Kettenbruch
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Was ist ein Kettenbruch? 
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Vom Bruch zum Kettenbruch
Unendliche Kettenbrüche
Kettenbruch im Internet
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.
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Was ist ein Kettenbruch?
Das soll an einem Zahlenbeispiel erklärt werden.
...... Gegeben sei die (gekürzte) Bruchzahl 43/30.
Ein (regelmäßiger) Kettenbruch ist die Darstellung dieses Bruches in der Form einer gemischten Zahl a+1/b, wobei b wieder eine gemischte Zahl der Form a+1/b ist. Das setzt sich fort. - Ein Kettenbruch mit Einsen im Zähler wie hier heißt regelmäßig.


Da die Schreibweise sperrig ist, kann man Klammern verwenden: 43/30 = 1+(1/(2+1/(3+1/4))). 
Durchgesetzt hat sich die übersichtliche Notation mit eckigen Klammern, 43/30 = [1; 2,3,4], die ich auch auf dieser Webseite verwende. Dabei stehen am Anfang die ganze Zahl 1 und nach einem Semikolon die weiteren ganzzahligen Anteile der gemischten Zahlen. Am Ende steht so der letzte Nenner 4.

Mit dem Kettenbruch ist neben dem Dezimalbruch eine zweite Darstellung einer Zahl gegeben. 
Die Dezimalbruchdarstellung zeigt an, wo man die Zahl auf der Zahlengeraden findet. 
Der Kettenbruch gibt Näherungsbrüche von reellen Zahlen an, die vor allem für transzendente Zahlen von Interesse sind.

Auf dieser Webseite habe ich das zusammengetragen, was ich interessant fand zum Thema Kettenbrüche.



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Man lässt sinnvollerweise für die auf dieser Seite verwendeten Variablen a0 ganze Zahlen und für die übrigen ak und bk reelle Zahlen außer Null zu. Im Allgemeinen begnügt man sich mit natürlichen Zahlen für ak und bk.

Regelmäßiger Kettenbruch

[a0; a1,a2,a3, ...,ak]

Zahlenbeispiel

[1; 2,3,4]


Unendlicher regelmäßiger Kettenbruch

[a0; a1,a2,a3, ...]

Zahlenbeispiel

[1; 2,2,2, ...] = sqrt(2) (!)

Allgemeiner Kettenbruch
Zahlenbeispiel
Eine Darstellung mit eckigen Klammern ist nicht mehr möglich, da im Zähler keine Einsen mehr stehen. 
Da verwendet man zum Beispiel die folgende Notation.
Zahlenbeispiel

Auch der allgemeine Kettenbruch kann unendlich sein.

Vom Kettenbruch zum Bruch   top
Man bestimmt zum endlichen Kettenbruch [1; 2,3,4] den Bruch 43/30, indem man - von hinten ausgehend - nacheinander die gemischten Zahlen berechnet.
> Es gilt 3+1/4 = 13/4.
> Es gilt 2+4/13 = 26/13+4/13 = 30/13.
> Es gilt 1+13/30 = 43/30.


Als weitere Beispiele wähle ich einige gekürzte Brüche mit den Nenner 94. 
[0; 8,1,1,5]=11/94 [0; 5,1,1,8]=17/94 [0; 2,1,1,5,1,2]=37/94 [0; 2,2,2,3,2]=39/94 [0; 1,2,2,1,3]=67/94 [0; 1,93]=93/94
Ob es da Regeln gibt? Dr. Ron Knott (URL unten) geht auf seiner Webseite solchen Fragen nach.

Rekursionsformeln
Es sei der Kettenbruch [a0; a1,a2,a3,...,ak] gegeben. Gesucht ist eine Formel für seinen Bruch Ak/Bk.

Es gilt [a0; a1] = a0+1/a1 = (a0a1+1)/a1.
Dann ist A1 = a0a1+1 und  B1=a1.

Es gilt [a0; a1,a2] = a0+1/(a1+1/a2) = ... = [a2(a0a1+1)+a0]/(a1a2+1).
Dann ist A2 = a2(a0a1+1)+a0 und B2 = a1a2+1.

Es gilt [a0; a1,a2,a3] = a0+1/[a1+1/(a2+1/a3)] = ... = {a3[a2(a0a1+1)+a0]+a0a1+1}/[a3(a1a2+1)+a1]
Dann ist A3 =a3[a2(a0a1+1)+a0]+a0a1+1 und B3 = a3(a1a2+1)+a1.

Verallgemeinerung: Ak = akAk-1+Ak-2 und Bk=akBk-1+Bk-2
Man geht aus von A0 = a0, A-1=1, A-2=0, B0=1, B-1=0, B-2=1.
Die Formel beweist man durch das Verfahren der vollständigen Induktion (1).


Anwendung
Es soll für den Kettenbruch [1; 2,3,4,5,6,7] der Bruch x/y bestimmt werden.
k
ak

Ak
Bk

-2
-

0
1

-1
-

1
0

0
1

.
.

1
2

.
.

2
3

.
.

3
4

.
.

4
5

.
.

5
6

.
.

