Zufluss- und Abfluss-Aufgaben
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Was sind Zufluss- und Abfluss-Aufgaben?
1) Drei Pumpen 1
2) Ein Zufluss
3) Zwei Abflüsse
4) Drei Pumpen 2
5) Drei Zuflüsse
6) Wanne füllen 1
7) Wanne füllen 2
8) Zwei Pumpen
9) Zwei Zuflüsse, ein Abfluss
Anhang
Zufluss- und Abfluss-Aufgaben im Internet
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Was sind Zufluss- und Abfluss-Aufgaben?
Das sind Textaufgaben, in denen es darum geht, einen Behälter zu füllen oder zu leeren.


Das ist eine typische Aufgabe dieser Art.
...... Eine Wanne wird in 6 Minuten gefüllt. Zieht man den Stöpsel, wird sie in 9 Minuten geleert. 
In welcher Zeit wird die Wanne gefüllt, wenn der Abfluss geöffnet bleibt? 
Antwort
Die Wanne wird bei geöffnetem Abfluss in 18 min geleert. 
Das ist Aufgabe 6 meiner kleinen Aufgabensammlung. 

1) Drei Pumpen 1     top
...... Drei gleiche Pumpen füllen einen Behälter in 30 Minuten. Wie lange brauchen zwei Pumpen?

Lösung
Eine Pumpe würde dreimal so lange brauchen, also 90 Minuten, zwei Pumpen dann halb so lange, also 45 Minuten.

Antwort
Zwei Pumpen brauchen 45 Minuten.


Die Zeit für das Füllen des Behälters nimmt ab, je größer die Anzahl der Pumpen ist. Die Anzahl der Pumpen n ist umgekehrt proportional oder antiproportional zur Zeit t.  Das Produkt n*t ist konstant, nämlich 1*90 min. In der Aufgabe ist 3*30 min = 2*45 min = 1*90 min. 

2) Ein Zufluss  top
...... Ein Behälter wird in 3 Minuten mit 12 l Wasser gefüllt. Wie viel Wasser enthielt der Behälter nach 30 Sekunden?

Lösung
Nach 3 min sind im Behälter 12 l vorhanden.
Nach 1 min sind im Behälter 4 l vorhanden.
Nach 1/2 min sind im Behälter 2 l vorhanden.

Antwort
Der Behälter enthielt 2 l.

Es wird stillschweigend vorausgesetzt, dass das Wasser gleichmäßig fließt. Dann sind das Volumen V und die Zeit t proportional oder quotientengleich. Der Proportionalitätsfaktor ist V/t = 4 l/min. Man kann ihn als Zuflussgeschwindigkeit bezeichnen.


3) Zwei Abflüsse     top
...... Ein Behälter wird durch einen Abfluss in 3 Minuten geleert, durch einen zweiten in 2 Minuten. 
Wie schnell wird der Behälter geleert, wenn beide Abflüsse geöffnet werden?

Lösung
Der Behälter fasse das Volumen 1 Volumeneinheit = 1 VE. 
Die Abflussgeschwindigkeit der Abflüsse zusammen sei a3=1VE/(x min). 
Die Abflussgeschwindigkeit des ersten Abflusses ist a1 = 1VE/(3min), die des zweiten a2 = 1VE/(2min). 
Die Abflussgeschwindigkeiten addieren sich: a1+a2 = a3.
Also ist 1VE/(3min)+1VE/(2min) = 1VE/(x min) oder 1/3+1/2 = 1/x.
Daraus folgt (2+3)/6 = 1/x oder x = 6/5 = 1,2.

Antwort
Sind beide Abflüsse geöffnet, wird der Behälter in 1,2 Minuten = 1 Minute 12 Sekunden geleert.


Es mag sein, dass man die Einführung von 1 VE für das Fassungsvermögen des Behälters als merkwürdig empfindet. Lässt man die Einheit VE weg, so wäre die Volumenangabe des Behälters mit 1 unklar. Beim Rechnen mit Größen erwartet man für das Volumen eine Einheit. 

Man könnte auch willkürlich 1 VE = 6 dm³ setzen. Das ist anschaulich und auch möglich. 
Die Rechnung führt dann auch zur Gleichung 1/3+1/2 = 1/x. Die Lösung ist unabhängig vom Maß des Behälters.


