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Was ist ein Polyiamond?
Polyiamonds entstehen, wenn man gleichseitige Dreiecke
so aneinanderlegt, dass sie mindestens eine Seite gemeinsam haben.
Der schottische Mathematiker T.H.O'Beirne schlug im "New
Scientist" 1961 den Namen Polyiamonds vor [(1), Seite 164]. Er benannte
die Figuren nach dem Diamanten (diamond). Ich verzichte auf die eingedeutschte
Bezeichnung Polyiamant oder Polyamant.
Einfache Polyiamonds
top
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Aus zwei oder drei gleichseitigen Dreiecken kann man
nur eine Figur (oder einen Stein) legen.
Es gibt drei Figuren aus vier Dreiecken. Das sind die
Tetriamonds. |
Pentiamonds top
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Es gibt vier Figuren aus fünf Dreiecken. |
Will man mit ihnen spielen, sollte
man sich den Satz aus vier Steinen bauen.
... ... |
Man drucke dazu ein Muster aus gleichseitigen Dreiecken
aus, markiere die vier Figuren in gewünschter Größe, klebe
sie auf Pappe und schneide sie aus. (Ich stelle das Dreiecksmuster
hier bereit.) |
Trotz der geringen Anzahl der Pentiamonds
kann man Figuren legen:
Man kann erkennen:
1 Intercity, 2 Sphinx, 3 Schiefer Turm, 4 Trapez ohne
rechte Ecke, 5 Reihenhäuser, 6 Motorboot, 7 Motorboot mit Guckloch.
Sogar achsensymmetrische Figuren sind möglich:
Hexiamonds top
Es lohnt sich, sich mit den Figuren aus sechs Dreiecken,
den Hexiamonds, zu beschäftigen. Die Anzahl ist größer
als die der Pentiamonds und damit auch die Anzahl der Spielmöglichkeiten.
Man kann sie nach der Anleitung oben bauen.
Es gibt 12 Hexiamonds.
Die Namen der Steine stammen von O'Beirne, der schon oben
genannt wird.
Spielereien
mit Hexiamonds
top
An einer anderen Stelle meiner Homepage werden Pentominos
besprochen. Mit ihnen kann man unterschiedliche Probleme angehen wie Rechtecke,
neue Figuren, Figuren mit Löchern, vergrößerte Pentominos
oder Ringe bilden. Diese Probleme kann man auf Hexiamonds übertragen.
1. Problem: Parallelogramme
bauen
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Die 12 Hexiamonds haben zusammen 12*6=72 Dreiecke.
Es gilt 72 = 2*36 = 3*24 = 4*18 = 6*12 = 8*9.
Möglich und dargestellt sind die Parallelogramme
6*12 und 9*8. |
2. Problem:
Neue
Figuren bilden
Entwirft man eigene Figuren aus allen 12 Steinen, sollte
man sich zuerst vergewissern, ob sie lösbar sind. Dazu benutzt man
die Schachbrettmethode, bei der man alle Steine und die Figur färbt
und die Anzahl der Dreiecke einer Farbe vergleicht.
Färbt man alle zwölf Steine, so haben 10 Steine
3 weiße und 3 schwarze (graue) Felder, 2 Steine haben 4 oder
2 schwarze Felder. Für alle gilt: Sie haben entweder die Verteilung
38+34 oder 36+36. Die zweite Verteilung entsteht, wenn einer der beiden
rechten Steine umgefärbt wird.
Hat man eine Figur entworfen und färbt sie schachbrettartig,
so muss sich die Verteilung auf die Figur übertragen. So hat die folgende
Figur die Verteilung 38+34. Sie ist lösbar.
Es ist aber nicht gesagt, dass eine Figur immer lösbar
ist, auch wenn die Verteilung 38+34 oder 36+36 ist. Man kann nur sagen,
dass die Figur dann lösbar sein kann.
Entwürfe:
Gibt es eine Lösung? Wie sieht sie aus?
3. Problem: Ringe
bilden
... ... |
Man baut aus allen Hexiamonds einen Ring.
Man kann sich dann das Ziel setzen, möglichst viele
(weiße) zusammenhängende Dreiecke einzuschließen.
Ist 91 zu übertreffen? |
4. Problem: Einzeldreiecke
einkreisen
... ...
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Man kann alle 12 Steinen verwenden und möglichst
viele Einzeldreiecke einschließen. In einem ersten Versuch habe ich
es auf acht Dreiecke gebracht. |
5. Problem: Kleine
Figuren bauen
Man muss für neue Figuren nicht alle 12 Steine verwenden.
