Logarithmusfunktion
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Was ist die Logarithmusfunktion?
Drei Logarithmen
Rechengesetze
Logarithmus als Rechenhilfe
Logarithmische Skala
Ableitung und Stammfunktion
Ermittlung der Logarithmen
Reihenentwicklungen
Logarithmusfunktion im Internet
Referenzen.
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Was ist die Logarithmusfunktion?
...... Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion mit f(x)=ax (a>0). D.h., dass in der Darstellung  y=ax die Variablen x und y vertauscht werden: x=ay

Es wird also bei fester Basis nicht dem Exponenten eine Potenz zugeordnet, sondern der Potenz ein Exponent.

Statt der impliziten Darstellung x=ay führt man die Schreibweise y=loga(x) bzw. g(x)=loga(x) ein.
Man liest loga(x) als Logarithmus von x zur Basis a. Der Logarithmus ist eine Hochzahl.


Beispiele
Die Gleichung 9=3y führt zu y=2 oder log3(9)=2.
Die Gleichung 3=3y führt zu y=1 oder log3(3)=1.
Die Gleichung sqrt(3)=3y führt zu y=1/2 oder log3[sqrt(3)]=1/2.
Die Gleichung 1/3=3y führt zu y= -1 oder log3(1/3)= -1.

Drei Logarithmen top
Von Bedeutung ist die Logarithmusfunktion, wenn die Basis 2, e (eulersche Zahl) oder 10 ist.
Nach ISO 31-11 gibt es für die zugehörigen Funktionsterme einfachere Schreibweisen, nämlich

log2(x)=lb(x), loge(x)=ln(x) und log10(x)=lg(x).
lb(x) heißt binärer oder dualer, ln(x) natürlicher und lg(x) dekadischer Logarithmus.

...... Die Graphen links gehören zu 
g1(x) = lb(x), g2(x) = ln(x) und g3(x) = lg(x). 
Beschreibung
>Die Logarithmusfunktion hat bei dem größtmöglichen Definitionsbereich D=|R+ den Wertebereich W=|R.
>Der Graph ist streng monoton steigend.
>Die y-Achse ist Asymptote.
>Die y-Werte sind für x<1 negativ und für x>1 positiv. 
>Für x gegen Unendlich geht auch y gegen Unendlich.

Rechengesetze  top
Die Potenzgesetze führen zu den Logarithmusgesetzen (I), (II), (III) und (IV).
(I) log(pq)=log(p)+log(q)
Herleitung
Es sei h=loga(p) oder ah=p und k=loga(q) oder ak=q.
Dann ist  pq = ah * ak=ah+k
Die Potenzgleichung ah+k =pq führt zu loga(pq)=h+k oder loga(pq)=loga(p)+loga(q), wzbw..


(II) log(p/q)=log(p)-log(q)
Herleitung
Es sei h=loga(p) oder ah=p und k=loga(q) oder ak=q.
Dann ist  p/q = ah / ak=ah-k
Die Potenzgleichung ah-k =p/q führt zu loga(p/q)=h-k oder loga(p/q)=loga(p)-loga(q), wzbw..

(III) log(xn)=n*log(x)
Herleitung
Es sei h=n*loga(x) oder h/n = loga(x) oder ah/n=x. 
Die Potenzgleichung ah/n =x führt zu ah = xn oder loga(xn)=h oder loga(xn)=n*loga(x), wzbw..

(IV) log(x1/n)=(1/n)*log(x)
Herleitung
Es sei h=(1/n)*loga(x) oder hn = loga(x) oder ahn=x. 
Die Potenzgleichung ahn =x führt zu ah = x1/n oder loga(x1/n)=h oder loga(x1/n)=(1/n)*loga(x), wzbw..

Basisumrechnung
Es stellt sich z.B. die Frage, welcher Zusammenhang zwischen den Logarithmen lg(x) und ln(x) besteht.
Behauptung: lg(x)=ln(x)/ln(10)
Beweis: 
Es folgt aus y=lg(x) oder y=log10(x) die Potenzgleichung 10y=x.
Dann ist ln(x)/ln(10) = ln(10y)/ln(10)=y*ln(10)/ln(10)=y. Das heißt aber lg(x) = ln(x)/ln(10), wzbw..

