Kolams und Sona
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Was sind Kolams, was sind Sona?
Kolams
Sona
Etwas Mathematik
Verschiedenes
Referenzen
Kolams und Sona im Internet
Schlussbemerkung.

Was sind Kolams, was sind Sona?
Kolams sind indische Bodenmalereien; Sona (Einzahl Lusona) sind afrikanische Sandmalereien.
Ihnen ist nur gemeinsam, dass man Punktmuster als Merkhilfe vorgibt und dann um die Punkte herum Linien zieht, so dass jeder Punkt eingekreist wird. Es entstehen ansehnliche symmetrische Figuren in großer Vielfalt. 


Kolams und Sona sind Gegenstand der Ethnomathematik. Am Ende dieser Webseite gibt es dazu Links.

Beispiel eines Kolams, Beispiel eines Lusona

Kolams    top
Hintergrund
Ein Kolam ist eine südindische Bodenmalerei. 
In bestimmten Regionen in Südindien schmücken Frauen täglich die Böden vor den Häusern mit kunstvollen, drehsymmetrischen Figuren. Sie zeichnen dazu mit Reismehl Punktmuster als Merkhilfe und dann Linien um die Punkte herum. Dazu lassen sie mit Geschick Pulver zwischen Zeigefinger und Mittelfinger rieseln und portionieren mit dem Daumen. 
Die oft komplizierten Muster werden in einer Familie von Generation zu Generation weiter gegeben und haben einen religiösen Hintergrund. 
Diese "Linien-Kolams" heißen auf der englischen Wikipedia-Seite stroke kolams, in Tamil neli kolam, kambi kolam oder sikku kolam.


In anderen Regionen verzichtet man meist auf Punktgitter und Linien. Stattdessen werden farbige Flächen oder Blumenteppiche angelegt. Reismehl wird durch Steinpulver oder Kreidepulver ersetzt, oft zusammen mit natürlichen oder synthetischen Farbpulvern. Die immer drehsymmetrischen Bilder werden zusammen mit den Linien-Kolams auf Feiern, auf Festivals, in Wettbewerben und im Internet dargeboten.
Diese Kolams haben oft den Namen Rangoli.
Einfaches Beispiel
...... Gibt man neun Punkte in Quadratform vor, könnte ein 3x3-Kolam so aussehen. 

...... Kolams werden durch geschlossene, übergreifende Linien erzeugt. 

In diesem Falle entsteht die Figur aus den drei Randkurven der gelben Flächenstücke.


Beispiel eines Kolams

Den Aufbau eines Kolams versteht man, indem man nach geschlossenen Linien sucht. Sie werden durch eine Gelbfärbung sichtbar. 
- Da sind vier Außen-Figuren und ein zentraler Kreis.
- In der Mitte liegt ein abgerundetes Kreuz.
- Ein Quadrat mit Zipfeln umschließt die Figur. 
Das Kolam entsteht, indem die geschlossenen Linien gezeichnet werden. - Mehrere geschlossene Linien, das ist typisch für Kolams. 

Zeichenübungen
So wie die Mandalas fernöstlicher Kulturen bieten sich auch die Linien-Kolams für eigene Tätigkeiten an.
Ich zeige als Anregung einige Bilder, die mit MSPaint gezeichnet wurden. Das Programm steht jedem zur Verfügung, der Windows benutzt.

Die folgenden Bilder entstanden aus fünf Zellen wie fast alle Zeichnungen auf dieser Seite. ..................................................

1

2
...

3
...

4

Natürlich geht es auch ohne Computer, es genügen ein Bleistift mit Radiergummi oder ein Kugelschreiber und Papier. 
- Man zeichnet wie oben einen quadratischen Rahmen und entwirft im Inneren ein Muster. 
- Man zeichnet ein einfaches Punktmuster und versucht, dazu möglichst viele Figuren zu finden. 
- Man schaut sich ein Video eines einfachen Kolams an, hält es an, zeichnet die halbfertige Figur ab und dann ohne Video zu Ende. 
- Man gibt ein einfaches Kolam vor und verändert es.
_ ...

Sona     top
Hintergrund
Sona sind traditionelle Zeichnungen mancher Bantu-Völker wie der Chokwe in einem Gebiet von Angola und Sambia im südlichen Afrika. 
Erzähler zeichnen Sona mit den Fingern in den glatt gestrichenen Sand, während sie dazu eine Geschichte erzählen. Ohne den Finger abzusetzen  wird eine geschlossene Linie gezogen. Die Linie führt um Punkte eines vorher festgelegten Musters herum, kreuzt sich immer wieder und kehrt schließlich zum Anfangspunkt zurück. 
Die Zeichnungen illustrieren die Geschichten.


Einfaches Beispiel
Die Figur zu einem 4x3-Gitter ist ein Lusona. Sie besteht also aus einer geschlossenen Linie ohne Anfang und Ende.
......

Da die Sona Geschichten ergänzen, stellen sie oft Tiere dar. 
Antilope
...... Das kompakte Lusona wird zur einer Antilope ergänzt. 

Die Zeichnung ist nicht ohne Ironie.


Leopard
Das Bild zeigt einen Leoparden mit ausgesteckten Tatzen, 
links der kleine Kopf, rechts das Schwänzchen. 

Genauer: In der Zeichnung sind auch zwei Junge zu erkennen. 
Sie liegen nebenander und entgegengesetzt.