6
7

x
y

Dazu füllt man sukzessiv die freien Felder aus.
k
ak

Ak
Bk

-2
-

0
1

-1
-

1
0

0
1

1*1=1
1

1
2

2*1+1=3
2+0=2

2
3

3*3+1=10
3*2+1=7

3
4

4*10+3=43
4*7+2=30

4
5

5*43+10=225
5*30+7=157

5
6

6*225+43=1393
6*157+30=972

6
7

7*1393+225=9976
7*972+157=6961

Ergebnis: Der Kettenbruch [1; 2,3,4,5,6,7] führt zum Bruch 9976/6961.


Die Rekursionsformel verwendet man für Computerprogramme, um von Kettenbrüchen zu Bruchzahlen zu gelangen.

Näherungsbruch von 9976/6961
Die erste Zeile der folgenden Tabelle zeigt Kettenbrüche. 
Die zweite Zeile enthält die zugehörigen Brüche Ak/Bk,
die dritte Zeile ihre Dezimalbruchdarstellungen. 
Die vierte Zeile gibt die Differenz zum gegebenen Bruch 6961/9972 an.
Kettenbruch
Bruch
Dezimalbruch
Differenz
.
1
1
+0,4331274
[1; 2]
3/2
1,5
-0,0668726
[1; 2,3]
10/7
1,4285714
+0,00455600
[1; 2,3,4] 
43/30
1,4333333
-0,0007941
[1; 2,3,4,5]
225/157
1,4331210
+0,0000064
[1; 2,3,4,5,6]
1393/972
1,4331276
-0,000002
 [1; 2,3,4,5,6,7]
9976/6961
1,4331274
0
Man liest ab, dass sich die Brüche immer mehr dem gegebenen Bruch annähern und zwar abwechselnd von rechts und von links.
Mit Recht heißen die Brüche A1/B1 bis Ak-1/Bk-1 die Näherungsbrüche von Ak/Bk. Die Differenzen sind mit einer alternierenden Nullfolge vergleichbar. Diese Aussagen sind allgemein formuliert und gelten auch in dieser Allgemeinheit (1).

Vom Bruch zum Kettenbruch     top
Will man zu einem Bruch den Kettenbruch bestimmen, so geht man so vor. 
Es soll der Kettenbruch zu 73/29 bestimmt werden.
> 73/29 = 2+15/29
> 29/15 = 1+14/15
> 15/14 = 1+1/14
Das führt zum Kettenbruch [2; 1,1,14].


Multipliziert man beide Seiten der Gleichungen oben mit den Nennern, so erhält man
> 73 = 2*29+15
> 29 = 1*15+14
> 15 = 1*14+1.
Das ist das Vorgehen beim euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsames Teilers (ggT) zweier Zahlen.
Man liest ggT(73,29) = 1 ab.

Euklidischen Algorithmus
Das Verfahren kann also auch dazu benutzt werden, zu der Bruchzahl 73/29 den Kettenbruch [2; 1,1,14] zu finden. 
> 73 = 2*29+15
> 29 = 1*15+14
> 15 = 1*14+1
Ein Vorteil dieser Bestimmung liegt auch darin, dass man die Rechnungen einem einfachen Computerprogramm überlassen kann. 

Das folgende Programm zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers wird leicht abgeändert und ermittelt die Kettenbrüche von 73/29 und 9976/6961. 
......
Das Programm ist auf das Wesentliche reduziert.

Unendliche Kettenbrüche top
Oben wird erwähnt, dass es auch unendliche, regelmäßige Kettenbrüche [a0; a1,a2,a3, ...] gibt, die konvergente Folgen bilden.
Quadratische Wurzeln
Unter ihnen sind die irrationalen Zahlen der Form a+b*sqrt(c) interessant. Es gilt der Satz, dass es zu diesen Zahlen Kettenbrüche gibt und zwar - das ist erstaunlich - periodische. Umgekehrt führt jeder periodische Kettenbruch zu einer quadratischen Irrationalität (2).


Oben steht [1; 2,2,2, ...] = sqrt(2).
Herleitung
Es gilt sqrt(2) = 1+sqrt(2)-1 =[1+(sqrt(2)-1)(sqrt(2)+1)]/[sqrt(2)+1] = 1+1/[1+sqrt(2)]
Setzt man in der Gleichung sqrt(2) = 1+1/[1+sqrt(2)] rechts den Term 1+1/[1+sqrt(2)] ein, so erhält man 1+1/{2+1/[1+sqrt(2)]}.
Setzt man das fort, so führt das zu einem unendlichen Kettenbruch


Wendet man das Verfahren auf sqrt(3) an, so ergibt sich 
Man kürzt und gelangt zum Kettenbruch sqrt(3) = [1; 1,2,1,2,1,2,...]. Die Periode ist 1,2.

Für die nächsten Quadratwurzeln gilt
sqrt(4) = 2
sqrt(5) = [2; 4,4,4,4...]. Die Periode ist 4.
sqrt(6) = [2; 2,4,2,4...]. Die Periode ist 2,4.
sqrt(7) = [2; 1,1,1,4...]. Die Periode ist 1,1,1,4.
sqrt(8) = [2; 1,4,1,4...]. Die Periode ist 1,4.
sqrt(9) = 3
sqrt(10) = [3; 6,6,6,6...]. Die Periode ist 6.

