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Was ist ein Tetrawürfel?
Die acht abgebildeten Würfelkörper aus
vier Würfeln heißen Tetrawürfel.
Sie sind alle Körper, die man mit vier Würfeln bilden kann. Fünf
der Würfelkörper sind eben, drei sind räumlich.
Die Tetrawürfel heißen zum Beispiel
I, O, L, T, N, Turm rechts, Turm links und Dreibein.
Lässt man die 1x4-Stange und das 2x2-Quadrat
weg und fügt den V-Körper aus drei Steinen hinzu, so erhält
man die sieben Somawürfel.
Quader
aus Tetrawürfeln top
Die Tetrawürfel haben zusammen 32 Würfel. Es gilt 32=2x4x4.
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Folglich stellt sich das Problem, aus allen acht Tetrawürfeln
einen Quader 2x4x4 zusammenzusetzen. Es gibt 1390 Möglichkeiten, wie
eine Gruppe von Forschern am MIT mit Hilfe eines Computerprogramms ermittelte
(2). |
Die 1390 Lösungen findet man auf der Webseite von David J. Goodger
(URL unten).
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Eine andere Zerlegung von 32 ist 32 = 2x2x8. In der Quaderform
2x2x4 wurden die Tetrawürfel 1967 unter dem Namen "The Wit's Puzzle"
in Hongkong von der Firma Lowe Co. vertrieben (2). |
Der obige 2x2x8-Quader setzt sich aus einem 2x2x4-, einem 2x2x3- und einem
2x2x1-Quader zusammen.
Alle 224 Lösungen findet man auf der Webseite von David J. Goodger
(URL unten).
Weitere Körper aus Tetrawürfel
top
Interessant wird die Beschäftigung mit Tetrawürfeln,
wenn man sich auf die Suche nach 32-Würfel-Körpern begibt.
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Als Beispiel wird die Wanne angeführt, im Entwurf und gelöst. |
Weitere (lösbare) Entwürfe: Brunnen, Bett,
Penthouse, Turm, Sofa, Würfel und Kreuz, Figur mit Säule
Skyline top
Hier veröffentliche ich Ergebnisse von Victor Stok, die er mir
freundlicherweise zur Verfügung gestellt hat. Er hat systematisch
alle Körper aus vier gleichen Schichten untersucht.
Es gibt 71 Körper, die man in 21 Klassen einteilen kann. In der
folgenden Abbildung steht für jede Klasse ein Körper.
Für die Darstellung der Körper wird unten eine Notation mit Zahlen
gewählt.
Der Aufbau der Körper wird durch die Lage der Stangen und Ihre
Höhe festgehalten. So hat zum Beispiel der Körper 12 die Darstellung
1223.
Typ 1: 11111111
Typ 2: 1111112, 1211111, 1121111, 1112111
Typ 3: 111113, 11311,
13111
Typ 4: 111122, 111212,
112112, 121112, 211112, 111221, 112121, 121121, 112211
Typ 5: 11114, 14111,
11411
Typ 6: 11123, 11132, 11213,
11231, 11312, 11321, 12113, 12131, 13112, 21113
Typ 7: 1115, 1511
Typ 8: 11222, 12122,
12212, 12221, 21122, 21212
Typ 9: 1124, 1214,
1241, 1412, 2114
Typ10: 1133, 1313,
3113, 1331
Typ11: 116, 161
Typ12: 1223, 1232,
1322, 2123, 2132, 2231
Typ13: 125, 152,
215
Typ14: 134, 143,
314
Typ15: 17
Typ16: 2222
Typ17: 224, 242
Typ18: 233, 323
Typ19: 26
Typ20: 35
Typ21: 44
Sind die Zahlen grün, so ist es möglich
den
Körper aus Tetrawürfeln zu legen. Rot
steht für unlösbar und Schwarz heißt,
dass der Körper nicht gelöst, dass aber die Unlösbarkeit
nicht bewiesen wurde.
