Was ist das Zweiersystem?
Das Zweiersystem ist eine Stellenschreibweise der Zahlen, bei der nur die beiden Ziffern 0 und 1 verwendet werden. 

Die Darstellung im Zweiersystem ist zwar umständlich, schon weil die Anzahl der Stellen schnell wächst, aber im Zeitalter der Informationstechnik hat sie eine große Bedeutung erlangt. 
1 und 0 können gedeutet werden als an-aus, wahr-falsch, ja-nein, geschlossen-offen.

Das Zweiersystem heißt auch Dualsystem, Binärsystem oder binäres System.
Ich füge noch für den Gebrauch von Suchmaschinen die englischen Bezeichnungen binary numeral system, kürzer binary system oder ganz kurz binary hinzu.

Erklärung des Zweiersystems top
Das Zweiersystem ist im Prinzip wie das Zehner- oder Dezimalsystem aufgebaut.

Das Zehnersystem ist ein Stellenwertsystem. In einer Zahl wie 10110 haben die drei Einsen unterschiedliche Bedeutung. Es kommt darauf an, wo sie stehen. Diese unterschiedlichen Bewertungen zeigt die Tabelle.

.

Umrechnungen   top
Vom Zweiersystem zum Zehnersystem
Es stellt sich die Aufgabe, eine Zahl wie (100111)₂ ins Zehnersystem zu übertragen, schon damit man eine Vorstellung von der Größe hat. Der Weg wurde oben schon dargestellt.

Fünfersystem  top
Das Zweiersystem benötigt zur Darstellung einer Zahl nur zwei Ziffern und ist wegen dieser Einfachheit gewohnheitsbedürftig. Deshalb ist es vielleicht hilfreich, wenn man ein weiteres Zahlensystem vorstellt mit mehr Ziffern. Das soll das Fünfersystem sein, bei dem man mit 0, 1, 2, 3 und 4 auskommt.
Das Fünfersystem hat die Stufenzahlen 5, 5²=25, 5³=125,..., die zu folgender Tabelle führen.

Verknüpfungen top
Unter Verknüpfungen versteht man die Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. 

......

Man schreibt die Zahlen untereinander und addiert stellenweise von rechts nach links. Man beginnt mit 1+1=2=10. Die Ziffer 0 schreibt man hin und 1 als Übertrag (Wie heißt es so schön? Null hin, Eins im Sinn.). Dann folgt 1+1+1=3=11. Man schreibt 1 hin und notiert den Übertrag 1.

......

Wieder schreibt man die beiden Zahlen untereinander. Die ersten beiden Einsen führen unten zu 0. Dann muss man 1+x=10 lösen. Es ist 1+1=10. Man schreibt 1 hin und vermerkt den Übertrag 1. Die gleiche Überlegung erfordern die nächsten beiden Spalten.

......

Nach dem üblichen Verfahren schreibt man die Faktoren nebeneinander und beginnt mit der Viererstelle ("Hunderter"): 100011 *1=100011.  Dann folgt die gleiche Zeile noch zweimal, wird aber nach rechts verschoben.  Die spaltenweise Addition schließt sich an.

......

Die erste Division ist 1000:111="1". Die zweite Zeile heißt dann 111. Die Differenz ist 1. Holt man die nächste 1 herunter, so ist 11:111 nicht möglich. Also steht oben rechts die Zahl 0. Die nächste Stelle, die man herunterholt, führt zu 111:111=1. Also ist 101 der gesuchte Quotient.

Bruchzahlen 
Es ist üblich, eine rationale Zahl als Bruch oder als Summe aus einer ganzen Zahl und Bruch (früher gemischte Zahl genannt) darzustellen. 
Beispiele sind 7/20, 12/33 oder 7 5/12.
Um ins Zweiersystem zu gelangen, ersetzt man jede Zahl durch eine Darstellung im Zweiersystem. Das ist nicht mehr als eine Schreibübung und soll nicht weiter verfolgt werden.

Interessanter ist die Übertragung  der Dezimalbruchdarstellung. 
Ein Dezimalbruch hat einen Vorteil: Er ergibt eine gute Vorstellung von der Größe des Bruches. Der Nachteil ist, dass die Darstellung wegen der Periode umständlich ist.
Drei Beispiele: 7/20=0,35     12/33=0,713636...    7 5/12=7,41666... 
Die Zahlen repräsentieren die drei möglichen Darstellungen eines Dezimalbruches, die endliche, die rein-periodische und die gemischt-periodische. Man kann sich überlegen, dass allein der Nenner bestimmt, welche Klasse vorliegt.
Im ersten Fall ist der Nenner eine Zahl, die nur 2 und 5 als Teiler hat (20=2*2*5).
Im zweiten Falle hat der Nenner weder 2 noch 5 (33=3*11) als Teiler.
Im dritten Fall hat der Nenner mindestens eine 2 oder 5, aber auch mindestens einen von 2 und 5 verschiedenen Teiler (12=2*2*3).

Die Zahl (0,011)₂ ist eingetragen. Es ist 1/4+1/8=3/8.
Nun benötigt man ein Verfahren, um auch die beiden anderen Zahlen mit einer Periode ins Zehnersystem zu übertragen, schon damit man weiß, mit welchen Zahlen man es zu tun hat.

......

......