Auf dem gleichen Wege kann man allgemein zeigen: logb(x) = loga(x)/loga(b).

Ermittlung der Logarithmen       top
Im Allgemeinen sind die Logarithmen transzendente Zahlen, die angenähert als Dezimalbrüche angegeben werden können. Diese werden über konvergente Reihen gewonnen, dann aber in beliebiger Genauigkeit.
Taschenrechner
...... Es ist heute keine Schwierigkeit, sich Logarithmen zu verschaffen. Es gibt Taschenrechner.

Der TI30 z.B. hat dafür die Tasten LOG und LN.

Mit LOG bestimmt man z.B. lg(2) mit der Tastenfolge 2 LOG und erhält lg(2)=0.301029996.
Mit LN bestimmt man z.B. ln(2) mit der Tastenfolge 2 LN und erhält ln(2)=0.693147181.
Es ist unsinnig, alle Dezimalen vom Rechner zu übernehmen. 
Es genügen wohl vier Dezimalen, so dass gilt: lg(2)=0,3010 und ln(2)=0,6931.


Soll man umgekehrt die Potenz bestimmen, wenn der Logarithmus gegeben ist, so stehen die Tastenkombinationen 2nd LOG und 2nd LN bereit.
So berechnet man z.B. x=100,3010 durch die Tastenfolge 0.3010 2nd LOG und erhält x=1.99986187.
So berechnet man z.B. x=e0,6931 durch die Tastenfolge 0.6931 2nd LN und erhält x=1.999905641.
Gerundet ist das in beiden Fällen 1,9999 oder sinnvoll gerundet 2.


Logarithmentafel
In Vor-Rechner-Zeiten las man die Logarithmen (für die Multiplikation von Zahlen) aus Tabellen ab (1).
...... Das ist der Ausschnitt einer Tabelle. Man findet lg(2)=0,3010. Allerdings liefern die Logarithmentafeln nur die Ziffernfolge. Das Komma muss man selbst setzen, wie, das zeigen die folgenden Beispiele:
 
lg(0,2)=0,03010
lg(2)=0,3010
lg(20)=1,3010
lg(200)=2,3010
 
Wie man sieht, heißt die Zahl x in y=log10(x) auch Numerus.

Logarithmus als Rechenhilfe    top
Bevor es Rechner gab, erleichterten dekadische Logarithmen aus Tafeln das Multiplizieren, das Dividieren, das Potenzieren und das Wurzelziehen, allerdings auf Kosten der Genauigkeit. 


Addieren statt Multiplizieren
Das Vorgehen soll am Produkt  896*271 erklärt werden.
>Aus dem Tafelwerk liest man ab: lg(896)=2,9523 und lg(271)=2,4330
>Die Summe der Logarithmen ist dann 2,9523+2,4330=5,3853.
>Aus dem Tafelwerk findet man rückwärts 5,3853=lg(242800).
>Ergebnis: 896*271=242800. Das Produkt 896*271=242816 ist auf 4 Stellen genau ermittelt worden.

Die Gleichung lg(896*271)=lg(896)+lg(271) ist die Erklärung.

Logarithmieren
Sind in einer Gleichung b=ax die Potenz und Basis gegeben, so berechnet man den Exponenten durch Logarithmieren. 
Das heißt, man geht von b=ax zu lg(b)=lg(ax) oder lg(b)=x*lg(a) und schließlich zu x=lg(b)/log(a) über.
Beispiel
282475249=7x  führt zu x=lg(282475249)/lg(7)=8,4510/0,8451=9,93  (Genauer Wert x=10).

Bestimmt man die Logarithmen z.B. mit dem Taschenrechner TI 30 genauer, so erhält man mit 
lg(896)+lg(271) = 8,4509804/0,84509804 = 10 den genauen Wert.

Multiplizieren mit dem Rechenstab
Schon bevor es Rechner gab, wurden die logarithmischen Tafeln durch den Rechenstab ersetzt. Man begnügte sich mit einer Genauigkeit auf etwa 3 Stellen.
Dieses Multiplizieren soll am Beispiel 121*127 erklärt werden.

