Kreise in einer Figur
Inhalt dieser Seite
Was sind Kreise in einer Figur?
Kreise im Kreis
Zehn Kreise im Dreieck
Weitere Kreise im Dreieck
Neun Kreise im Quadrat
Weitere Kreise im Quadrat
Kreise in einer Figur im Internet
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was sind Kreise in einer Figur?
Vor zehn Jahren (2003) erstellte ich eine Webseite zum Thema Kreise im Kreis. Schon damals plante ich eine weitere Webseite, in der Kreise in anderen einfachen Figuren wie im gleichseitigen Dreieck oder im Quadrat untersucht werden. Hier ist nun die Seite.
 


Kreise im Kreis      top
Bei diesem Thema verweise ich auf meine Webseite Kreise im Kreis. Dort findet man u.a. die folgenden Figuren.
Sieben Kreise im Kreis
...... In den Formeln ist
R der Radius des Umkreises
r der Radius eines (gelben) Kreises
x der Radius eines (blauen) Lückenkreises 
y der Radius des (grünen) Zentralkreises
r=[2sqrt(3)-3]R
x=(1/11)[2sqrt(3)-1]R 
y=[7-4sqrt(3)]R


Fünf Kreise in Kreis
...... Legt man in einen Kreis zwei (gelbe) Kreise nebeneinander, so ist Platz für drei weitere Kreise.

Ist R der Radius des großen Kreises, r der Radius eines gelben Kreises, x des blauen und y eines grünen Kreises, so gilt
r=(1/2)R, x=(1/3)R und y=(1/4)R. Die Durchmesser der vier verschiedenen Kreise stehen im Verhältnis 12:6:4:3.


Ringe aus Kreisen im Kreis

Drei Kreise im Umkreis 1
......
Legt man um ein gleichseitiges Dreieck den Umkreis, so ist Platz für drei weitere gleiche Kreise.

Die Kreise berühren den Umkreis innen und das Dreieck außen.

Ist die Seitenlänge a des Dreiecks gegeben, so hat ein Kreis den Radius r=(1/12)sqrt(3)a.


Drei Kreise im Umkreis 2
...
Legt man um ein gleichseitiges Dreieck einen Umkreis, so ist Platz für drei weitere gleiche Kreise.

Die Kreise berühren den Umkreis und das Dreieck innen.

Ist die Seitenlänge a des Dreiecks gegeben, so hat ein Kreis den Radius r=(1/4)sqrt(3)a.


Vier Kreise im Umkreis
...... Für den Durchmesser des Umkreises gilt sqrt(2)a = a+4r. 

Daraus folgt r=(1/4)[sqrt(2)-1]a.


Soddy-Kreise
......
...
Gegeben sind drei Kreise ("Soddy-Kreise") mit ihren Radien r1, r2 und r3, die sich paarweise außen berühren. Gesucht ist der Kreis, der die drei Kreise auch noch berührt.

Es gibt zwei Lösungen. Die gegebenen Kreise werden außen oder innen berührt.
Für die Radien gilt
 

Mehr auf der Webseite Soddy Circles von MathWorld (URL unten)

Zehn Kreise im Dreieck      top
...... Gegeben sei ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a mit 10 sich berührenden Kreisen im Inneren. 

Gesucht sind die Radien der Kreise.


Lösungen
Drei große Kreise
...... ...... Gegeben sei die Seitenlänge a des umfassenden Dreiecks, gesucht ist der Radius r eines Innenkreises.
Verbindet man die Mittelpunkte der Kreise, so entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 2r, der Höhe h=sqrt(3)r und dem Radius des Umkreises R=(2/3)sqrt(3)r. - Das gleichseitige Dreieck hat die Höhe h'=(1/2)sqrt(3)a und den Radius des Umkreises R'=(1/3)sqrt(3)a.
Dann gilt h'=r+sqrt(3)r+x und x=R'-R=(1/3)sqrt(3)a-(2/3)sqrt(3)r. Weiter gilt 
(1/2)sqrt(3)a=r+sqrt(3)r+(1/3)sqrt(3)a-(2/3)sqrt(3)r. Das führt zu r=(1/4)[sqrt(3)-1]a.

Drei Kreise in den Ecken
...... ...... Gegeben sei die Seitenlänge a des umfassenden Dreiecks, gesucht ist der Radius r eines Innenkreises an der Spitze.

