Anzahl der Palindrome top

Alle 9 einstelligen Zahlen 1 bis 9 sind Palindrome.

Es gibt auch 9 zweistellige Palindrome (11,22,...99).

Zu jeder zweistelligen Zahl kann man eineindeutig ein drei- und ein vierstelliges Palindrom bilden.
( Z.B. zu der Zahl 34 gibt es 343 und 3443)
Es gibt somit 90 dreistellige Palindrome und auch 90 vierstellige Palindrome.

Zu jeder dreistelligen Zahl kann man eineindeutig ein fünf- und ein sechsstelliges Palindrom bilden. 
(Z.B. zu der Zahl 562 gibt es 56265 und 562265.)
Es gibt somit 900 fünfstellige Palindrome  und auch 900 sechsstellige Palindrome.

Unter 1 Million gibt es 9+9+90+90+900+900 = 1998 Palindrome. 
Das sind 0,1998 % aller Zahlen. Etwa jede 500. Zahl ist ein Palindrom. 

Verteilung der Palindrome top
Die Palindrome sind nicht gleichmäßig verteilt. Das zeigt das folgende Diagramm, das die ersten 10.000 Zahlen (Darunter sind 198 Palindrome) erfasst. 

Und so geht es weiter.
Ausschnitt des 1000x1000-Graphen:

Vielfache von 9 top

Merkwürdige Gleichungen top

Produkte mit Einsen top

Ich vermute, dass alle Produkte aus Zahlen mit 1 Palindrome sind, solange ein Faktor 9 oder weniger Stellen hat. Alle Palindrome haben die Darstellung 123..........321. 

Die Quadratzahlen unter den Palindromen    top

121=11² 484=22² 676=26² 10201=101² 12321=111²

14641=121²  40804=202²  44944=212²  69696=264²  94249=307²

698896=836²  1002001=1001²  1234321=1111²  4008004=2002²  5221225=2285²

6948496=2636²  123454321=11111² . . ..

Kubikzahlen unter den Palindromen   top
343=7³                1331=11³       1030301=101³           1367631=111³ 

Die Primzahlen unter den Palindromen   top
Alle palindromische 3stellige Primzahlen:

101 131 151 181 191

313 353 373 383 .

727 757 787 797 .

919 929 . . .

Es gibt keine 4stellige palindromische Primzahlen. Sie haben den Teiler 11. (Example:4554=4004+550=4x1001+550=4x91x11+11x50=11x(4x91+50)
Es gibt 93 5stellige palindromische Primzahlen.
Es gibt keine 6stellige palindromische Primzahlen. Sie haben den Teiler 11.
Es gibt 668 7stellige palindromische Primzahlen.

Produkte von Nachbarzahlen, die zu Palindromen führen    top

16x17 =  272 77x78 = 6006 538x539 = 289982 1621x1622 = 2629262 2457x2458 = 6039306

77x78x79 = 474474 . . . .

Produkte    top

12x42 = 24x21 12x63 = 36x21 12x84 = 48x21 13x62 = 26x31

13x93 = 39x31 14x82 = 28x41 23x64 = 46x32 23x96 = 69x32

24x63 = 36x42 24x84 = 48x42 26x93 = 39x62

34x86 = 68x43 36x84 = 48x63 46x96 = 69x64

Paare von Quadratzahlen top

12² = 144 und 21² = 441  13² = 169 und 31² = 961 . .

102²=10404 und 201²=40401 103²=10609 und 301²=90601 112²=12544 und 211²=44521 113²=12769 und 311²=96721

1012²=1024144 und 2101²=4414201 1112²=1236544 und 2111²=4456321 1212²=1468944 und 2121²=4498641 2012²=4048144 und 2102²=4418404

Benedikt Plasa, danke für den Hinweis.

Palindromische Daten top
Im letzten Jahrhundert war das Jahr 1991, in diesem Jahrhundert ist das Jahr 2002 jeweils das einzige palindromische Jahr. Gibt man die Zahl 2002 in den Taschenrechner, so bleibt sie, auch wenn man den Rechner auf den Kopf stellt. 
Das nächste palindromische Jahr wird 2112 sein.

196-Problem   top
Wähle eine beliebige Zahl. Addiere die von rechts nach links gelesene Zahl (Spiegelzahl) zu der ursprünglichen Zahl. Vielleicht ist die Summe ein Palindrom. Wenn nicht, addiere zur Summe die Spiegelzahl der Summe. Vielleicht hat sich jetzt ein Palindrom ergeben. Wenn nicht, wiederhole den Prozess. 
Fast alle Zahlen haben am Ende ein Palindrom. 
Beispiel: 49       49+94=143       143+341=484 !
Es gibt etliche Zahlen, die offenbar kein Palindrom haben. Die kleinste Zahl ist 196. Es fehlt noch ein mathematischer Beweis.

Referenzen top
(1) Walter Lietzmann, Sonderlinge im Reich der Zahlen, Bonn, 1947
(2) Walter Sperling, Auf du und du mit Zahlen, Rüschlikon-Zürich, 1955
(3) Erwein Flachsel, Hundertfünfzig Mathe-Rätsel, Stuttgart 1982, Seite 138 f.
(4) Martin Gardner, Mathematischer Zirkus, Berlin 1988, Seite 259 ff.

Palindrome im Internet    top

Englisch

Chip Burkitt
Reversible Factors and Multiples

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Palindromic Number

Jason Doucette
196 Palindrome Quest

John Walker
Three Years Of Computing (Final Report On The Palindrome Quest, May 25th, 1990) 

MathPages
On General Palindromic Numbers

Patrick De Geest
Palindromes

Wikipedia
Palindromic number,  Palindromic prime,  Emirp, Lychrel number, Palindrome

Hans-Jürgen Caspar
Palindromzahlen

Karl Hovekamp
Palindromzahlen in adischen Zahlensystemen

Silvan Maaß
Palindrome aller Art

Wikipedia
Zahlenpalindrom, Primzahlpalindrom, Mirpzahl, Lychrel-Zahl, Palindrom,