Tetrawürfel
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Was ist ein Tetrawürfel?
Quader aus Tetrawürfeln
Körper aus Tetrawürfeln
Skyline
Vergrößerungsproblem
Körper aus gleichen Tetrawürfeln
4x4x4-Würfel
Tetrominos
Tetris
Basteln von Tetrawürfeln
Tetrawürfel im Internet
Referenzen.
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Was ist ein Tetrawürfel?

Die acht abgebildeten Würfelkörper aus vier Würfeln heißen Tetrawürfel. Sie sind alle Körper, die man mit vier Würfeln bilden kann. Fünf der Würfelkörper sind eben, drei sind räumlich.

Die Tetrawürfel heißen zum Beispiel I, O, L, T, N, Turm rechts, Turm links und Dreibein. 

Lässt man die 1x4-Stange und das 2x2-Quadrat weg und fügt den V-Körper aus drei Steinen hinzu, so erhält man die sieben Somawürfel


Quader aus Tetrawürfeln   top
Die Tetrawürfel haben zusammen 32 Würfel. Es gilt 32=2x4x4.
...... ...... Folglich stellt sich das Problem, aus allen acht Tetrawürfeln einen Quader 2x4x4 zusammenzusetzen. Es gibt 1390 Möglichkeiten, wie eine Gruppe von Forschern am MIT mit Hilfe eines Computerprogramms ermittelte (2).
Die 1390 Lösungen findet man auf der Webseite von David J. Goodger (URL unten).


...... ...... Eine andere Zerlegung von 32 ist  32 = 2x2x8. In der Quaderform 2x2x4 wurden die Tetrawürfel 1967 unter dem Namen "The Wit's Puzzle" in Hongkong von der Firma Lowe Co. vertrieben (2).
Der obige 2x2x8-Quader setzt sich aus einem 2x2x4-, einem 2x2x3- und einem 2x2x1-Quader zusammen.
Alle 224 Lösungen findet man auf der Webseite von David J. Goodger (URL unten).

Weitere Körper aus Tetrawürfeln top
Interessant wird die Beschäftigung mit Tetrawürfeln, wenn man sich auf die Suche nach 32-Würfel-Körpern begibt.
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Als Beispiel wird die Wanne angeführt, im Entwurf und gelöst. 
Weitere (lösbare) Entwürfe: Brunnen, Bett, Penthouse, Turm, Sofa, Würfel und Kreuz, Figur mit Säule 


Skyline top
Hier veröffentliche ich Ergebnisse von Victor Stok, die er mir freundlicherweise zur Verfügung gestellt hat. Er hat systematisch alle Körper aus vier gleichen Schichten untersucht.
Es gibt 71 Körper, die man in 21 Klassen einteilen kann. In der folgenden Abbildung steht für jede Klasse ein Körper. 

Für die Darstellung der Körper wird unten eine Notation mit Zahlen gewählt.
Der Aufbau der Körper wird durch die Lage der Stangen und Ihre Höhe festgehalten. So hat zum Beispiel der Körper 12 die Darstellung 1223. 

Typ 1: 11111111
Typ 2: 1111112, 1211111, 1121111, 1112111
Typ 3: 111113, 11311, 13111
Typ 4: 111122, 111212, 112112, 121112, 211112, 111221, 112121, 121121, 112211
Typ 5: 11114, 14111, 11411
Typ 6: 11123, 11132, 11213, 11231, 11312, 11321, 12113, 12131, 13112, 21113
Typ 7: 1115, 1511
Typ 8: 11222, 12122, 12212, 12221, 21122, 21212
Typ 9: 1124, 1214, 1241, 1412, 2114
Typ10: 1133, 1313, 3113, 1331
Typ11: 116, 161
Typ12: 1223, 1232, 1322, 2123, 2132, 2231
Typ13: 125, 152, 215
Typ14: 134, 143, 314
Typ15: 17
Typ16: 2222
Typ17: 224, 242
Typ18: 233, 323
Typ19: 26
Typ20: 35
Typ21: 44
Sind die Zahlen grün, so ist es möglich den Körper aus Tetrawürfeln zu legen. Rot steht für unlösbar und Schwarz heißt, dass der Körper nicht gelöst, dass aber die Unlösbarkeit nicht bewiesen wurde.


