Was ist ein regelmäßiges Vieleck?

Das regelmäßige Vieleck hat     n gleich lange Seiten und      n gleich große Innenwinkel. (Die Variable n steht für eine natürliche Zahl größer als 2.) Stellvertretend für n-Ecke wird für die Zeichnungen meist das Siebeneck gewählt.

Das regelmäßige Vieleck heißt auch regelmäßiges n-Eck oder in Anlehnung an die englische Bezeichnung reguläres Polygon. Auf dieser Seite heißt es einfach Vieleck.

Größen des Vielecks top
Winkel

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Ein regelmäßiges n-Eck wird durch das gelbe Bestimmungsdreieck festgelegt. Der Mittelpunktswinkel ist 360°/n.  Der Innenwinkel ist (n-2)/n*180°.  Die Summe aller Innenwinkel ist (n-2)*180°.

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Es ist praktisch, die Diagonalen des Vielecks (wie links beim Siebeneck) mit di zu bezeichnen. Man nimmt dann in Kauf, dass di auch eine Seite sein kann und Diagonalen doppelt genannt werden.  Aber auf diese Weise werden die Formeln unten für die Diagonalen einfach.

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Es gibt die Größen  Seite a, Radius r des Inkreises, Radius R des Umkreises, Diagonalen di, Flächeninhalt A und Umfang U.

Es gilt sin(180/n)=(a/2)/R. Daraus folgt R=a/[2*sin(180/n)]  Es gilt tan(180/n)=(a/2)/r. Daraus folgt  r=a/[2*tan(180/n)].

Es gilt sin(180i/n)=(di/2)/R oder di=2R*sin(180°i/n). Mit R=a/[2*sin(180/n)] ist di=[a*sin(180i/n)]/sin(180/n) In der Zeichnung sind n=7 und i=3.

Es gilt tan(90°/n)=(a/2)/h oder h=a/[2tan(90°/n)].

Anzahl der Diagonalen top
Lage der Diagonalen

...... Zehneck

...... Neuneck

Es ergeben sich z.B. für das Zehn- und Neuneck unterschiedliche Bilder. Ist die Eckenzahl gerade, so verlaufen die Diagonalen durch den Mittelpunkt.  Bei ungerader Eckenzahl ist die Mitte leer und die Diagonalen bilden innen ein verkleinertes n-Eck.

Es gibt insgesamt (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+3+2+1 Verbindungslinien. Das kann man mit n(n-1)/2 zusammenfassen. 
Man muss schließlich noch die n Strecken zwischen den Eckpunkten abziehen. 
Das führt zu  n(n-1)/2-n=n(n-3)/2 Diagonalen. 
Ergebnis: Das Vieleck hat n(n-3)/2 Diagonalen. 

..... n=7.

Man erhält die Anzahl der verschieden langen Diagonalen, wenn man nur einen Punkt mit allen Eckpunkten verbindet.  Das ergibt n-1 Strecken.  Dann zieht man die beiden Seiten ab. Das ergibt n-3.  Schließlich halbiert man die Anzahl und erhält (n-3)/2. Diese Überlegung gilt aber nur für Vielecke mit ungerader Eckenzahl.

...... n=8

Ist die Anzahl der Ecken des Vielecks gerade, so ist eine Diagonale Symmetrieachse und tritt nur einmal auf.  Deshalb ist die Anzahl gleich (n-3+1)/2=(n-2)/2 bei geradem n.

Symmetrie   top
Jedes regelmäßige Vieleck ist
>n-fach drehsymmetrisch. (Bei einer Drehung um 360°/n kommt das Vieleck wieder zur Deckung.) 
>spiegelsymmetrisch (Es gibt 2n Symmetrieachsen.) 
Jedes regelmäßige Vieleck mit gerader Eckenzahl ist auch punktsymmetrisch. (Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt.) 

...... Sechseck

Ist die Eckenzahl gerade, so verläuft eine Symmetrieachse immer durch zwei  Eckpunkte oder durch zwei  Seitenmitten.

...... Siebeneck

Ist die Eckenzahl ungerade, so verläuft eine Symmetrieachse immer durch einen Eckpunkt und eine Seitenmitte.

Aufteilung der Vielecke top
Aufteilung in Dreiecke
Es geht um das Problem, in wie viele Dreiecke die Diagonalen das Vieleck zerlegen. 

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Für das Fünfeck zum Beispiel gibt es fünf Zerlegungen. Dabei werden spiegelbildliche Zerlegungen als verschieden angesehen.

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Das sind beim Viereck 4, beim Fünfeck 11 und beim Sechseck 24 Vielecke, wie man durch Nachzählen bestätigen kann.

Das Viereck hat 4+2+2=8 Dreiecke.

Kreis und Vieleck top

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Ist der Kreis ein Vieleck? Die Antwort ist nein. Das Vieleck müsste unendlich viele Ecken haben, um zum Kreis zu werden. Aber Unendlich ist keine Anzahl. - Eine Seite müsste die Länge 0 haben. Dann ist sie keine Seite mehr.