Verbindet man die Mittelpunkte der großen Kreise, so entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 2r, der Höhe h=(1/2)sqrt(3)(2r) und dem Radius des Umkreises Ra=(2/3)[(1/2)sqrt(3)2r].

Der Radius des Umkreises des Dreiecks mit der Seitenlänge a (nicht eingezeichnet) setzt sich aus vier Teilstrecken zusammen. 
(2/3)[(1/2)sqrt(3)a] = Ra+r+r1+x  oder  (1/3)sqrt(3)a= (2/3)sqrt(3)r+r+r1+x, wobei r=(1/4)[sqrt(3)-1]a ist und im blauen Dreieck sin(30grad)=r1/x gilt. - Nach einigen Rechenschritten erhält man r1=(1/12)[sqrt(3)-1]a.

Drei Kreise in den Seitenmitten
...... ...... Gegeben sei die Seitenlänge a des umfassenden Dreiecks, gesucht ist der Radius r eines Innenkreises an der Seitenmitte.
Verbindet man die Mittelpunkte der großen Kreise, so entsteht im Inneren ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 2r, der Höhe h=(1/2)sqrt(3)(2r) und dem Radius des Inkreises Ri=(1/3)[(1/2)sqrt(3)2r].
Der Radius des Inkreises des Dreiecks mit der Seite a  (nicht eingezeichnet) setzt sich aus drei Teilstrecken zusammen. 
(1/3)[(1/2)sqrt(3)a] = Ri+x+r2   oder  (*) (1/6)sqrt(3)a= (1/3)sqrt(3)r+x+r2, wobei r=(1/4)[sqrt(3)-1]a gilt.
Im blauen Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras (**) (r+r2)²=x²+r².
Die Gleichungen (*) und (**) enthalten die Suchvariablen x und r2
Nach längerer Rechnung erhält man r2=(1/16)[sqrt(3)-1]a.

Ein Kreis in der Mitte
...... ...... Gegeben sei die Seitenlänge a des umfassenden Dreiecks, gesucht ist der Radius r des kleinen Kreises in der Mitte.
Verbindet man die Mittelpunkte der großen Kreise, so entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 2r, der Höhe h=(1/2)sqrt(3)(2r) und dem Radius des Umkreises Ra=(2/3)[(1/2)sqrt(3)2r].
Der Radius des Umkreises des kleinen Dreiecks (nicht eingezeichnet) setzt sich aus zwei Teilstrecken zusammen. 
(2/3)[(1/2)sqrt(3)2r] = r+r3, wobei r=(1/4)[sqrt(3)-1]a ist.
Nach längerer Rechnung erhält man r3=(1/12)[9-5sqrt(3)]a.

......
Es ist bemerkenswert, dass sich die Radien der ersten drei Kreise in ganzen Zahlen verhalten, r : r1 : r2=12 : 4 : 3.

Es folgt ein Screenshot des passenden Geogebra-Programms, geschrieben von Peter Katzlinger und mir freundlicherweise zur Verfügung gestellt.

Das ist das zugehörige Programm. Es benötigt das Java Runtime Environment (JRE), das man erhält, wenn man Geogebra als (freie) Software installiert. Das Besondere ist, dass man sich die einzelnen Schritte zum Erstellen der Zeichnung anzeigen lassen kann. Dazu geht man unten rechts auf das Feld Abspielen. Vorher sollte man die Größe der Zeichnung mit dem Mausrädchen dem Bildschirm anpassen. 


Weitere Kreise im Dreieck      top
Inkreis und drei Kreise in den Ecken
...... ...... Der Höhe des Dreiecks mit der Seitenlänge a setzt sich aus drei Teilstrecken zusammen, nämlich dem Durchmesser des Inkreises, dem gesuchten Radius des Kreises an der Spitze und der Strecke x. 
Es gilt sin(30°)=r/x oder x=2r.
Das heißt (1/2)(sqrt(3)a=2*(1/3)[(1/2)sqrt(3)a]+3r.

Nach einigen Rechenschritten erhält man r=(1/18)sqrt(3)a.


Malfatti Problem
...... ...... ......: Drei Kreise in einem beliebigen Dreieck, die sich außen und die Dreiecksseiten innen berühren, heißen Malfatti-Kreise.

...... Der italienische Mathematiker Gianfrancesco Malfatti (1731 bis 1807) hat sich nämlich mit dem Problem beschäftigt, ein beliebiges Dreieck mit drei Kreisen so auszufüllen, dass sie zusammen einen möglichst großen Flächeninhalt bilden.
Das Problem ist rechnerisch und zeichnerisch gelöst.

