Regelmäßiges Elfeck
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Was ist das regelmäßige Elfeck?
Größen des Elfecks
Diagonalen
Näherungskonstruktionen
Elfeck im Internet
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Was ist das regelmäßige Elfeck?
Das regelmäßige Elfeck ist ein Vieleck mit

    11 gleich langen Seiten,
    11 gleich großen Innenwinkeln. 

Das Elfeck heißt auch Hendekagon.
Im Englischen sind die Namen hendecagon und undecagon üblich. Man findet auch 11 sided figure


Auf dieser Seite wird das regelmäßige Elfeck meist einfach Elfeck genannt. 

Größen des Elfecks top
Winkel im Elfeck

...

Formeln

Vier Diagonalen

Radius des Umkreises, Radius des Inkreises, Höhe

Ist die Seite a gegeben, so lassen sich daraus der Radius r des Inkreises, der Radius R des Umkreises, die Diagonalen d2 ,d3 , d4 und d5, die Höhe h, der Flächeninhalt A  und der Umfang U errechnen.

Ferner ist h=R+r.

Zur Herleitung der Formeln
Auf meiner Seite Regelmäßiges Vieleck werden die folgenden Formeln besprochen.

Setzt man n=11, so ergeben sich die oben stehenden Formeln.


Diagonalen   top
Das regelmäßige Vieleck hat n(n-3)/2 Diagonalen.

Dann hat das Elfeck 44 Diagonalen.


>11 Diagonalen verbinden jeden zweiten, 11 jeden dritten, 11 jeden vierten und 11 jeden fünften Eckpunkt. 
>Die Diagonalen bilden vier voneinander unabhängige Sterne, die Hendekagramme.
>Alle vier Sterne können in einem Zug gezeichnet werden.


Näherungskonstruktionen  top
Das Elfeck gehört zu den Vielecken, die man nicht konstruieren kann. Es gibt Näherungskonstruktionen.
Im Bestimmungsdreieck des Elfecks hat der Winkel an der Spitze eine Größe von (32+8/11)° oder  gerundet 32,7273°.
Ihn kann man näherungsweise konstruieren. 


Erste Näherungskonstruktion
...... Man zeichnet in einen Kreis ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 11 und 7.
Der Mittelpunktwinkel alpha ergibt sich aus tan(alpha)=7/11 zu alpha=32,4712°.

Er ist um 0,78% kleiner als der wahre Winkel (32+8/11)°.


Zweite Näherungskonstruktion
...... >Zeichne das gleichseitige Dreieck ABC.
>Halbiere den Winkel CAB. Du erhältst D.
>Zeichne die Senkrechte zu AD durch D. Du erhältst E.
>Halbiere AB. Du erhältst F.
>Bestimme den Schnittpunkt von AD und EF. Du erhältst S.
>Die Strecke CS ist angenähert die Seite des Elfecks.

Überprüfung
Man muss zur Bewertung der Konstruktion die Länge der Strecke CS berechnen.
...... Dazu legt man besten die Figur in ein kartesisches Koordinatensystem. 

Der Einfachheit halber wählt man R=1. 

Man braucht mehrere Rechenschritte.
>Punkt C hat die Darstellung C[1/2|(1/2)sqrt(3)].
>Punkt D hat die Darstellung D[cos(30°)|sin(30°)] oder D[(1/2)sqrt(3)|1/2].

>Punkt E ist Schnittpunkt der  der Geraden AC und der Senkrechten s durch Punkt D.
s: (y-1/2)/[x-(1/2)sqrt(3)]=-1/tan(30°) oder y=-sqrt(3)x+2
AC: y=tan(60°)x=sqrt(3)x
E: -sqrt(3)x+2=sqrt(3)x oder xE=sqrt(3)/3, yE=1. Also hat E die Darstellung E[sqrt(3)/3|1]

>Punkt S ist Schnittpunkt der Geraden EF und AD.
EF: (y-0)/(x-1/2)= (1-0)/(sqrt(3)/3-1/2) ... oder y=[2sqrt(3)]/[2-sqrt(3)]x-sqrt(3)/[2-sqrt(3)]
AD: y=tan(30°)x oder y=[sqrt(3)/3]x
S: [2sqrt(3)]/[2-sqrt(3)]x-sqrt(3)/[2-sqrt(3)]=[sqrt(3)/3]x ... oder xS=3/[4+sqrt(3)], yS=sqrt(3)/[4+sqrt(3)]

SC²={3/[4+sqrt(3)]-1/2}²+{sqrt(3)/[4+sqrt(3)]-(1/2)sqrt(3)}²=... 
SC=sqrt[7+2sqrt(3)]/[4+sqrt(3)]=0,5643


Nach der Formel oben R=a/(2sin(180°/11) ist die wahre Seitenlänge a=2sin(180°/11)=0,5635.
Der Fehler ist also (a-SC)/a=0,8%.

Es stellt sich die Frage: Wie kommt man auf diese Näherungskonstruktion? 
1.Schritt
...... Man geht vom Bestimmungsdreieck des Sechsecks aus. Die halbe Seitenlänge ist kleiner als die gesuchte Seite a, also versucht man es mit einem Tangentenabschnitt. 
Dieser ist etwas zu groß, wie die folgende Rechnung zeigt.
Nach dem 2.Strahlensatz gilt 1:(1/2)a'=(1/2)sqrt(3):1/2 oder a'=0,5774
Nach der Formel R=a/(2sin(180°/11) oben ist die wahre Seitenlänge a=2sin(180°/11)=0,5635.
Der Fehler ist also (a'-a)/a=2,47%.

2.Schritt
...... In einem weiteren Versuch zeichnet man einen Kreis mit der wahren Seitenlänge um Punkt C. 
Der Zufall will es, dass dieser Kreis durch den Halbierungspunkt F der Strecke AB geht.

Also kann die Strecke CS näherungsweise Seitenlänge des Elfecks werden.


Diese Konstruktion und die Überlegungen dazu gehen auf eine Zuschrift von Lutz Führer zurück.

Symmetrische Figuren aus Diagonalen

Elfeck im Internet  top

Deutsch

Wikipedia 
Elfeck, Regelmäßiges PolygonPolygon, Konstruierbares Polygon

Englisch

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Hendecagon ("The Canadian dollar coin, nicknamed Loonie, is a hendecagon.")

John Page
Undecagon

Wikipedia
Hendecagon, Polygon, Hendecagon, Hendecagram



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©  2005 Jürgen Köller

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