Kehrwert
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Was ist der Kehrwert?
Graphische Darstellungen
Kehrwert von Funktionstermen
Summe von Kehrwerten
Reihen aus Kehrwerten 
Kehrwerte bei Größen
Kehrwert im Internet
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Was ist der Kehrwert?
...... Der Kehrwert ist bekannt aus der Bruchrechnung. Er ist der Bruch, bei dem Zähler und Nenner vertauscht sind. 
So kann man das Dividieren auf das Multiplizieren zurückführen.
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruches multipliziert.


...... Jede reelle Zahl lässt sich als Bruch mit dem Nenner 1 schreiben: x=x/1. Dann ist der Kehrwert 1/x.
Man kann bis auf 0 jeder reellen Zahl einen Kehrwert (oder eine  Kehrzahl,  reziproke Zahl, inverse Zahl) zuordnen. 
Die Ausnahme ist deshalb die Zahl Null, denn 1/0 ist nicht definiert.
Der Pfeil beschreibt die Funktion mit k(x) = 1/x.

Kehrwert einer Dezimalzahl
...... Den Kehrwert einer Dezimalzahl kann man einfach mit dem Taschenrechner bestimmen. 
Man gibt die Dezimalzahl ein und drückt die Taste 1/x.

Drückt man die Taste viele Male, so folgen die Kehrzahl und Dezimalzahl aufeinander.
Die Kehrzahl der Kehrzahl ist wieder die Zahl.
 


Nenner rational machen
Zu erwähnen sind noch die Kehrwerte von Wurzeln.
Zum Beispiel ist es üblich, den Kehrwert einer Zahl wie sqrt(2), nämlich 1/sqrt(2), nicht stehen zu lassen, sondern die Wurzel im Nenner zu beseitigen. Das erreicht man durch Erweitern des Bruches mit sqrt(2). Dann ist 1/sqrt(2) =sqrt(2)/2. Dadurch wird die Zahl anschaulicher, und man gelangt so zu der üblichen Darstellung einer irrationalen Zahl.. 
Man nennt diese Rechnung  "Rationalmachen des Nenners".

Gegenzahl
Der Kehrwert heißt im Englischen "Multiplicative inverse".  Es gibt auch den Begriff "Additive inverse", und das ist im Deutschen die Gegenzahl. So wie für die Multiplikation x*(1/x) = 1 gilt, so für die Addition x+(-x) = 0. Die Zahl -x ist die Gegenzahl. Die Null spielt für die Addition die gleiche Rolle wie die Eins bei der Multiplikation. In beiden Fällen sind die Eins bzw. Null "neutrale Elemente". Verknüpft man sie mit einer beliebigen reellen Zahl, so ändern sie die Zahl nicht: x*1 = x und x+0 = x.

Auf dieser Webseite habe ich einiges zum Kehrwert zusammengetragen, was ich interessant fand.

Graphische Darstellungen     top
......
Die Ausgangsfunktion ist f(x) = x.
Der Graph ist die erste Winkelhalbierende.

Der Graph zur Funktion mit Kehrwert k(x) = 1/x ist eine rechtwinklige Hyperbel.

Auch der Kehrwert des Kehrwertes ist dargestellt und das ist wieder die erste Winkelhalbierende.
Es gilt nämlich 1/(1/x) = 1*(x/1) = x. Die zugehörige Funktionsgleichung ist f(x) = x.

Diese Eigenschaft nennt man involutorisch, und sie kommt bei vielen Abbildungen vor.
So sind z.B. die Punktspiegelung und die Achsenspiegelung von Figuren involutorisch.

 


Ableitungen
... Ausgangsfunktion ist die Funktion mit der Funktionsgleichung k(x) = 1/x oder k(x) = x-1.

Die Ableitungen sind
k '(x)=-x-2 = -1/x2
k''(x) = 2x-3 = 2/x3
k '''(x) = -(2*3)x-4 = -(2*3)/x4
...

k(n)(x) = [(-1)nn!]x-n = [(-1)-(n+1)n!]/xn.