Daniel Moelle fand mit Computerhilfe heraus, dass die vier offenen Fälle in Schwarz auch lösbar sind. Ich konnte die Körper nach seinen Angaben nachbauen. 

Vergrößerungsproblem top
Man kann jeden Tetrawürfel mit allen acht Tetrawürfeln in doppelter Größe nachbauen.
... Die Tetrawürfel I und O sind Quader und wurden schon oben dargestellt.


...... ...... Tetrawürfel L...

...... ...... Tetrawürfel T
(Lösung von Victor Stok)

...... Man kann aus den Tetrawürfeln zwei Biwürfel bauen. Aus diesen Biwürfeln legt man die Steine Turm rechts und Turm links, übrigens auch Stein L.

...... ...... Dreibein 
(Lösung von Darian Jenkins)

Ishino Keiichiro fand alle Lösungen des Vergrößerungsproblems. 
I:224,   O:1390,   L:1804,   T:356,   N:770,  Left & Right Towers both:803,   Tripod:126.
(Mitteilung von Darian Jenkins)

Körper aus gleichen Tetrawürfeln   top
Es werden Tetrawürfel von nur einer Sorte vorgegeben. Aus ihnen können z.B. Würfel gebaut werden. 

4x4x4-Würfel:
... Man kann aus vier Stücken eine quadratische Platte bauen. 
Vier Platten dieser Art bilden einen 4x4x4-Würfel.



6x6x6-Würfel:
...... 9 T-Tetrawürfel bilden eine 6*6-Matte mit 3 Tälern und 3 Bergen.
...... Die gleiche Matte wird noch einmal gebaut, um 90° gedreht und über die erste gestülpt. Es entsteht ein 2*6*6-Quader aus 18 Tetrawürfel.
Drei Platten dieser Art bilden einen 6x6x6-Würfel.
Meine 54 handgemachten Tetrominos für den 6x6x6-Würfel.

(Danke Julia)


4x4x4-Würfel  top
...... Ein Satz Tetrawürfel besteht aus 32 kleinen Würfeln.


...... Mit einem zweiten Satz kommt man auf 64 Würfel.

Das führt zum Problem, mit den 64 Würfeln einen großen 4x4x4-Würfel zu bauen. 

Lösung, zugesandt von Darian Jenkins
... Die Paare aus den Tetrawürfeln L, T, N und I führen zum halben 4x4x4-Würfel.

... ...... Die dreidimesionalen Tetrawürfel und O legt man paarweise aufeinander und erhält vier 2x2x2-Würfel oder einen halben 4x4x4-Würfel.

Die beiden Hälften bilden den 4x4x4-Würfel.

Tetrominos   top
......
Statt der vier Würfel kann man auch vier Quadrate betrachten. 
Dann erhält man statt der acht Tetrawürfel nur fünf Tetrominos.


....... Die fünf Tetrominos haben zusammen 20 Quadrate. Es ist aber nicht möglich, aus ihnen ein 4x5-Rechteck zu bauen. Man kann aber ein Quadrat überstehen lassen und nimmt dafür ein Loch in Kauf.

...... ...... Herbert Fink hatte die Idee, ein 4x6-Rechteck mit 4 Löchern und ein 5x5-Quadrat mit 5 Löchern aus den fünf Tetrominos zu legen.

...... Als Puzzle sind die Tetrominos nicht ergiebig. 
Die Anzahl der Steine ist zu klein, und die beiden Steine 1x4 und 2x2 sind sperrig. 

... Eine Reihe von 3x7-Rechtecken mit einem Loch sind möglich.

...... Mit zwei Sätzen der Tetrominos kann man ein Rechteck 8x5 legen. 

Dieses Puzzle wurde als "Adult Game" ;-) in den 1970er Jahren in der Reihe "Beat the Computer" verkauft.

Laut Beizettel hat der Computer FACOM 270-20 insgesamt 783 Lösungen gefunden. 

