci constant A058265.
A058265  Decimal expansion of the tribonacci constant, the solution to x^3=x^2+x+1. 

Rob's Puzzle Page 
Naef Puzzles

Wikipedia
Generalizations of Fibonacci numbers, Snub cube, Rauzy fractal


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©  2013, überarbeitet 2014, Jürgen Köller

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