Stammfunktion
...... Die Logarithmusfunktion ist als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion differenzierbar.
Behauptung: Die Ableitung der Funktion mit g(x)=ln(x) ist g'(x)=1/x.
Herleitung
Aus y=ln(x) folgt x=ey
Für die Ableitung gilt allgemein g'(x)=1/f'(y), hier also [ln(x)]'=1/(ey)=1/x, wzbw..
Die Regel g'(x)=1/f'(y) geht auf den Kehrwert des Differentialquotienten dx/dy zurück, nämlich dy/dx = 1/(dx/dy), und passt zu dieser Webseite.
Die Funktion f(x) = 1/x hat die Stammfunktion g(x) = ln(|x|)+C. Die Betragsstriche berücksichtigen, dass der Term 1/x auch für x<0 definiert ist.

Kehrwert von Funktionstermen     top
Aus einer Funktion mit dem Term f(x) entsteht eine neue Funktion, wenn man den Kehrwert r(x) = 1/f(x) bildet. 
Sie heißt die reziproke Funktion der Ausgangsfunktion. 


Umkehrfunktion
Es gibt zu einer Funktion neben der reziproken Funktion auch die Umkehrfunktion. Das ist eine Funktion, bei der jedem y-Wert ein x-Wert eindeutig zugeordnet wird. Bei der Funktion gehört zu jedem x-Wert genau ein y-Wert. 
Die Umkehrfunktion kann leicht mit der reziproken Funktion verwechselt werden, nicht nur wegen des ähnlichen Namens, sondern auch wegen der Schreibweise des Funktionsterms. Man schreibt 1/f(x) besser nicht als f-1(x). Der Term  f-1 beschreibt nämlich die Umkehrfunktion von f. 
Für f-1(x) sollte man deshalb, wenn überhaupt,  [f(x)]-1 schreiben. 

Reziproke Funktion
Es folgt eine Reihe von Graphen der Funktion und der reziproken Funktion.

f(x) = sin(x), r(x) = csc(x)

f(x) = cos(x), r(x) = sec(x)

f(x) = tan(x),  r(x) = cot(x)
Die sechs trigonometrischen Funktionen werden zu drei Paaren von Funktion und reziproke Funktion aufgeteilt. 
Das sind Sinus und Kosekans, Kosinus und Sekans, Tangens und Kotangens.


f(x) = x², r(x) = 1/x²

f(x) = x³, r(x) = 1/x³

f(x) = exr(x) = e-x

f(x) = ln(x), r(x) = 1/ln(x)

f(x) = abs(x), r(x)=1/abs(x)


f(x) = (1+x²)/(1-x²)
r(x) = (1-x²)/(1+x²)

f(x) = (1/2)( ex+ e-x)
r(x) = 2/( ex+ e-x)

f(x) = x²+1
r(x) = 1/(x²+1)

f(x) = sqrt(1-x²)
r(x) = 1/sqrt(1-x²)

f(x) = sin(x)+2
r(x) = 1/[sin(x)+2]


f(x) = x(x-1)(x-2)+1, r(x) = 1/[x(x-1)(x-2)+1] 
Vergleicht man die Graphen von f(x) und r(x), so ist eine Reihe von Aussagen möglich.
Der nebenstehende Graph zeigt alle Beziehungen in den Beispielen von oben.

(1) Wenn f(x) = 1 ist, so ist auch r(x) = 1.

(2) Strebt f(x) gegen Unendlich, so strebt r(x) gegen 0.

(3) Ist f(x1) = 0, so hat r(x) an der Stelle x1 eine Polstelle.

(4) Hat f(x) an der Stelle x2 ein Minimum, so hat r(x) dort ein Maximum.
(4') Hat f(x) an der Stelle x3 ein Maximum, so hat r(x) dort ein Minmum.
 


Begründungen
Die Aussagen (1), (2) und (3)  sind einfach einzusehen.

Zum Nachweis der Aussagen (4) und (4') muss man etwas rechnen.
Es gilt nach der Kettenregel r' = (1/f)' = (f-1)' = -(f-2)f ' =-f '/f² und nach der Quotientenregel r'' = -(f ''f²-2f f '²)/f4= (-f ''f+2f '²)/f³. 

Gelten an der Stelle  x2 die Aussagen f '(x) = 0 und f ''(x)>0, so ist dort ein Minimum.
Diese Eigenschaft hat bis auf ein Vorzeichen auch die reziproke Funktion r(x):
Es gilt r'(x) = -f '(x)/f²(x) = 0 und r''(x) = [-f ''(x)f(x)+2f '²(x)]/[f(x)]³ = [-f ''(x)/f(x)]<0.
Ergebnis: Hat f(x) an der Stelle x2 ein Minimum, so hat r(x) dort ein Maximum.