Diese Zeichnung und Näheres findet man auf der Webseite Malfatti's Problem bei Mathworld (URL unten).


Ist das Dreieck gleichseitig, so gibt es einfache Lösungen.

72,9 %

73,9 %
Links stehen die Lösungen für den Fall gleicher Kreise und für den Fall verschiedener Kreise.
Quelle: http://en.wikipedia.org/wiki/Malfatti_circles

Die Prozentzahlen geben den Anteil der Kreise an der Dreiecksfläche an.


Ein Dreieck und 17 Kreise
...... Gegeben sei der Radius c eines grünen Kreises.
Gesucht sind der Radius R des großen Kreises, des Inkreises des Dreiecks r, eines gelben Kreises a und eines blauen Kreises b.

Man liest unmittelbar ab: a+b = 2b+4c, r = 3b+4c, R = 5b+4c, R = b+2a
Daraus ergibt sich a=6c, b=2c, r=10c und R=14c.

Quelle: Alexander Bogomolny, Problem11: Sangaku by a teen (URL unten)


Neun Kreise im Quadrat    top
...... Gegeben sind neun Kreise in einem Quadrat der Seitenlänge a. .........................................................

Gesucht sind ihre Radien. 


Lösung
Vier große Kreise
...... ...... Gegeben sei die Seite a des Quadrates, gesucht ist der Radius r eines Kreises.

Es gilt (1/2)a=x+r mit x=sqrt(2)r. Dann ist (1/2)a=sqrt(2)r+r oder r=(1/2)[sqrt(2)-1]a.


Vier Kreise in den Ecken
...... ...... Gegeben sei die Seite a des Quadrates, gesucht ist der Radius r1 eines Kreises in der Ecke.

Es gilt (1/2)sqrt(2)a=r+x+sqrt(2)r1, wobei (r1+r)²=x²+r² und r=(1/2)[sqrt(2)-1]a ist.
Nach langer Rechnung ergibt sich r1={(1/2)[2sqrt(2)-1]-sqrt[2-sqrt(2)]}a.


Ein Kreis in der Mitte
...... ...... Gegeben sei die Seite a des Quadrates, gesucht ist der Radius r2 des Kreises in der Mitte.

Es gilt r+r2 = sqrt(2)r mit r=(1/2)[sqrt(2)-1]a. 
Nach einigen Rechenschritten ergibt sich r2=(1/2)[3-2sqrt(2)]a.


Es folgt noch ein Screenshot eines weiteren Geogebra-Programms, auch zur Verfügung gestellt von Peter Katzlinger.

Das ist das zugehörige Programm.

Weitere Kreise im Quadrat     top
Drei gleiche Kreise im Quadrat
... ...... Gegeben sei der Radius r eines Innenkreises, gesucht ist die Seitenlänge des umfassenden Quadrats.
Verbindet man die Mittelpunkte der Kreise, so entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seite 2r. 
Man errichtet über zwei Seiten je ein rechtwinkliges Dreieck mit einer zur Seite des Quadrates parallelen Kathete x. Diese Dreiecke haben die spitzen Winkel 15° und 75°.
Dann gilt a = r+x+r = 2r+2rcos(15°) = 2r+2r(1/4)[sqrt(6)+sqrt(2)] oder a = [2+(1/2)sqrt(2)+(1/2)sqrt(6)]r.


Fünf Kreise im Quadrat 
...... ...... Gegeben sei die Seite a des Quadrates, gesucht ist der Radius eines Kreises in der Ecke. 
Der große Kreis hat den Radius R=(1/2)a.
Für den Radius r eines kleinen Kreises gilt (1/2)sqrt(2)a=R+r+sqrt(2)a.
Nach etlichen Rechenschritten ergibt sich r = (1/2)[3-2sqrt(2)]a.

Fünf gleiche Kreise im Quadrat 1
......
...
Gegeben sei die Seite a des Quadrates, gesucht ist der Radius eines Kreises.

Es gilt 2sqrt(2)r+4r=sqrt(2)a oder r=(1/2)[sqrt(2)-1)]a.


Fünf gleiche Kreise im Quadrat 2
...... Es gibt eine interessantere Variante der letzten Aufgabe. Da gilt die Formel r=(1/4)[sqrt(3)-1)]a.