Man kann aber dem Kreis mit Vielecken beliebig nahe kommen und ihn als Grenzfigur des Vielecks bezeichnen. Dabei lässt man die Zahl der Eckpunkte über alle Grenzen gehen.
Diese Betrachtung ist für die Kreisberechnung fruchtbar, denn die Formeln des n-Ecks kann man für "n gegen Unendlich" für den Kreis übernehmen. 
Es gibt zwei Größen, die für den Kreis mit einem gegebenen Radius r von Interesse sind, nämlich der Flächeninhalt A' und der Umfang U'. Da beim Kreis A' und r² bzw. U' und 2r proportional sind und der Proportionalitätsfaktor gleich Pi ist, läuft die Kreisberechnung auf die Bestimmung von Pi hinaus.

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In einer bekannten Methode wählt man zu einem Kreis mit dem Radius r ein Sehnenvieleck und ein Tangentenvieleck und zwängt so den Kreis ein. Man bestimmt für beliebiges n die Umfänge un und Un der Vielecke und lässt n über alle Grenzen gehen. In der Zeichnung ist n=6.

Sehnenvieleck:  Es gilt sin(180°/n)=sn/(2r) oder sn=2r*sin(180°/n)

Tangentenvieleck:  Es gilt tan(180°/n)=Sn/(2r) oder Sn=2r*tan(180°/n)

Zahlenbeispiel n=100:       100sin1,8° <Pi <100tan1,8°  oder 3,1410 < 3,1416< 3,1426.

Zahlenbeispiel n=100:         50*sin3,6° < Pi < 100*tan1,8° oder 3,1395 < Pi < 3,1426

In einem Bändchen von 1913 (1) fand ich aus Vor-Rechner-Zeiten die unausgerechneten Terme für r=1

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Konstruierbarkeit der Vielecke   top

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Das gleichseitige Dreieck kann man mit Zirkel und Lineal zeichnen. Das nennt man konstruieren.  Mit dem Dreieck sind auch das Sechseck, Zwölfeck, 24-Eck usw. konstruierbar, denn man erhält sie nacheinander durch Winkelhalbieren.

Nach Gauss weiß man, dass nur die p-Ecke (p ist eine Primzahl) konstruierbar sind, bei denen es natürliche Zahlen k gibt, so dass p=2^(2^k) +1 Primzahlen sind. 
Das sind die n-Ecke mit der Eckenzahl 3, 5, 17, 257 und 65537. Weitere Zahlen sind nicht bekannt (*). 

Aus diesen " fermatschen  Primzahlen" p_i kann man durch Produktbildung neue Zahlen bilden: p₁p₂p₃...p_s. 

Beachtet man noch, dass jede dieser Zahlen wegen der Halbierungen oben Ausgangszahl einer Folge von neuen Zahlen sein kann, erhält man mit 2^m p₁p₂p₃...p_s eine allgemeine Darstellung. Vielecke mit dieser Eckenzahl sind also konstruierbar.

Konkret sind das die Zahlen 
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, ... (Sloane's A003401). 

Die n-Ecke mit der Eckenzahl 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25,...sind nicht konstruierbar. 
Es gibt für sie Näherungskonstruktionen.

Eine Maximaleigenschaft top

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Für regelmäßige Vielecke gilt der Satz: Unter allen n-Ecken, die einem Kreis einbeschrieben sind, hat das regelmäßige den größten Flächeninhalt. Der Satz ist einleuchtend, der Beweis ist aber nicht ganz einfach.  Einen gedanklich und textlich sorgfältig dargestellten Beweis findet man bei Rademacher/Toeplitz (4) auf den Seiten 9 bis 14.

Vielecke im Internet top

Deutsch

Holger Ullmann
ORNAMENTIK IM VIER-VIERTEL-TAKT

Michael Holzapfel
Regelmäßige Vielecke

Ursula Damm
Meine geometrischen Muster aus regulären Polygonen

Werner Brefeld
Regelmäßiges Vieleck und Zerschneiden

Wikipedia 
Regelmäßiges Polygon,  Polygon, Konstruierbares Polygon

Englisch
 

Bill Kendrick's WEB TURTLE (fun drawing program)

 Eric W. Weisstein (MathWorld)
CatalanNumber
ConstructiblePolygon
PolygonDiagonal
Polygons
RegularPolygon

N. J. A. Sloane  (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) 
A000108   (Catalan Numbers)

Steven E. Sommars - Tim Sommars
The Number of Triangles Formed by Intersecting Diagonals of a Regular Polygon

Silvio Levy 
Regular Polygons

Wikipedia 
Regular polygon,  Polygon, Constructible polygon

Japanisch

Kenji Okamoto  Polycircle  ("We love LOGO")

Referenzen   top
(1) Eugen Beutel: Die Quadratur des Kreises, Leipzig Berlin 1913 / 1942
(2) W.Lietzmann: Altes und Neues vom Kreis, Leipzig Berlin 1935
(3) Jean-Paul Delahaye: Pi die Story, Birkhäuser Verlag, Basel Boston Berlin 1999
(4) Rademacher-Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Springer, Berlin, Heidelberg, New York1968 (Nachdruck von 1930)