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Kleines Rhombenikosidodekaeder
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Was ist das kleine Rhombenikosidodekaeder?
... ...
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Das kleine Rhombenikosidodekaeder
ist ein Körper, der von 20 gleichseitigen Dreiecken, 30 Quadraten
und 12 regelmäßigen Fünfecken gebildet wird.
Der Körper heißt auch "abgeschrägtes
Dodekaeder" oder "abgeschrägtes Ikosaeder". |
Neben den 20+30+12=62 Seitenflächen
hat das Rhombenikosidodekaeder 120 Kanten
und 60 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander
liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale
Ansicht des Körpers.
durchsichtig
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undurchsichtig
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Da beim kleinen Rhombenikosidodekaeder
(11) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen,
gehört es zu den 13
archimedischen
Körpern.
Entstehung top
Man kann das Rhombenikosidodekaeder
aus einem Pentagondodekaeder gewinnen.
1 Man gibt ein Dodekaeder vor.
2 Alle Kanten werden passend abgeflacht,
hier angedeutet an einer Kante.
3 Aus den blauen, abgeschrägten
Kanten werden in der Mitte die Quadrate. Die Ecken werden abgeflacht.
4 Es entsteht das Rhombenikosidodekaeder.
Die
12 fünfeckigen Seitenflächen des Dodekaeders werden reduziert
zu kleineren Fünfecken.
Die 20 Ecken des Dodekaeders
werden dreieckig abgeschnitten.
Die 30 Mittelstücke der Kanten des Dodekaeders
werden
zu Quadraten.
Man erhält das Rhombenikosidodekaeder
auch, wenn man beim Ikosaeder die Kanten in gleicher Weise abschrägt.
Dann werden die 20 dreieckigen
Seitenflächen des Ikosaeders zu 20 Dreiecken.
Die 12 Ecken des Ikosaeders
werden fünfeckig abgeschnitten.
Die 30 Mittelstücke der Kanten des Ikosaeders
werden
zu Quadraten.
Beschreibungen top
Umgebungen der Vielecke
Jedes Dreieck ist von drei Quadraten umgeben.
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Jedes Fünfeck ist von fünf Quadraten
umgeben.
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Jedes Quadrat ist von zwei Dreiecken und zwei Fünfecken
umgeben.
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Fünfeckkuppeln
Die Fünfeckkuppel
hat ein Zehneck als Grundfläche und ein Fünfeck als Deckfläche.
Die Fläche dazwischen besteht aus fünf Dreiecken und fünf
Quadraten.
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Beim kleinen Rhombenikosidodekaeder
gehört
zu jedem Fünfeck eine Fünfeckkuppel. Zwei
Kuppeln liegen sich jeweils gegenüber.
Danach besteht der Körper
aus 12 ineinander geschachtelten Fünfeckkuppeln. |
Im Körper liegen also 12 Zehnecke.
Halbierung
Umläuft man längs einer Halbierungslinie den
Körper, so folgen Fünfeck/Quadrat/Fünfeck und Dreieck/Quadrat/Dreieck
2x aufeinander.
Parallelprojektionen
Ein Fünfeck, ein Quadrat, ein
Dreieck, eine Kante 4/3, eine Kante 4/5 und ein Eckpunkt liegen vorne.
Netz
und Schlegel-Diagramm
Diagonalen
120 Flächendiagonalen
... .... |
Die Diagonalen der Fünfecke und der Quadrate sind
die Flächendiagonalen des kleinen Rhombenikosidodekaeders.
Das Fünfeck hat 5, das Quadrat 2 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 12*5+30*2=120 Flächendiagonalen. |
1530
Raumdiagonalen
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Von jedem der 60 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu
den anderen Eckpunkten aus. Das sind 4 Flächendiagonalen und 4 Kanten,
wie die Zeichnung zeigt. In 60-8=52 Punkten enden dann Raumdiagonalen.
Das führt zu insgesamt (1/2)*60*51=1530 Raumdiagonalen des kleinen
Rhombenikosidodekaeders. |
Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen
steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien,
so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das kleine Rhombenikosidodekaeder
bedeutet das, dass es (1/2)*59*60=1770 Verbindungslinien gibt.
Das sind die 120 Kanten, 120 Flächendiagonalen und
1530 Raumdiagonalen.
Größen top
Das kleine Rhombenikosidodekaedersei
durch die Kantenlänge
a
gegeben.