4) Drei Pumpen 2 top
...... Drei Pumpen füllen gemeinsam ein Bassin in 15 Stunden. 
Die erste Pumpe füllt das Bassin in 5 Stunden weniger als die zweite Pumpe.
Die dritte füllt dreimal so schnell wie die erste.
Wie lange braucht jede Pumpe alleine?

Lösung
Die Zuflussgeschwindigkeit der ersten Pumpe sei v1 = 1VE/(x h), die der zweiten v2 = 1VE/(xh+5h), die der dritten v3 = 3 VE/(x h).
Die Zuflussgeschwindigkeit aller Pumpen zusammen ist v = 1 VE/(15 h).
Es gilt v1 + v2 + v3 = v oder 1/x+1/(x+5)+3/x= 1/15.
Die Gleichung 1/x+1/(x+5)+3/x= 1/15 führt zur quadratischen Gleichung x²-70x-300 = 0.
Die positive Lösung ist x = 35+sqrt(1525) oder gerundet x=74,0. 

Antwort
Die erste Pumpe füllt das Bassin in 74,0 h, die zweite in 79,0 und die dritte in 24,7 h.


5) Drei Zuflüsse     top
...... Ein Becken kann durch drei unterschiedliche Leitungen gefüllt werden. Die erste Leitung braucht zum Füllen 2 Stunden, die zweite 3 Stunden und die dritte 6 Stunden. 
Wie lange dauert es, das Becken zu füllen, wenn alle drei Leitungen gleichzeitig geöffnet werden?

Lösung 
Es sei f=1VE/(x h) die Zuflussgeschwindigkeit, wenn alle Leitungen geöffnet sind.
Die einzelnen Zuflussgeschwindigkeiten sind f1 = 1VE/(2h), f2 = 1VE/(3h) und f3 = 1VE/(6h). 
Es gilt f1 + f2 + f3 = f oder 1/2+1/3+1/6 = 1/x oder (3+2+1)/6 = 1/x oder x = 1. 

Antwort
Sind alle Leitungen geöffnet, dauert das Füllen nur eine Stunde. 


6) Wanne füllen 1   top
......
Eine Wanne wird in 6 Minuten gefüllt. Zieht man den Stöpsel, wird sie in 9 Minuten geleert. 
In welcher Zeit wird die Wanne gefüllt, wenn der Stöpsel gezogen bleibt? 

Lösung
Die Zuflussgeschwindigkeit bei gezogenem Stöpsel sei a+ = 1VE/(x min).
Die Zuflussgeschwindigkeit ist z = 1VE/(6 min), die Abflussgeschwindigkeit a = 1VE/(9 min). 
Es gilt a+ = z-a oder 1/x = 1/6-1/9 = (3-2)/18 = 1/18 oder x = 18.

Antwort
Die Wanne wird bei geöffnetem Abfluss in 18 Minuten gefüllt. 


7) Wanne füllen 2   top
...... Herr Schussel lässt in eine Wanne warmes Wasser ein und wundert sich, dass es 20 min dauert, bis die Wanne wie gewünscht gefüllt ist. Er stellt fest, dass er vergessen hatte, den Abfluss mit dem Stöpsel zu schließen. Das holt er schnell nach. - Nach dem Bad lässt er das Wasser ablaufen und das dauert 12 min. 
Wie lange hätte das Wasser-Einlassen gedauert, wenn er den Abfluss mit dem Stöpsel verschlossen hätte?

Lösung
Die Zuflussgeschwindigkeit mit Stöpsel sei z = 1 VE/(x min).
Die Zuflussgeschwindigkeit bei gezogenem Stöpsel ist z+ = 1VE/(20 min), die Abflussgeschwindigkeit ist a = 1VE/(12 min).
Es gilt wie in Aufgabe 5 
z+ = z - a oder  1/20 = 1/x -1/12 oder 1/x = 1/20+1/12 = (3+5)/60 = 8/60 oder x= 60/8 = 15/2 = 7,5.

Antwort
Hätte Herr Schussel an den Stöpsel gedacht, wäre die Wanne schon in 7 min 30 s gefüllt.


8) Zwei Pumpen   top
...... Eine Pumpe füllt einen Behälter zweimal so schnell wie eine zweite. Wenn beide Pumpen arbeiten, wird der Behälter in 18 min gefüllt. Wie lange dauert es jeweils, wenn eine Pumpe alleine arbeitet?