(Tenyo Co.,Ltd., Tokyo, Japan) 

Tipp von Torsten Sillke

Tetris    top
Wenn man die Tetrominos sieht, denkt man an das Computerspiel Tetris.
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Das Spiel geht so: 

Tetrominos fallen in einen Kasten. Man muss durch seitliches Verschieben und Drehen während das Falles die Steine so bewegen, dass unten eine waagerechte Schicht mit Quadraten ausgefüllt wird. Das ist im nebenstehenden Bild gelungen. Der hellblaue Stein fällt im nächsten Moment in eine Lücke. Man erhält dann Punkte. Die Reihe aus 10 Quadraten verschwindet. Der nächste RND-Stein folgt von oben. 
Gelingt es nicht eine waagerechte Reihe zu bilden, so bildet sich ein Haufen. Haben die Steine den oberen Rand erreicht, ist das Spiel beendet. Das Ende ist unvermeidbar: Die Steine fallen mit zunehmender Punktezahl immer schneller, schließlich so schnell, dass man nur noch tatenlos zusehen kann.

Tetris hat eine interessante Entstehungsgeschichte. Es wurde 1984 vom Russen Alexij Patschitnow erfunden, der damals im Computerzentrum der Moskauer Akademie der Wissenschaften tätig war. Es wurde schnell das Kultspiel Moskauer Studenten.
Auch in Deutschland kursierten vor allem an den Universitäten bald Versionen, die auf Computern liefen, obwohl diese nicht grafikfähig waren. Es fielen Steine, die aus dem Doppelkreuz # gebildet wurden. 

Minoru Arakawa, Präsident von Nintendo of America, sah das Spiel auf einer Computermesse und kaufte die Vermarktungsrechte  - günstig (Hinter diesem Wort steht eine eigene Geschichte). Als dann der Game-Boy auf den Markt kam, wurde er standardmäßig mit diesem Spiel ausgerüstet. Dadurch wurde das Spiel erst richtig bekannt.

Es gab in den letzten 20 Jahren zahlreiche Versionen dieses Computerspiels für den PC. Das Shareware-Spiel Wintris ist wohl das bekannteste. Das Spiel wird mit Taste 5 und den Cursor-Tasten gesteuert.

Ich empfehle zwei Tetris-ähnliche Spiele: Das Freeware-Spiel Columns und das Postcard-ware-Programm ;-) Clickomania. Beide Spiele kann man aus dem Internet herunterladen. Vorsicht, man kann süchtig werden.


Basteln von Tetrawürfeln    top

Will man sich mit Tetrawürfeln beschäftigen, muss man sie unbedingt bauen.

Am einfachsten zersägt man eine quadratische Holzstange, die man in jedem Baumarkt erhält, zu Würfeln und leimt die Würfel entsprechend zusammen.

Eine weitere Methode ist das Zusammenkleben von Spielwürfeln. Man verwendet am besten Zweikomponentenkleber, da dieser nicht sofort erhärtet. So kann man im frischen Zustand die Würfelkörper zusammensetzen und die Einzelwürfel entsprechend ausrichten.

Ein billige, mühselige, aber auch reizvolle Methode ist die Herstellung aus Papier. Man muß dazu zu jedem Tetrawürfel ein Netz entwerfen, dann den Körper falten und zusammenkleben.


Tetrawürfel im Internet     top

Deutsch

Andrew Clarke
Polykuben

Wikipedia
Tetris


Englisch

Andrew Clarke
Polycubes

David J. Goodger
Polycubes Puzzles & Solutions

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Polycube

Torsten Sillke
Quader aus kongruenten Tetrawürfeln

Wikipedia
Tetromino, Tetris


Referenzen  top
(1) Martin Gardner: Mathematical Puzzles & Diversions, New York 1959
(2) Martin Gardner: Bacons Geheimnis, Frankfurt am Main, 1986 (ISBN 3-8105-0800-4)
(3) R.Thiele, K.Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig, 1991 (ISBN 3-332-00480-8)


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©  1999 Jürgen Köller

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