Symbolrätsel

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Was ist ein Symbolrätsel?
Vier Beispiele
Mathematischer Hintergrund

Herstellung eigener Symbolrätsel
Kryptogramme
Kryptogramme im Internet

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Was ist ein Symbolrätsel?

...

Ein Symbolrätsel ist eine Anordnung von Symbolen und Rechenzeichen. Für Symbole müssen einstellige Zahlen gesucht werden, so dass sechs ineinander verschachtelte Gleichungen erfüllt sind.

Im Unterschied zu den Variablen in der gewöhnlichen Algebra bedeuten gleiche Symbole auch gleiche Zahlen, verschiedene Symbole verschiedene Zahlen.

Symbolrätsel sind in Deutschland bekannt und beliebt. Es gibt eine Reihe von Zeitschriften wie STERN, GONG oder HÖR ZU, die regelmäßig ein Rätsel dieser Art bringen (2001).

Symbolrätsel sind im englischsprachigen Raum kaum bekannt.

Vier Beispiele top
Man benötigt kein Spezialwissen für das Entschlüsseln von Symbolrätseln. Wer die Grundrechenarten kennt, kann sie lösen.

Der Reiz der Symbolrätsel liegt darin, dass jedes Rätsel in eine kleine selbstständige Zahlenwelt führt. Für jedes Rätsel muss man sich eine neue Strategie zurechtlegen. Es gibt keinen allgemeingültigen Lösungsweg.

Man kommt mit einer Kombination aus Probieren und logischem Schließen zum Ziel. Es gibt ein paar Tricks, die in den folgenden vier Beispielen vorkommen.

Beispiel 1: top

...	Das Rätsel enthält 6 Summen. Es werden 7 Symbole verwendet; also werden 7 Zahlen gesucht.

Der erste Schritt ist die Einführung von Variablen. Das schafft Übersicht und Vertrautheit.

In den folgenden Darstellungen werden der Einfachheit halber die Rechenzeichen in der Vertikalrichtung nicht notiert.

abc+dde=.fcf
.cb+bge=..bca
aee+cbg=dgae... Wegen e+g=e in der letzten Zeile ist g=0.

abc+dde=.fcf
.cb+b0e=..bca
aee+cb0=d0ae.... Die nächste Ziffer ist d=1. Werden zwei dreiziffrige Zahlen addiert, so ist die Summe eine vierziffrige Zahl mit 1 an der ersten Stelle.

abc+11e=fcf
.cb+b0e=bca
aee+cb0=10ae Wegen e+e=10 ist e=5. Wegen 1+1=b ist b=2.

a2c+115=fcf
.c2+205=2ca
a55+c20=10a5 Wegen c+2=5 ist c=3.
Wegen 2+5=a ist a=7.

723+115=.f3f
.32+205=.237
755+320=1075 Wegen 3+5=f ist f=8.

Ergebnis:
723+115=.838
.32+205.=.237
755+320=1075

Dieses Rätsel ist ein Glücksfall, da sich die Ziffern nacheinander eindeutig ergeben.
Es gibt ein lineares Lösungsdiagramm:

Beispiel 2: top

...

Das Rätsel enthält 3 Summen und 3 Differenzen. 9 Ziffern sind zu finden.

.abc-dbb=efg
.abb-ecc=bbb
dbeb-hbb=ibc

Wegen c+b=b ist die Ziffer c=0.
Weiter ist in der letzten Zeile d=1 (s.o).

.ab0-1bb=efg
.abb-e00=bbb
1beb-hbb=ib0...

Für a kommen wegen a+a=10+b die Ziffern a=6, a=7, a=8 oder a=9 in Frage.

a=6 wird weiter verfolgt.

.6b0-1bb=efg
.6bb-e00=bbb
1beb-hbb=ib0...

Es sei a=6.Wegen 6+6=10+b ist b=2. (b=3 ist wegen b+b=g nicht möglich.)
Weiter ist wegen g+b=0 (10) die Variable g=8..

.620-122=ef8
.622-e00=222
12e2-h22=i20...

Wegen 620-122=ef8 sind e=4 und f=9.

.620-122=498
.622-400=222
1242-h22=i20...

Wegen 122+400=522 ist h=5. - Wegen 498+222=720 ist i=7.

Ergebnis:
.620-122=498
.622-400=222
1242-522=720.

Die Erfahrung zeigt, dass Symbolrätsel nur eine Lösung haben. (Ich weiß, es gibt auch mehrdeutige Rätsel. Das sind Exoten. Dieses ist die Antwort auf eine Email.) Deshalb muss man die Fälle a=7, a=8 oder a=9 nicht weiter verfolgen. Verfolgt man sie, so gelangt man schnell zu Widersprüchen.
Lösungsdiagramm:

Beispiel 3: top

...	Das Rätsel enthält 1 Quotienten, 4 Summen und 1 Differenz. Es müssen 9 Ziffern bestimmt werden.

aba :.cd=.ce
cda+ccf=aga
ehe-cad=hfi...

Wegen d+f=d ist f=0.

aba :.cd=.ce
cda+cc0=aga
ehe-cad=h0i...

Wegen der ersten Zeile ist c=1 oder c=2 oder c=3.
Ein Produkt aus zwei zweistelligen Zahlen ist nur dreistellig, wenn die erste Ziffer 1,2 oder 3 ist.

c=1 wird weiter verfolgt.

aba :..1d=..1e
1da+110=aga
ehe-1ad.=h0i...