Man multipliziert die gegebene Zahl zweimal so, dass rechts des Kommas gleiche Ziffern untereinander stehen.  Beim Subtrahieren fallen die Nachkommastellen dann weg.

......

Will man zu einem beliebigen Bruch die Darstellung im Zweiersystem bestimmen, kann man das normale Divisionsverfahren verwenden.  Das wird demonstriert am Beispiel 1/5=(0,0011)2 Die Periode wird auf dieser Seite blau gekennzeichnet.  Normalerweise setzt man einen Strich über die Periode.

Die Periode steht im Zusammenhang mit der Eulerschen Funktion phi(n). Da wird jeder natürlichen Zahl n  (n>1) die Anzahl aller natürlichen Zahlen <n , die zu n teilerfremd sind, zugeordnet. 
Ist zum Beispiel n eine Primzahl p, so ist phi(p)= p-1. 
Für die ersten Zahlen gilt:

Logikus    top
Als sich in den 1960er Jahren abzeichnete, dass der Computer in unserem täglichen Leben eine immer größere Rolle spielen  würde, gab der Kosmos Spielcomputer Logikus (1969) vielen einen kleinen Einblick, "wie das so mit Null und Eins funktioniert". 
Ich besitze ihn noch und habe ihn für diese Seite noch einmal "programmiert". Dazu wurde ein Geflecht aus blauen Drähten gesteckt. 

......

Bewegt man nacheinander die roten Schieber nach oben, so zeigen die vier mittleren Glühlämpchen die Zahlen 0 bis 9 im binären System an.  Damit man hier die Glühlämpchen besser sieht, wurde die Abdeckung abgenommen und mit Gelb und Weiß etwas nachgeholfen. So erkennt man, dass dem roten Schieber 5 unten die Zahl 0101 oben zugeordnet ist. Die folgende logische Schaltung wurde beim Logikus umgesetzt.

Später konnte die Schaltung mit mehr Komfort mit dem Simulog der Firma Leybold aufgebaut werden. 
Dann denke ich noch an die Basteleien mit dem 7474 :-).

Zählspiel  top
Das Zweiersystem ist Unterrichtsstoff der Klasse 5. 
Da empfehle ich ein Zählspiel, das dem Bewegungsdrang der Schüler in diesem Alter entgegen kommt.

......

Fünf Schüler dürfen nach vorne kommen, vier Schüler bringen zur Anzeige von 0 und 1 ein Heft mit, ein Schüler zählt laut. Haben die Schüler die ersten 15 Zahlen in Dualschreibweise vor sich, so ist das Zählen einfach. Sie heben das Heft bei 1 und halten es waagerecht bei 0. Das ist aber nur eine Vorübung.

Sie können auch rein mechanisch vorgehen. 
>Der Schüler auf dem Einerplatz rechts hebt und senkt sein Heft gleichmäßig. 
>Der Zweier daneben achtet nur auf den Einer. Wenn dieser sein Heft senkt, muss er aktiv werden. Entweder hebt er sein Heft oder senkt es.
>Der Vierer achtet wieder nur auf den Zweier und folgt ihm wie der Zweier dem Einer. Wenn der Zweier sein Heft senkt, hebt oder senkt er sein Heft. 
>Der Achter achtet auf den Vierer.

Betrachtet man einen Schüler isoliert, so hebt jeder sein Heft in gleichen Zeitabständen, allerdings mit unterschiedlicher Frequenz. 

Mit diesem Spiel gewinnt man eine neue Sicht des Zweiersystems.

Dualzahlen?   top
Ich hatte die Absicht, diese Seite "Dualzahlen" zu nennen. In den Schullehrbüchern der Mathematik wird dieser Name schon seit längerer Zeit nicht mehr verwendet. Der Hintergrund ist, dass die Lehrbuchverfasser streng  zwischen einer Zahl und der Darstellung einer Zahl unterscheiden. Somit sind Ausdrücke wie Dezimalzahl, römische Zahl, gemischte Zahl und eben Dualzahl getilgt. Unter einer Zahl versteht man nur die Zahl an sich wie die natürliche Zahl, die rationale Zahl, die negative Zahl usw..
Daran möchte ich mich halten, auch wenn ich persönlich das nicht so eng sehe. Leider gibt es an Stelle der Dualzahl oder Computerzahl keinen ebenso griffigen Namen. 

Graphen   top

---

---

---

Zweiersystem im Internet top

Deutsch

Arndt Brünner
Das Binärsystem,  Umrechnung von Zahlensystemen

Wikipedia
Dualsystem, Dezimalsystem, Stellenwertsystem, Zahlbasiswechsel, Rationale Zahl

Englisch

Alexander Bogomolny (Cut The Knot)
History of the Binary System

convertbinary.com
Convertbinary

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Binary

Wikipedia
Binary numeral system

Referenzen   top
(1) Heinrich Behnke (u.a.): Mathematik 1, DAS FISCHER LEXIKON, Frankfurt am Main, 1964
(2) Werner Burau: Elementare Zahlentheorie, Stuttgart 
(3) LS 5, Ernst Klett Schulbuchverlag 1993 [ISBN 3-12-730700-4]
(4) LS 6, Ernst Klett Schulbuchverlag 1994 [ISBN 3-12-730710-1]
(5) D.E. Knuth: Volume 2 Seminumerical Algorithms, Third Edition (Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1997), xiv+762pp [ISBN 0-201-89684-] Chapter 4: Arithmetic