Daniel Moelle fand mit Computerhilfe heraus, dass
die vier offenen Fälle in Schwarz auch lösbar sind. Ich konnte
die Körper nach seinen Angaben nachbauen.
Vergrößerungsproblem
top
Man kann jeden Tetrawürfel mit allen acht Tetrawürfeln in
doppelter Größe nachbauen.
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Die Tetrawürfel I und O sind Quader und wurden schon oben dargestellt. |
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Tetrawürfel L... |
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Tetrawürfel T |
(Lösung von Victor Stok)
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Man kann aus den Tetrawürfeln zwei Biwürfel
bauen. Aus diesen Biwürfeln legt man die Steine Turm rechts und Turm
links, übrigens auch Stein L. |
(Lösung von Darian Jenkins)
Ishino Keiichiro fand alle
Lösungen des Vergrößerungsproblems.
I:224, O:1390, L:1804,
T:356, N:770, Left & Right Towers both:803,
Tripod:126.
(Mitteilung von Darian Jenkins)
Körper aus gleichen
Tetrawürfel top
Es werden Tetrawürfel von nur einer Sorte vorgegeben. Aus ihnen
können z.B. Würfel gebaut werden.
4x4x4-Würfel:
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Man kann aus vier Stücken eine quadratische Platte bauen. |
Vier Platten dieser Art bilden einen 4x4x4-Würfel.
6x6x6-Würfel:
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9 T-Tetrawürfel bilden eine 6*6-Matte mit 3 Tälern und 3
Bergen. |
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Die gleiche Matte wird noch einmal gebaut, um 90° gedreht und über
die erste gestülpt. Es entsteht ein 2*6*6-Quader aus 18 Tetrawürfel. |
Drei Platten dieser Art bilden einen 6x6x6-Würfel.
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Meine 54 handgemachten Tetrominos für den 6x6x6-Würfel.
(Danke Julia) |
4x4x4-Würfel top
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Ein Satz Tetrawürfel besteht aus 32 kleinen Würfeln. |
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Mit einem zweiten Satz kommt man auf 64 Würfel. |
Das führt zum Problem, mit den 64 Würfeln
einen großen 4x4x4-Würfel zu bauen.
Lösung, zugesandt von Darian Jenkins
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Die Paare aus den Tetrawürfeln L, T, N und I führen zum halben
4x4x4-Würfel. |
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Die dreidimesionalen Tetrawürfel und O legt man paarweise aufeinander
und erhält vier 2x2x2-Würfel oder einen halben 4x4x4-Würfel. |
Die beiden Hälften bilden den 4x4x4-Würfel.
Tetrominos top
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Statt der vier Würfel kann man auch vier Quadrate betrachten.
Dann erhält man statt der acht Tetrawürfel nur fünf
Tetrominos. |
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Die fünf Tetrominos haben zusammen 20 Quadrate. Es ist aber nicht
möglich, aus ihnen ein 4x5-Rechteck zu bauen. Man kann aber ein Quadrat
überstehen lassen und nimmt dafür ein Loch in Kauf. |
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Als Puzzle sind die Tetrominos nicht ergiebig.
Die Anzahl der Steine ist zu klein und die beiden Steine 1x4 und 2x2
sind sperrig. |
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Eine Reihe von 3x7-Rechtecken mit einem Loch sind möglich. |
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Mit zwei Sätzen der Tetrominos kann man ein Rechteck 8x5 legen.
Dieses Puzzle wurde als "Adult Game" ;-) in den 1970er Jahren in der
Reihe "Beat the Computer" verkauft.
Laut Beizettel hat der Computer FACOM 270-20 insgesamt 783 Lösungen
gefunden.
(Tenyo Co.,Ltd., Tokyo, Japan) |
Tipp von Torsten Sillke
Tetris top
Wenn man die Tetrominos sieht, denkt man an das Computerspiel Tetris.