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Man kann aus acht Hexiamonds mit 48 Dreiecken einen Stern
bauen. |
6. Problem: Verdoppeln
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Man kann ein Hexiamond mit 4 Steinen vergrößert
nachlegen, 8 bleiben jeweils übrig.
Frage: Geht das mit allen Hexiamonds? |
7:Problem: Verdreifachen
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Man kann ein Hexiamond mit 9 Steinen vergrößert
nachlegen, 3 bleiben jeweils übrig.
Das klappt nur mit 9 Hexiamonds (Quelle: Anleitungsheft
"Verhext") |
8.Problem: Figuren
aus gleichen Hexiamonds
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Man kann aus vier gleichen Hexiamonds ("Sphinx") ein
vergrößerte Ausgabe bauen. |
... ...
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Man kann aus gleichen Hexiamonds auch andere Figuren
vergrößert legen.
Beispiel: Aus vier Steinen ("Yacht") entsteht ein größeres
Hexiamond ("Rhomboid"). |
Man könnte mit dem Stein Yacht die gesamte Ebene überdecken.
Frage: Mit welchen Steinen kann man die Ebene auch noch
"parkettieren"?
Verhext top
... ... |
In den 1960iger Jahren gab es ein bekanntes Puzzle in
Deutschland mit dem Namen "Verhext". Es benutzte die 12 Hexiamonds.
Es wurde von Professor Heinz Haber entwickelt und im
Fernsehen und in seinem Magazin "Bild der Wissenschaft" ausführlich
besprochen.
Bei Verhext hießen die Steine Kamm, Kirche, Pfeil,
Feile, Revolver, Haken, Hexagon, Segelboot, Schlange, Tanker, Pfeffermühle,
Dach.
Hersteller: Herbert Zimpfer, Metallwarenfabrik, 7586
Altschweier / Baden |
Puzzle aus
verschiedenen Polyiamonds
... |
Name and Hersteller unbekannt
Zugesandt von Bodo Schnell
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Heptiamonds top
Es gibt 24 Heptiamonds.
Weiter existieren 66 Oktiamonds und 160 Figuren aus 9 Dreiecken,
448 Figuren aus 10 Dreiecken und 1186 Figuren aus 11 Dreiecken.
Eine Email
top
Craig Knecht sandte mir die folgende interessante Email.
Hi Jurgen Koller,
I have ventured into the world
of polyiamonds. I have made some cartoons and tried to humanize the
subject ...
In the cartoon below -
The fat bird cannot be tiled with
the sphinx tile.
The hexagon with and without the
fat bird can be tiled with the sphinx tile.
I just find that to be interesting
...
I found a proof that all hexagons
can be tiled with the theoretical maximum number of heptiamonds....
https://oeis.org/A298267
https://oeis.org/A291582
Cheers !
Craig
PS https://en.wikipedia.org/wiki/User:Knecht03/sandbox
Polyiamonds im
Internet top
Deutsch
Gerd Müller
Hexiamonds
interaktiv
Steffen Mühlhäuser
Rhomba
Andrew Clarke (Die Poly-Seiten)
Polyiamonds
Thimo Rosenkranz
Hexiamond-Figuren
Wikipedia
Heinz
Haber
Englisch
Andrew Clarke (Die Poly-Seiten)
Polyiamonds
Col. George Sicherman (Polyform Curiosities)
Mixed
Polyiamond Compatibility
Ed Pegg Jr. (mathpuzzle.com)
iamonds,
octiamonds
and beyond
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Polyiamond
Johannes Hindriks
Heptiamonds
Kadon Enterprises, Inc.
Mini-IAMOND
RINGTM, IAMOND HEXTM, IAMOND RINGTM,
OCTIAMOND RINGTM,
N. J. A. Sloane (The On-Line Encyclopedia
of Integer Sequences)
Number of triangular
polyominoes, Number of one-sided
triangular polyominoes
Wikipedia
Polyiamond
Referenzen top
(1) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig
1971 (ISBN 3-528-08402-2)
(2) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (ISBN
3-7701-2097-3)
(3) M.Odier, Y.Roussel: Trioker mathematisch gespielt,
Braunschweig, Wiesbaden 1979 (ISBN 3-5 28-08394-8)
(4) Zusammenlegspiele mit Quadraten und Dreiecken, Bild
der Wissenschaft 11/1965, Seite 946ff., Fortsetzung in Heft 12/1965
(5) Noch einmal: "Verhext", Bild der Wissenschaft 3/1967,
Seite 238ff.
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Diese
Seite ist auch in Englisch vorhanden.
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2003 Jürgen Köller
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