Ein bekannter Kettenbruch ist (1 + sqrt(5))/2 = [1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...].
Mehr auf meiner Seite Der Goldene Schnitt oder die stetige Teilung

Transzendente Zahlen
Für die fundamentalen transzendenten Zahlen Pi und e sind zahlreiche (schöne) Kettenbruchdarstellungen bekannt. 
Pi = 3+1²/(6+3²/(6+5²/(6+7²/(6+...))))
Man erkennt 3+1²/(6+3²/(6+5²/(6+7²/(6+...)))) und 3+/(6+/(6+/(6+/(6+...))))

16/Pi = 5+1²/(10+3²/(10+5²/(10+7²/(10+...))))
Man erkennt: 5+1²/(10+3²/(10+5²/(10+7²/(10+...)))) und 5+/(10+/(10+/(10+/(10+...))))

4/Pi = 1+1²/(3+2²/(5+3²/(7+4²/(9+...))))
Man erkennt zwei Folgen: 1+1²/(3+2²/(5+3²/(7+4²/(9+...)))) und 1+/(3+/(5+/(7+/(9+...))))

Pi/2 = 1-1/(3-2*3/(1-1*2/(3-4*5/(1-3*4/(3-6*7(/1-...))))))
Man erkennt 1-1/(3-2*3/(1-1*2/(3-4*5/(1-3*4/(3-6*7(/1-...)))))) und 1-1/(3-2*3/(1-1*2/(3-4*5/(1-3*4/(3-6*7(/1-...))))))
Quelle für die vier Darstellungen: (3), Seite 87

Oben erwähne ich den Bruch 6961/9976 = [1; 2,3,4,5,6,7].
Man gelangt von ihm zum unendlichen Kettenbruch [1; 2,3,4,5,6,7, ...]. Er wird auf der Seite von OEIS (URL unten) genannt. 
In der Spalte "Closed form" steht ein Fragezeichen. Eine Termdarstellung ist also nicht bekannt. 
Als Dezimalbruchdarstellung wird 1.433127426722311758317183455 genannt.

Bei [1; 2,3,4,5,6,7, ...] denke ich an die normale Zahl 0,123456789101112..., die auch Champernowne-Konstante heißt.
(Eine Zahl heißt normal, wenn unter den Dezimalen jede Ziffer gleich oft vorkommt. Das ist eine erste grobe Beschreibung.)
Sie passt auf diese Webseite, da sie eine ungewöhnliche Kettenbruchdarstellung hat. (Mehr auf den Seiten von MathWorld)

Für die eulersche Zahl e gibt es einen strukturierten, regelmäßigen Kettenbruch. 
e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10, ...]
Man erkennt [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10, ...]  und [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10, ...]
Quelle: OEIS, A003417

Näherungskonstruktion
Das Siebeneck kann nicht exakt mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Es gibt eine Reihe von Näherungskonstruktionen. 
...... Die Zeichnung des Siebenecks verlangt einen Winkel von 360/7° = 51,4°. Diesen Winkel kann man näherungsweise konstruieren. Man geht von einem (Scheitel-)Punkt 4 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach oben. Das  dazugehörige Dreieck enthält einen Winkel von fast 360/7° oder gerundet 51,43°.
Die Gleichung tan(alpha)=5/4 führt zu einen Winkel von 51,34°. Dieser Winkel ist nur um 0,17% kleiner als 360/7°.

Man kommt tan(alpha) beliebig nahe, wenn man den  Kettenbruch tan(2pi/7) = [1; 3,1,15,31,1,3,...] wählt. 
Die ersten Näherungsbrüche sind 1, 4/3, 5/4, 79/63, 2454/1957, 2533/2020, 10053/8017, ...

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Deutsch

Arndt Brünner
Kettenbrüche online berechnen

Bodo Werner
Kettenbrüche

Daniel Frischemeier (Examensarbeit)
Pi und Kettenbrüche  (.pdf-Datei)

Günter Roolfs
Kettenbrüche   (.pdf-Datei)

Hans-Jürgen (matheplanet)
Über Kettenbrüche

Nikolaus A. Bär
Kettenbruch

NN
Kettenbrüche rationaler Zahlen    (Kettenbrüche online)

Wikipedia
Kettenbruch

Englisch

Dr. Ron Knott
An Introduction to Continued Fractions

Eric W. Weisstein  (MathWorld) 
Continued FractionKhinchins Constant, Champernowne ConstantChampernowne Constant Continued Fraction

OEIS
Continued fractions

Wikipedia
Continued fraction


Referenzen  top
(1) H.v.Mangoldt / K.Knopp: Einführung in die höhere Mathematik 1, Leipzig 1958 
(2) W.Gellert (Herausgeber u.a.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986 
(3) Jean-Paul Delahaye: Pi - Die Story, Basel, Boston, Berlin 1999 [ISBN 3-7643-6056-9]


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©  April 2015 Jürgen Köller

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