Lösung
Die Zuflussgeschwindigkeit der schwächeren Pumpe sei z1 = 1VE/(x min), die der stärkeren ist dann z2 = 2VE/(x min). 
Arbeiten beide Pumpen, ist die Zuflussgeschwindigkeit z = 1VE/(18 min).
Es gilt z1 +z2 = z oder 1VE/(x min)+2VE/(x min) = 1VE/(18 min) oder 1/x+2/x = 1/18 oder 3/x=1/18 oder x=54.

Antwort
Die langsame Pumpe braucht 54 min, die schnelle 27 min.


9) Zwei Zuflüsse, ein Abfluss    top
...... Ein Behälter wird durch zwei Zuflüsse gefüllt. Der erste Zufluss füllt ihn in 9 Stunden, der zweite in 6 Stunden. Ein  Abfluss leert ihn in 4,5 Stunden. 

Wie lange dauert die Füllung, wenn alle drei geöffnet sind?

Lösung
Sind die beiden Zuflüsse und der Abfluss geöffnet, dann sei die Füllgeschwindigkeit z = 1VE/(x h).
Die Zuflussgeschwindigkeiten sind z1 = 1VE/(9h) und z2 = 1VE/(6h), die Abflussgeschwindigkeit z3 = 1VE/(4,5h).
Es gilt z1 +z2 -z3 = z oder 1/9+1/6-1/4,5 = 1/x oder (2+3-4)/18 = 1/x oder x=18.

Antwort
Es dauert 18 Stunden, bis der Behälter gefüllt ist.


Anhang    top
Es gibt in der Unterhaltungsmathematik neben den Abfuss-Aufgaben Aufgaben aus anderen Gebieten, die für die Lösung die gleichen Gedankengänge erfordern. Eine bekannte Aufgabe ist die von der Kuh, der Geiß und der Gans.

Aufgabe
Eine Kuh, eine Geiß und eine Gans fressen Gras auf einer Weide. 
Es gelten die Aussagen:
- Die Kuh und die Geiß haben für 45 Tage Futter.
- Die Kuh und die Gans haben für 60 Tage Futter.
- Die Geiß und die Gans haben für 90 Tage Futter.
Wie lange reicht das Futter für alle, für die Kuh, die Geiß und die Gans?
(Anmerkung: Man sollte besser Heu statt Gras nehmen, Gras wächst weiter.)

Lösung
Dazu führe ich in Anlehnung an Zufluss- und Abfluss-Aufgaben oben die "Fressrate" ein, d.h., die Menge Gras pro Zeiteinheit, die ein Tier frisst. 
Es seien also k ME/(1Tg.) die Fressrate der Kuh, z ME/(1Tg.) die der Geiß (Ziege) und g ME/(1Tg.) die der Gans.
Dabei ist ME die Abkürzung für eine Mengeneinheit.

Dann gelten die Gleichungen
k + z = 1/45
z + g = 1/60
k + g = 1/90
Daraus folgt 2k + 2z + 2g = = 1/45 + 1/60 + 1/90 = (4+3+2)/180 = 1/20.
Dann ist k + z + g =  1/40.

Antwort
Das Futter reicht für 40 Tage.

Die Aufgabe (hier vereinfacht) ist Problem 48 aus dem Buch
Sam Loyd, Martin Gardner: Mathematische Rätsel und Spiele, Köln 1978 [ISBN 3-8321-1049-6].


Hintergrundinformationen (auch zu Varianten wie z.B. Newton's cows) geben die Webseiten von Torsten Sillke, John Beasley und Michael Woltermann (URLs unten).

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Deutsch

Ingmar Rubin
Die Turbo-Badewanne  (pdf.-Datei)

Klaus-D. Wierzioch 
30 Röhren-, Pumpen-, Behälteraufgaben

matroid
Füllaufgaben für Bruchgleichungen

Wikipedia
Reziproke Proportionalität,  Ausflussgeschwindigkeit, Abfluss,
Fließgeschwindigkeit von GewässernNiederschlagsmesser

Englisch

Ask Dr. Math
Two Pipes and a Drain

John Beasley
The cow, the horse, and the sheep (after Dudeney and Loyd) 

Mathematics Stack Exchange
There are 12 pipes that are connected to a tank

Michael Woltermann 
Newton's Problem of the Fields and Cows

Torsten Sillke
Heuvorrat

Wikipedia
Inverse proportionalityDischarge (hydrology)Rain gauge


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http://www.mathematische-basteleien.de

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