(4') Ist an der Stelle x3 ein Maximum, so nimmt r(x) dort ein Minimum an.
Der Beweis verläuft analog.

Summe von Kehrwerten      top
Harmonisches Mittel
Die einfachste Summe von Kehrwerten ist 1/x+1/y. 
Bildet man zu zwei Kehrwerten den arithmetischen Mittelwert, so ergibt sich (1/2)(1/x+1/y) = (1/2)(x+y)/(xy). 
Das ist auch der Kehrwert des harmonischen Mittels h = (2xy)/(x+y). 


Sich kreuzende Strecken
...... Man gibt wie links einen rechteckigen Topf vor und trägt an den Wänden die Strecken a und b ab. Man verbindet die freien Endpunkte der Strecken mit den gegenüberliegenden Ecken des Topfes. Die Höhe h' des Schnittpunktes der beiden Verbindungslinien über dem Topfboden ist das halbe harmonische Mittel h von a und b.
Beweis:
Es sei w1+w2=w.
Nach dem Strahlensatz gilt rechts w2:w=h':b oder w2=h'w/b und links w1:w=h':a oder w1=h'w/a.
Daraus folgt mit w1+w2=w die Gleichung w=h'w/b+h'w/a oder 1=h'(1/b+1/a) oder h'=ab/(a+b) = (1/2)h, wzbw.. 

Die Figur stellt auch die bekannte Leiter-Aufgabe von den sich kreuzenden Leitern dar.

Siebeneck
......
Nach dem Satz des Ptolemäus gilt für die Seite a und die Diagonalen d1 und d2 des grünen Vierecks im Siebeneck die Formel d1d2=ad1+ad2 . Daraus folgt a=(d1d2)/(d1+d2) oder 1/a = 1/d1+1/d2

Harmonisches Dreieck
...... Man kann aus dem pascalschen Dreieck ein harmonisches Dreieck aus Kehrzahlen entwickeln. 

Das Besondere ist, dass im harmonischen Dreieck jede Zahl die Summe der beiden darunter liegenden Zahlen ist.


Reihen aus Kehrwerten 
Harmonische Folge und harmonische Reihe
Man nennt die Folge der Kehrwerte der natürlichen Zahlen die harmonische Folge.

1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (allgemeines Glied 1/n)
Für n gegen Unendlich strebt die Folge gegen Null.
Die Kehrwerte der natürlichen Zahlen heißen in der Bruchrechnung Stammbrüche.


Die harmonische Reihe geht aus der harmonische Folge hervor. Sie ist die Folge der Partialsummen der harmonischen Folge. 
1, 1+1/2, 1+1/2+1/3, 1+1/2+1/3+1/4, ... (allgemeines Glied 1+1/2+1/3+1/4+ ... +1/n)
Für n gegen Unendlich strebt die Reihe gegen Unendlich.

Alternierende harmonische Reihe
Die alternierende harmonische Reihe geht aus der harmonischen Reihe hervor. Das Vorzeichen der Summanden wechselt sukzessive. 
1, 1-1/2, 1-1/2+1/3, 1-1/2+1/3-1/4, ... [allgemeines Glied 1-1/2+1/3-1/4+ ... +(-1)n+1(1/n)]
Für n gegen Unendlich strebt die Reihe gegen den Grenzwert ln(2).

Leibniz-Reihe
In der alternierenden harmonischen Reihe setzt man an Stelle der natürlichen Zahlen die ungeraden Zahlen. 
1, 1-1/3, 1-1/3+1/5, 1-1/3+1/5-1/7, [allgemeines Glied 1-1/3+1/5-1/7+ ... +(-1)n+1(1/(2n-1))]
Für n gegen Unendlich strebt die Reihe gegen den Grenzwert (1/4)pi.

Reihe mit den Kehrwerten der Quadratzahlen
In der harmonischen Reihe setzt man an Stelle der natürlichen Zahlen Quadratzahlen. 
1, 1+1/2², 1+1/2²+1/3², 1+1/2²+1/3²+1/4², ...(allgemeines Glied 1+1/2²+1/3²+1/4²+ ... +1/n²)
Für n gegen Unendlich strebt die Reihe gegen den Grenzwert (1/6)pi².