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Das Spiel geht so:
Tetrominos fallen in einen Kasten. Man muss durch seitliches Verschieben
und Drehen während das Falles die Steine so bewegen, dass unten eine
waagerechte Schicht mit Quadraten ausgefüllt wird. Das ist im nebenstehenden
Bild gelungen. Der hellblaue Stein fällt im nächsten Moment in
eine Lücke. Man erhält dann Punkte. Die Reihe aus 10 Quadraten
verschwindet. Der nächste RND-Stein folgt von oben.
Gelingt es nicht eine waagerechte Reihe zu bilden, so bildet sich ein
Haufen. Haben die Steine den oberen Rand erreicht, ist das Spiel beendet.
Das Ende ist unvermeidbar: Die Steine fallen mit zunehmender Punktezahl
immer schneller, schließlich so schnell, dass man nur noch tatenlos
zusehen kann. |
Tetris hat eine interessante Entstehungsgeschichte. Es wurde 1984 vom
Russen Alexij Patschitnow erfunden, der damals im Computerzentrum der Moskauer
Akademie der Wissenschaften tätig war. Es wurde schnell das Kultspiel
Moskauer Studenten.
Auch in Deutschland kursierten vor allem an den Universitäten
bald Versionen, die auf Computern liefen, obwohl diese nicht grafikfähig
waren. Es fielen Steine, die aus dem Doppelkreuz # gebildet wurden.
Minoru Arakawa, Präsident von Nintendo of America, sah das Spiel
auf einer Computermesse und kaufte die Vermarktungsrechte - günstig
(Hinter diesem Wort steht eine eigene Geschichte). Als dann der Game-Boy
auf den Markt kam, wurde er standardmäßig mit diesem Spiel ausgerüstet.
Dadurch wurde das Spiel erst richtig bekannt.
Es gab in den letzten 20 Jahren zahlreiche Versionen dieses Computerspiels
für den PC. Das Shareware-Spiel Wintris ist wohl das bekannteste.
Das Spiel wird mit Taste 5 und den Cursor-Tasten gesteuert.
Ich empfehle zwei Tetris-ähnliche Spiele: Das Freeware-Spiel Columns
und das Postcard-ware-Programm ;-) Clickomania. Beide Spiele kann
man aus dem Internet herunterladen. Vorsicht, man kann süchtig werden.
Basteln
von Tetrawürfeln top
Will man sich mit Tetrawürfeln
beschäftigen, muß man sie unbedingt bauen.
Am einfachsten zersägt man eine quadratische
Holzstange, die man in jedem Baumarkt erhält, zu Würfeln und
leimt die Würfel entsprechend zusammen.
Eine weitere Methode ist das Zusammenkleben von
Spielwürfeln. Man verwendet am besten Zweikomponentenkleber, da dieser
nicht sofort erhärtet. So kann man im frischen Zustand die Würfelkörper
zusammensetzen und die Einzelwürfel entsprechend ausrichten.
Ein billige, mühselige, aber auch reizvolle
Methode ist die Herstellung aus Papier. Man muß dazu zu jedem Tetrawürfel
ein Netz entwerfen, dann den Körper falten und zusammenkleben.
Tetrawürfel im Internet
top
Deutsch
Andrew Clarke
Polykuben
Wikipedia
Tetris
Englisch
Andrew Clarke
Polycubes
David J. Goodger
Polycubes
Puzzles & Solutions
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Polycube
Torsten
Sillke
Quader aus kongruenten Tetrawürfeln - Beweise und einige Packungen
Wikipedia
Tetromino, Tetris
Referenzen top
(1) Martin Gardner: Mathematical Puzzles & Diversions, New York
1959
(2) Martin Gardner: Bacons Geheimnis, Frankfurt am Main, 1986 (ISBN
3-8105-0800-4)
(3) R.Thiele, K.Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig, 1991 (ISBN 3-332-00480-8)
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©
1999 Jürgen Köller
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