Daraus lassen sich die Größen Radius R
der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O, Abstand der Dreiecke
d3,
Abstand der Quadrate d4 und Abstand der Fünfecke
d5
berechnen.
Herleitung
der Formeln
Folgende Formeln werden u.a. in diesem Kapitel benutzt.
Beim Pentagondodekaeder
ist der Radius der Inkugel r=(1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]a.
Gleichseitiges
Dreieck
Flächeninhalt A3 = (1/4)sqrt(3)a²
h3 = (1/2)sqrt(3)a
R3 = (1/3)sqrt(3)a
. |
Quadrat
Flächeninhalt A4 = a²
Diagonale d = sqrt(2)a
R4 = (1/2)sqrt(2)a.
. |
Regelmäßiges
Fünfeck
d=(1/2)[sqrt(5)+1]a
A5 = (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²
R5 = (1/10){sqrt[50+10sqrt(5)]}a
r5 = (1/10)[sqrt(25+10sqrt(5))]a |
Radius
R
der Umkugel
Man muss etwas weiter ausholen.
... ... |
Gegeben sei ein regelmäßiges Fünfeck
mit der Seitenlänge a'. Seine Seiten werden in drei gleiche Strecken
aufgeteilt. Zeichnet man durch die Teilpunkte Parallelen zu den Seiten,
so entsteht im Inneren ein Fünfeck mit der Seitenlänge a. Die
Strecke a ist die kurze Diagonale in einem Fünfeck mit der Grundseite
(1/3)a'.
Es besteht also die Beziehung a = (1/2)[sqrt(5)+1](1/3)a'
oder a = (1/6)[sqrt(5)+1]a'.
Das bedeutet a' = 6/{[sqrt(5)+1]a} oder a' = (3/2)[sqrt(5)-1]a. |
... ... |
Man errichtet über der Grundseite a des kleinen
Fünfecks ein Rechteck mit den Seiten a und e. Dabei ist e eine Diagonale
in einer Eckraute des großen Vierecks. Weiter errichtet man seitlich
über e ein gleichseitiges Dreieck.
Durch die Drittelung des großen Fünfecks hat
man aber erricht, dass e=a gilt.
Das wird in der Zeichnung oben gezeigt.
Nach dem zweiten Strahlensatz ist e:d' = 1:3 oder e=(1/3)d'=(1/6)[sqrt(5)+1]a'=a.
Man kann also an das innere Fünfeck
ein Quadrat und an das Quadrat ein gleichseitiges Dreieck anhängen
und so schrittweise zu allen Seitenflächen des kleinen Rhombenikosidodekaeders
gelangen. |
Das große Fünfeck gehört
also zum erzeugenden Pentagondodekaeder und das innere zum kleinen
Rhombenikosidodekaeder.
Mit der Beziehung a' = (3/2)[sqrt(5)-1]a
von oben wird der Radius R der Umkugel des kleinen Rhombenikosidodekaeders
berechnet.
... ... |
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen,
in dem R als Hypotenuse erscheint.
Die Katheten sind r' als Radius der Inkugel des erzeugenden
Dodekaeders und R5 als Radius des Umkreises des Fünfecks.
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras
R²=r'²+R5² oder R² = {(1/20)sqrt[250+110sqrt(5)]a'}²+{(1/10){sqrt[50+10sqrt(5)]}a}² |
Dann ist R² = (1/400)[250+110sqrt(5)]a'²+(1/100)[50+10sqrt(5)]a².
In diese Gleichung setzt man noch a' = (3/2)[sqrt(5)-1]a
bzw. a'²=(9/4)[6-2sqrt(5)]a² ein und vereinfacht.
R²/a² = (9/160)[(25+11sqrt(5)][6-2sqrt(5)]+1/2+(1/10)sqrt(5)
R²/a² = (9/160)[150-50sqrt(5)+66sqrt(5)-110]+1/2+(1/10)sqrt(5)
R²/a² = (9/160)[40+16sqrt(5)]+1/2+(1/10)sqrt(5)
R²/a² = 9/4+(9/10)sqrt(5)+1/2+(1/10)sqrt(5)
R²/a² = 11/4+sqrt(5)
Dann ist R = sqrt[11/4+sqrt(5)]a oder R = (1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a,
wzbw..
Diese
Herleitung wurde von Alexandra Meier-Holst zur Verfügung gestellt,
danke!
Radius
rk der Kantenkugel
Bei archimedischen Körpern liegen die Kantenmitten
auf einer Kugel, der Kantenkugel.