Wegen 1+1=a ist a=2.

2b2 :..1d=..1e
1d2+110=2g2
ehe-12d=.h0i...

Wegen 2+2=e ist e=4.

2b2 :..1d=..14
1d2+110=2g2
4h4-12d=h0i...

Die erste Zeile wird nur durch 252=18x14 erfüllt. .........
Damit sind b=5 und d=8.

252 :..18=..14
182+110=2g2
4h4-128.=h0i...

Wegen 4+2=i ist i=6.
Wegen 182+110=292 ist g=9. Dann ist h=3.

Ergebnis:
252 :..18=..14
182+110=292
434-128.=306

Lösungsdiagramm:

Beispiel 4: top

...	Das Rätsel enthält 4 Produkte und 2 Quotienten. Man muss 7 Ziffern ermitteln.

..ab*.bc=..dad
..ec:....f=......f
bcd*...g=bbea...

ec ist eine Quadratzahl mit verschiedenen Ziffern.
Für f kommen f=4 oder f=7 oder f=8 oder f=9 in Frage.

f=4 wird weiter verfolgt. Wegen 4*4=16 sind e=1 und c=6.

..ab*.b6=..dad
..16:....4=.....4
b6d*...g=bb1a

Wegen 36:4=9 sind b=3 und g=9.

..a3*.36=..dad
..16:....4=.....4
36d*...9=331a

Wegen 3*6=18 ist d=8.

..a3*.36=..8a8
..16:....4=.....4
368*...9=331a

Wegen 8*9=72 ist a=2.

Ergebnis:
..23*.36=..828
..16:....4=.....4
368*...9=3312

Lösungsdiagramm:

Mathematischer Hintergrund top
Beim Symbolrätsel handelt es sich um ein Gleichungssystem aus 6 Gleichungen mit mehr als 6 Variablen. Nur 6 Gleichungen mit 6 Variablen führen i.a. zu eindeutigen Lösungen. Wenn Symbolrätsel trotzdem praktisch nur eine Lösung haben, so liegt es daran, dass nur natürliche Zahlen als Lösung zugelassen sind ("diophantische Gleichungen") und, das ist eine weitere Einschränkung, für verschiedene Symbole verschiedene Zahlen, für gleiche Symbole gleiche Zahlen eingesetzt werden müssen.

Herstellung eigener Symbolrätsel top
Es ist leicht, Symbolrätsel nur aus Summen herzustellen. Man gibt 4 Zahlen vor, zum Beispiel 723,115, 32 und 205, bildet die Summen und ordnet sie zu dem Schema an.

...... Dann ersetzt man die Zahlen durch Symbole (rechts). ......

Das ist Beispiel 1.

Sollen Differenzen vorkommen, addiert man negative Zahlen (Beispiel 2)

Beweis:

...

Das Schema links liefert den Beweis, dass Symbolrätsel mit Summen oder Differenzen tatsächlich auf so einfache Weise zu finden sind. Der Term, der für die drei Punkte unten rechts steht, ist gleich (u+v)+(x+y) oder (u+x)+(v+y). Diese beiden Terme sind gleich.

Sollen auch Produkte oder Quotienten vorkommen, wird es schwieriger, geeignete Anordnungen zu finden. Man sollte den Computer einsetzen. Damit habe ich mich nicht beschäftigt.

Kryptogramme top
Die Symbolrätsel gehören zu den Kryptogrammen. Das sind Zahlenrätsel, die Zeichen enthalten, für die Zahlen gesucht werden müssen, so dass eine Gleichung erfüllt wird. Man verlangt, dass Kryptogramme eindeutig lösbar sind.

Man beachte bei der Suche nach Kryptogrammen im Internet, dass allgemein jede Geheimschrift Kryptogramm heißt und dass die Informatiker heute diesen Begriff im Sinne von Verschlüsselung neu besetzt haben.

Als Zeichen werden häufig Buchstaben verwendet, die Worte bilden. Diese Worte ergeben dann zusammen mehr oder weniger einen Sinn.
Diese Kryptogramme bezeichnet man als Alphametiken.

Das bekannteste Beispiel einer Alphametik ist "SEND + MORE = MONEY"
(1000s+100e+10n+d+1000m+100o+10r+e = 10000m+1000o+100n+10e+y). Diese Gleichung enthält acht Variable. Trotzdem gibt es nur eine Lösung, nämlich 9567+1085=10652.

Alphametiken mit einem Sinn und vor allem einer Lösung sind nicht leicht zu finden.
Ich habe aus Vor-Computer-Zeiten meine Alphametik anzubieten, die "send more money" nachempfunden ist: GEHE + NACH = NAUEN. [Na ja ;-)].

Kryptogramme im Internet top

Deutsch

Angela und Otto Janko
Alphametics

Klaus Diller
Symbolrätsel mit Lösungen

Erik Krämer
Symbolrätsel - die Rätsel für Zahlenfetischisten

Julia Singer
Symbolrätsel online

Klaus Nagel
Zahlenrätsel - Applet

Wikipedia
Mathematisches Rätsel, Kryptogramm

Wolfgang Stanglmeier
Zahlenrätsel-Generator

Englisch

Alexander Bogomolny
Alphametics (in der linken Spalte)

Colin Barker
Cryptarithms (alphametics)