>Man stellt die 1 der Grundskala der Zunge über 1.21 der Grundskala der Körpers.
>Man stellt den Läufer auf 1.27 der Skala der Körpers ein.
>Man liest darunter die Ziffernfolge ab: 1538. (Die 8 ist unsicher.)
>Durch die Überschlagrechnung 100*100=10.000 ermittelt man die Größenordnung des Produkts.
>Ergebnis: 121*127=15.380. Das genaue Produkt ist 15367.


Es handelt sich auch hier um das Addieren von Logarithmen. Man hängt Strecken hintereinander.

Logarithmische Skala top
Wählt man für der y-Achse eine logarithmische Skala, wie sie beim Rechenstab auftritt, so werden die Graphen von Exponentialfunktionen zu Geraden.
...... Logarithmiert man die Funktionsgleichung y=10x, so erhält man lg(y)=lg(2)x oder lg(y)=x.

Trät man lg(y) gegen x auf, so erhält man als Graphen die erste Winkelhalbierende. Das ist die rote Gerade.

Die Skala der y-Achse heißt logarithmische Skala.
Es gilt z.B. lg(100)=2 und lg(0,01)= -2.

Die schwarze Gerade ergibt sich durch Logarithmieren von y=ex als lg(y)=lg(e)*x, die grüne Gerade als lg(y)=lg(2)*x.


...... Verwendet man für beide Achsen eine logarithmische Skala, so stellt sich z.B. die Normalparabel mit p(x)=x2 als Nullpunktgerade mit der Steigung 2 dar. 

Logarithmiert man die Gleichung y=x2 , so erhält man nämlich lg(y)=2*lg(x). 

Der Vorteil dieser Darstellung liegt darin, dass ein weiter Defintionsbereich und damit auch Wertebereich dargestellt werden kann.


...... Wegen der Beschriftung der Skalen mit Potenzen von 10 entsteht ein quadratisches Gitter. 

Beim doppelt-logarithmischen Papier sieht man, dass bei einer feineren Einteilung die Abstände nicht gleich sind.


Ableitung und Stammfunktion      top
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf den natürlichen Logarithmus.
Ableitung
...... Die Logarithmusfunktion ist als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion differenzierbar.

Behauptung: Die Ableitung der Funktion mit g(x)=ln(x) ist g'(x)=1/x.

Herleitung
Aus y=ln(x) folgt x=ey
Für die Ableitung gilt allgemein g'(x)=1/f'(y), hier also [ln(x)]'=1/(ey)=1/x, wzbw..


Stammfunktion
...... Behauptung: Die Stammfunktion der Logarithmusfunktion ist G(x)=x*ln(x)-x+C.

Herleitung
Nach der Produktregel gilt [x*ln(x)-x+C]'=ln(x)+x(1/x)-1=ln(x), wzbw..


Deutung als Flächenstück
...... Gegeben sei die Funktion h(x)=1/x. 

Dann gilt für das gelbe Flächenstück .

Die Logarithmusfunktion kann also als das Flächenstück, das von der x-Achse, dem Graphen der Funktion h(x)=1/x und den Vertikalen x=1 und x=t begrenzt wird, veranschaulicht werden.


Der Graph der Exponentialfunktion mit f(x)=ex begrenzt im zweiten Quadranten ein Flächenstück, das bis ins Unendliche reicht. Trotzdem ist die Fläche endlich, nämlich 1 FE.
......
Übertragen auf die Umkehrfunktion g(x)=ln(x) heißt das, dass das im vierten Quadranten eingeschlossene Flächenstück auch den Flächeninhalt 1 FE hat.

Reihenentwicklungen top
ln(1+x) und ln(1-x)
Eine bekannte Reihe ist ln(1+x)=x-(1/2)x²+(1/3)x³- ... mit dem Konvergenzbereich -1<x<=1.
Zur Herleitung
Man geht von der folgenden geometrischen Reihe aus.
1/(1-x)=1+x+x2+x3+ ... +xn-1+xn/(1-x)
Dann berechnet man ein Integral auf zweierlei Weise.