Die Aufgabenstellung und Lösung findet man unten 
unter "sangaku - a geometrical puzzle" bei Mathematics Stack Exchange (URL unten).


Zwei Kreispaare in Quadrat 1
...
Gegeben sei die Seite a des Quadrates, gesucht sind die Radien der Kreise.
Es gilt für den gelben R = (1/4)a.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt (R+r)² = x²+R². Weiter ist (1/2)a = x+r.
Nach einigen Rechenschritten ergibt sich für den blauen Kreis r = (1/6)a.

Zwei Kreispaare in Quadrat 2
...... Gegeben sei die Seite a des Quadrates. 

Gesucht sind die Radien R und r der Kreise. .........................................................................


...... Für die Diagonale des Quadrats gilt sqrt(2)a = 2R*sqrt(2)+2R.

Nach einigen Rechenschritten ergibt sich R = (1/2)[2-sqrt(2)]a.......................


...... Für die halbe Diagonale gilt (1/2)sqrt(2)a = sqrt(2)r+x.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt (R+r)² = R²+x².
Man setzt R = (1/2)[2-sqrt(2)]a ein und erhält 2 Gleichungen in den Variablen x und r.
Nach etlichen Rechenschritten ergibt sich r={2-(1/2)sqrt(2)-sqrt[4-2sqrt(2)]}a oder gerundet 0,211a.

Kreis einpassen 1
...0... Gegeben seien ein Quadrat der Seitenlänge a und fünf Kreise mit dem Radius r=(1/6)a, die sich und zwei nebeneinander liegende Seiten des Quadrates innen berühren.

Gesucht ist der Radius R des Kreises, der vier Kreise und die freien Seiten des Quadrates innen berührt.


...... Zeichnet man die gemeinsamen Tangenten zu je drei Kreisen, so wird ein Quadrat gebildet.

Der Inkreis des Quadrates hat einen Radius von (1/3)a. 
So hat man einen Anhaltspunkt: Der gesuchte Kreis muss einen etwas größeren Radius haben.


...... Ergänzt und beschriftet man die Zeichnung wie links, so kann man zwei Gleichungen ablesen.
Für die Diagonale gilt sqrt(2)a = sqrt(2)R+x+2sqrt(2)r.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt (R+r)² = x²+[sqrt(2)r]².
Man setzt r=(1/6)a und man erhält 2 Gleichungen in den Variablen x und R.
Nach längerer Rechnung erhält man R=(1/6)[9-4sqrt(3)]a. Das ist gerundet R=0,345a, also ein wenig größer als (1/3)a.

Kreis einpassen 2
...... Das Problem wird einfacher, wenn man die fünf Kreise wie links vorgibt.

Wie eine Rechnung bestätigt, hat der untere Kreis den Radius R=(1/4)a, wenn die Länge des Quadrates a ist.


13 Kreise im Quadrat

...

r=(1/4)a

r1=(1/4)[3-2sqrt(2)]a

r2=(1/16)a

r3=(1/4)[sqrt(2)-1]a
Zur Herleitung der Formeln
Die bisherigen Rechnungen auf dieser Seite erfolgten auf gleichen Wegen: Man zerlegt den Radius eines In- oder Umkreises in Streckenabschnitte. Eine Teilstrecke x wird dann nach dem Satz des Pythagoras bestimmt. 
Auf diese Darstellung verzichte ich in dieser Aufgabenfolge.




Auf meiner Webseite Sangaku-Figuren findet man mehr zum Thema.

Kreise in einer Figur im Internet   top

Deutsch

Wikipedia
Satz von DescartesMalfatti-Kreis, Ford-Kreis, Wasan

Englisch

Alexander Bogomolny (Cut-the Knot) 
Malfatti's ProblemSoddy Circles and David Eppstein's Centers: What Are They?, 11 Sangaku by a teen

Erich Friedman
Packing Equal Copies

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Malfatti Circles, Malfatti's Problem, Marble Problem, Circle-Circle Intersection, ReuleauxTriangle, Monge's Circle Theorem
Tangent Circles, Johnson Circles, Circle Packing, Soddy Circles, Casey's Theorem

Mathematics Stack Exchange
sangaku - a geometrical puzzle  (http://math.stackexchange.com/questions/4480/sangaku-a-geometrical-puzzle)

Wikipedia
Descartes' theorem, Malfatti circles, Circle packing in a square, Ford circle


 Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2013 Jürgen Köller

top