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Der Radius rk der Kantenkugel kann über
den Radius R der Umkugel bestimmt werden.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt rk² =
R²-[(1/2)a]² = (1/4)[11+4sqrt(5)]a²-(1/4)a² = (1/4)[10+4sqrt(5)]a².
Dann ist rk= (1/2)sqrt[10+4sqrt(5)]a, wzbw. |
Oberfläche
O
O = 20*A3+30*A4+12*A5 =
20*(1/4)sqrt(3)a² + 30*a²+12*(1/4){sqrt[25+10sqrt(5)]}a²
...= [30+5sqrt(3)+3{sqrt[25+10sqrt(5)]}a²,
wzbw.
Abstand
der Dreiecke
d3
... ... |
M sei der Mittelpunkt des Körpers.
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen,
in dem d3/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d3/2)² = R²-R3²
und weiter
(d3/2)² = {(1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a}²-[
]² =...= (1/144)[348+144sqrt(5)]a².
Dann ist d3/2 = (1/12)sqrt[348+144sqrt(5)]a
oder
dank Derive d3/2 = (1/12)[6sqrt(3)+4sqrt(15)]a. |
Abstand
der Quadrate
d4
... ... |
M sei der Mittelpunkt des Körpers.
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen,
in dem d4/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d4/2)² = R²-R4²
und weiter
(d4/2)² = {(1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a}²-[(1/2)sqrt(2)a]²
=...= (1/4)[9+4sqrt(5)]a².
Dann ist d4/2 = (1/2)sqrt[9+4sqrt(5)]a
oder dank Derive d4/2 = (1/2)[2+sqrt(5)]a. |
Abstand
der Fünfecke d5
... ... |
M sei der Mittelpunkt des Körpers.
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen,
in dem d5/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d5/2)² = R²-R5²
und weiter
(d5/2)² = {(1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a}²-[(1/10){sqrt[50+10sqrt(5)]}a]²
... = (1/100)[225+90sqrt(5)]a²
Dann ist d5/2 = (1/10)sqrt[225+90sqrt(5)]a. |
Volumen
V
Verbindet man den Mittelpunkt des kleinen Rhombenikosidodekaeders
mit seinen Eckpunkten, so erhält man eine Aufteilung des Körpers
in drei verschiedene Pyramiden. Das Volumen ergibt sich als der Summe der
Volumina der Einzelpyramiden.
V = 20*(1/3)A3(d3/2) +
30*(1/3)A4(d4/2)
+
12*(1/3)A5(d5/2)
= 20*(1/3)[(1/4)sqrt(3)a²](1/12)[6sqrt(3)+4sqrt(15)]a
...+30*(1/3)a²(1/2)[2+sqrt(5)]a
...+12*(1/3){(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²}(1/10)sqrt[225+90sqrt(5)]a
= ...
= (5/18)[3sqrt(15)+10sqrt(10)]a³+5[2+sqrt(5)]a³+(3/2)[5+2sqrt(5)]a³
=...
= [20+(29/3)sqrt(5)]a³ = (1/3)[60+29sqrt(5)]a³,
wzbw.
Zwei Winkel
Der Winkel zwischen einer Fünfeck-
und Quadratfläche ist 148°17'.
Der Winkel zwischen einer Dreieck-
und Quadratfläche ist 159°6'.
(1) Seite 111
Dualer Körper top
Deltoidalhexakontaeder
... ... |
Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen
des kleinen Rhombenikosidodekaeders, so entsteht
der duale Körper, das Deltoidalhexakontaeder. |
Rhombenikosidodekaeder
im Internet top
Deutsch
Wikipedia
Rhombenikosidodekaeder,
Archimedischer
Körper, Catalanischer
Körper, Deltoidalhexakontaeder
Englisch
Eric.W.Weisstein (MathWorld)
Small
Rhombicosidodecahedron Dual: Deltoidal
Hexecontahedron
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour
la Physique )
Polyhedra
(Applets)
G. Korthals Altes
Paper
Model Rhombicosidodecahedron
Poly
A program
for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing
polyhedra)
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden
mit Hilfe dieses Programms.
Wikipedia
Rhombicosidodecahedron,
Archimedean
solid, Catalan
solid, Deltoidal
hexecontahedron
Französisch
Robert FERRÉOL
RHOMBICOSIDODÉCAÈDRE
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models,
Oxford 1961 (Seite 111)
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https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2008, überarbeitet 2013, Jürgen Köller
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