Man kann das Integral ganz rechts vernachlässigen [(2) Seite 176f.]. 
Auf diese Abschätzung gehe ich nicht ein.

Es gilt also ln(1-x)=-x-(1/2)x²-(1/3)x³- ... . Die Reihe ist konvergent für -1<=x<1.
Setzt man in -ln(1-x)=x+(1/2)x²+(1/3)x³+ ...den Randwert x=1 ein, so entsteht die Leibniz-Reihe 1+(1/2)+(1/3)+ ... . Sie ist divergent.


Ersetzt man x durch -x, so ergibt sich ln(1+x)=x-(1/2)x²+(1/3)x³- ... .
Die Reihe ist konvergent für -1<x<=1.
Setzt man in ln(1+x)=x-(1/2)x²+(1/3)x³- ... den Randwert x=1 ein, so ergibt sich ln(2)=1-1/2+1/3-1/4+ ... .

ln(1-x)/ln(1+x)
Oben steht, dass man die Logarithmen über Reihen berechnen kann. Die beiden Reihen zu ln(1-x) und ln(1+x) sind weniger gut zur Berechnung geeignet, da sie nur langsam konvergieren
[(3) Seite 126f. und Zahlenbeispiel unten].
Aber man kann die beiden Reihen kombinieren. 
Es gilt ln[(1+x)/(1-x)]=2[x+(1/3)x3+(1/5)x5+...].
Zur Herleitung
Für -ln(1-x) schreibt man ln[1/(1-x)].
Dann addiert man die Reihen ln[1/(1-x)]=x+(1/2)x²+(1/3)x³+ ... und ln(1+x)=x-(1/2)x²+(1/3)x³- ... gliedweise und erhält ln[(1+x)/(1-x)]=2x+(2/3)x3+(2/5)x5+... =2[x+(1/3)x3+(1/5)x5+...].
Zahlenbeispiel: 

> Die Folge zu ln(1+x) ergibt für x=2 und 4 Summanden ln(2)=1-1/2+1/3-1/4=0,58.
> Die Folge zu ln(1-x)/ln(1+x) ergibt für x=1/3 und 3 Summanden ln(2)=2[1/3+(1/3)(1/3)3+(1/5)(1/3)5]=0,693004114 oder gerundet 0,693.
> Der Tabellenwert ist  ln(2)=0,693147181.

Euler-Mascheroni-Konstante
In diesem Zusammenhang ist die Folge (1+1/2+1/3+ ... 1/n)-ln(n) bemerkenswert.
Die Folge ist konvergent mit dem Grenzwert gamma, der Euler-Mascheroni-Konstante. Sie hat die Dezimalbruchdarstellung  gamma=0,5772... .
Quelle: http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html


exp(x), exp(-x), -exp(-x), -exp(x) 

-log(x), -log(-x), log(-x), log(x)

Logarithmusfunktion im Internet    top

Deutsch

Jutta Gut
Logarithmen, Übungen, Ergebnisse

K. Eckhardt  (Universität Hohenheim)
Logarithmische Skalen   (.pdf Datei)

W. Greite (Leibniz Universität Hannover)
Integration von Potenzreihen

Wikipedia
Logarithmus, Dekadischer Logarithmus, Exponentialfunktion, Integrallogarithmus, Harmonische Reihe, Euler-Mascheroni Constant

Englisch

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Logarithm, Common Logarithm, Natural Logarithm, Natural Logarithm of 2Cologarithm,
Alternating Harmonic SeriesHarmonic Series

Juergen Kummer
Draw Function Graphs

Wikipedia
Logarithm, Common logarithm, Natural logarithm, Exponential function


Referenzen   top
(1) F. G. Gauß: Vierstellige logarithmische und trigonometrische Tafeln, Stuttgart 1953
(2) Lambacher/Schweizer: Analysis, Stuttgart 1954
(3) H.v.Mangoldt / K.Knopp: Einführung in die höhere Mathematik 2, Leipzig 1957 


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©  2012 Jürgen Köller

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