Kempner-Reihen
Die Kempner-Reihen gehen aus der harmonischen Reihe hervor. Man entfernt alle Zahlen, die im Nenner die Ziffer 1 enthalten. 
Aus der Reihe 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8,+1/9+1/10+1/11... wird dann 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8,+1/9+1/20+1/22+...
Wegen der 10 Ziffern gibt es 10 Kempner-Reihen. Das Besondere ist, dass alle Kempner-Reihen konvergent sind.
Gefunden bei http://mathworld.wolfram.com (URL unten).

Kehrwerte bei Größen     top
Eine Größe bestimmt gemeinhin eine Eigenschaft eines physikalischen Objektes. Sie wird angegeben durch eine Maßzahl und eine Einheit. 
Beispiele von Größen mit Einheiten sind Volumen (cm³), Weg (m), Zeit (Std.), Geschwindigkeit (km/h), elektrischer Widerstand (Ohm), ...
Es folgen Beispiele von Größen, bei denen auch Kehrwerte bekannt sind.


Kehrwert einer Größe
Schwingungsdauer und Frequenz
Eine kennzeichnende Größe der Schwingung ist die Schwingungsdauer T. Ebenso ist der Kehrwert, die Frequenz f, in Gebrauch. Beide Größen sind durch die Gleichung  T*f=1 oder f = 1/T miteinander verknüpft. Es ist für die Anschauung sinnvoll, für langsame Schwingungen die Schwingungsdauer zu verwenden. 
> Ein Fadenpendel der Länge 1m hat z.B. die Schwingungsdauer T = 0,68 s. 
> Eine Stimmgabel mit der Schwingungsdauer T= 0.00227272727 s kennzeichnet man besser mit dem Kehrwert, nämlich f=440 1/s = 440 Hz.

Mir sind noch zwei weitere Größenpaare geläufig, nämlich der elektrische Widerstand R und der elektrische Leitwert G = 1/R bzw. bei Brillen die Brennweite f und die Brechkraft D=1/f, gemessen in Dioptrien.

Proportionale Größen
Zwei Größen A und B sind proportional, wenn ihr Quotient A/B konstant ist. 
Es gibt Beispiele, da hat auch der Kehrwert des Proportionalitätsfaktors eine Bedeutung.
Benzinverbrauch
Die von einem Auto zurückgelegte Strecke und die dabei verbrauchte Benzinmenge sind im Mittel proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist der Benzinverbrauch.
Es ist bei uns üblich, den Benzinverbrauch eines Autos z.B. mit 8,5 l anzugeben. Genauer ist das der Quotient 8,5 l / 100 km. Damit ist gemeint, dass das Auto im Mittel für 100 km die Menge 8,5 l Benzin verbraucht. 
In Großbritannien oder in den USA wird der Benzinverbrauch durch den Kehrwert angegeben.  Man gibt den Weg in Meilen an, den man mit einem Gallon fahren kann.
Für einen Vergleich mit 8,5 l / 100 km muss man wissen, dass 1km = 0,6214 miles und 1 gallon = 3,7854 Liter oder 1 Liter = 0,2642 gallons ist.
Dann gilt für den Kehrwert (100 km)/ (8,5 l) = (100*0,6214 miles )/(8,5*0.2642 gallons) = (27 miles)/(1 gallon) = 27 mpg.

Um die Konfusion noch zu steigern: In Großbritannien wird der Benzinverbrauch zwar auch in der Einheit mpg angegeben, allerdings gilt nicht 1 gallon = 3,7854 Liter, sondern 1 gallon =  4,546 Liter. Einem Benzinverbrauch von 8,5 l entspräche dann der größere Wert 32,10 mpg. 

Im Englischen ist der Name Benzinverbrauch eigentlich falsch, da er ja der Kehrwert des Benzinverbrauchs ist. Man spricht auch von mileage und d.h. Fahrleistung oder Laufzeit.


Umrechnungskurs
Man kann den Umrechnungskurs zwischen den Währungen Euro und britisches Pfund auf zweierlei Weise angeben, 
1 Euro  = 0,780 Pfund  oder 1 Pfund = 1,283 Euro (2. Oktober 2014). 
Es handelt sich offenbar um eine Zahl und ihre Kehrzahl. Welche Angabe bevorzugt wird, hängt vom Standpunkt ab. Wir Deutschen bevorzugen die erste Angabe. 
Geschwindigkeit

Die Geschwindigkeit v kennzeichnet eine gleichförmige Bewegung. Sie ist der Proportionalitätsfaktor v=s/t zur Proportionalität s ~ t. Dabei sind s der zurückgelegte Weg und t die verstrichene Zeit.
Grundsätzlich kann jeder Kehrwert eines Proportionalitätsfaktors gebildet werden. Die Frage ist nur, ob er sinnvoll ist und ob er "im täglichen Leben" auch benutzt wird. Dazu ein Beispiel.

Bildet man den Kehrwert t/s, so ist er ein Maß für die "Langsamkeit", denn bei einem konstantem Weg ist der Quotient um so größer, je mehr Zeit verstreicht. - Man könnte vielleicht die Bewegung einer Schnecke durch t/s ausdrücken, zum Beispiel durch die Zeit, die sie für einen Meter braucht. Jedoch fand ich z.B. auf der entsprechenden Wikipedia-Seite eine Geschwindigkeitsangabe: Die Schnecke bewegt sich im Mittel mit 7cm / min im "Schneckentempo" fort.  Durch Wahl geeigneter Einheiten ist die Maßzahl einstellig und somit anschaulich. 
(Der oben genannte Weg von 1m führt zu einer Zeit von 14,3 min.)


Ich stellte fest, dass Amerikaner, wenn sie mit dem Auto über größere Strecken fahren, die Entfernungen meist in Stunden angeben, auch weil es auf den Highways Geschwindigkeitsbegrenzungen gibt. Das ist für sie treffender als Meilen. - Wir Deutsche bevorzugen Kilometerangaben. Stunden geben wir nur an, wenn wir demonstrieren wollen, wie schnell wir wieder einmal waren oder wie lange wir im Stau standen.

Antiproportionale Größen
Zwei Größen A und B sind antiproportional, wenn ihr Produkt AB konstant ist. Der Graph ist eine rechtwinklige Hyperbel. 
Da ist eine Analogie zu Zahl und Kehrzahl. Bei ihnen ist das Produkt 1, und der Graph ist die spezielle Hyperbel f(x) = 1/x.

Summe von Kehrwerten
In der Schulphysik kommen Gleichungen mit Summen von Kehrwerten von Größen vor. Es folgt eine Auswahl. 
Ersatzwiderstand parallel geschalteter Widerstände
...... Werden zwei Widerstände parallel geschaltet, so haben sie den gleichen Widerstand wie der "Ersatzwiderstand" R=(R1R2)/(R1+R2).

Ersatz-Kapazität hintereinander geschalteter Kondensatoren
... ... Werden zwei Kondensatoren hintereinander geschaltet, so haben sie die gleiche Kapazität wie der "Ersatz-Kondensator": 
C=(C1C2)/(C1+C2).

Ersatz-Induktivität parallel geschalteter Spulen
...... Werden zwei Spulen parallel geschaltet, so haben sie die gleiche Induktivität wie die "Ersatz-Spule": 
L=(L1L2)/(L1+L2).

Linsenformel
...... Für dünne, konvexe Linsen gilt die Linsenformel 1/f=1/g+1/b. 

Linsensystem
.....  Zwei dünne Sammellinsen mit den Brennweiten f1 und f2 , die nah nebeneinander stehen, wirken wie eine Sammellinse mit der Brennweite f=(f1f2)/(f1+f2) oder durch die Brechkraft ausgedrückt D = D1+D2.

Kehrwert im Internet      top

Deutsch

mathekram [at]
Eine kleine Aufgabe

Wikipedia
Kehrwert, Reziproke Proportionalität, Harmonische Folge, Harmonische Reihe
Involution (Mathematik)Inverses Element, Gruppe (Mathematik)

Englisch

Eric W. Weisstein  (MathWorld) 
Harmonic Series, Kemper series

Wikipedia
Multiplicative inverse, Inverse proportionality, Harmonic series (mathematics)
Involution (mathematics)Inverse element, Group (mathematics)


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©  Oktober 2014 Jürgen Köller

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