 

Quelle (1)

Drei Vögel
...... Es gibt auch Sona, bei denen eine Figur mehrmals auftritt. Sie werden so verbunden, dass eine geschlossene Linie beibehalten wird.

Hier sind es drei Vögel, in meiner Vorlage sind es zehn (!).

Quelle (2)

Eine Fabel
...... Das nebenstehende Lusona wird auch mit einer geschlossene Linie gezeichnet. 
Vier fast gleiche Figuren werden miteinander verknüpft. 
Die abstrakte Figur wird lebendig, wenn man die Fabel kennt, die während des Zeichnens erzählt wird. 

...... "Sambálu, das Kaninchen (Punkt B), entdeckt eine Salzmine (Punkt A). Sofort fordern der Löwe (Punkt C), der Jaguar (Punkt D) und die Hyäne (Punkt E) den Besitz, indem sie die Rechte des Stärkeren geltend machen. Das Kaninchen, das die unantastbaren Rechte der Schwachen bekräftigt, baut daraufhin schnell einen Zaun, um die Mine vor allen Eindringlingen fern zu halten.
Man beachte, dass man nur von B aus zu Punkt A gelangen kann, ohne die Linie, die den Zaun darstellt, zu überschreiten."
Quelle (3)

Zeichenübungen
Sona zu zeichnen ist wegen der geschlossenen Linie schwierig.
Im nächsten Kapitel wird darauf eingegangen.

Etwas Mathematiktop
Spiegelmodell
... An Hand dieses 4x3-Lusona soll beschrieben werden, 
wie die Figur an Hand einer Modellvorstellung "mathematisiert" wird. ....................


...... Man legt ein Rechteck um die 4x3 Punkte und stellt sich vor, dass das Rechteck innen verspiegelt ist. Schickt man z.B. von oben links einen Lichtstrahl in das Rechteck, so wird er vielfach reflektiert und beschreibt einen Weg wie links angefangen. 

Der eingezeichnete Strahl ist nicht erlaubt. Durch Gitter wird der Weg gesteuert. 


......
Es wird ein Gitter in das Rechteck gelegt..................................................................................

... Dann wird ein Lichtstrahl so in das Rechteck geschickt, dass er sich seinen Weg genau zwischen den vorgebenen Punkten bahnt.

...... Schließlich gelangt er zum Ausgangspunkt zurück; er durchquert alle Quadrate auf Diagonalen. 

Zurück bleibt ein Gitter aus auf der Spitze stehenden Quadraten.


...... Das schwarze Gittter wird gelöscht...........................................................................................

...... Man erkennt in dem roten Gitter aus Lichtstrahlen unschwer das 4x3-Lusona. 
Die Rundungen der Begrenzungslinie kann man dadurch erklären, 
dass die Wände des Rechtecks als Spiegel so wirken........................................................

Auf der Suche nach Sona
Es stellt sich die Frage, welche rechteckigen Figuren m*n ein Lusona sind.
Dazu vier Beispiele:


Nicht alle rechteckigen Figuren sind also ein Lusona.

Diese vier Beispiele veranschaulichen folgende Regeln.
- Eine geschlossene Linie ergibt sich nur, wenn m und n teilerfremd sind.
- Sind mehrere geschlossenen Linien nötig, um die Figur zu erzeugen, so ist die Anzahl der Kurven gleich dem größten, gemeinsamen Teiler. 

Die Rechtecke zur Leopardenfamilie haben die Daten 3x10 und 2x3, ihre Maßzahlen sind teilerfremd. 
... ...... Die Rechtecke überlappen sich so, dass sie zusammen weiter durch eine geschlossene Linie erzeugt werden.

Innere zweiseitige Spiegel
... Die kompakten Sona werden interessanter, wenn man im Inneren Muster erzeugt.

...... Im einfachsten Fall löst man eine Kreuzung auf und ersetzt die Ecken durch Rundungen.

Das kann man im Spiegelmodell so erklären, dass man auf eine Kreuzung einen zweiseitigen Spiegel stellt.
 


Mit dem Einsetzen eines Spiegels ist eine Figur entstanden, die nicht mehr durch eine geschlossene Linie entsteht. 
...... Man benötigt zwei geschlossene Linien, um die Figur zu erfassen.

...... Man kann auch mehrere Spiegel ins Innere stellen. 

Die rechte Figur ist ein Lusona.


Es stellt sich die Frage, wo die Spiegel stehen müssen, damit die Figur ein Lusona bleibt.
Dazu werden alle möglichen Positionen von bis zu fünf Spiegeln durchgespielt.

...
Ergebnis: Unter den 42 untersuchten Figuren sind acht ein Lusona.


...... Es gibt übrigens weitere Sona, wenn man zweiseitige Spiegel auch am Rand zulässt.

Im Falle eines Innenspiegels gibt es eine einfache Regel. 
Dazu muss zum 4x3-Lusona ein Muster aus dunklen  und hellen Feldern ermittelt werden. 
...... Man legt auf das 4x3-Lusona das Gitter..................................................................

...... Man kommt zu einem Muster, wenn man die Linie verfolgt und dabei jedes zweite Quadrat grau färbt. 

Färbt man die linke obere Ecke grau, dann geht man zwei Quadrate nach rechts und ein Quadrat nach unten. Dieses Quadrat wird wieder grau und so fort. 


...... Die Regel besagt, dass immer da, wo 2x2-Quadrate aneinanderstoßen, ein Spiegel stehen kann. 

Das sind die drei oben eingezeichneten Einzelspiegel und aus Symmetriegründen kommen noch vier dazu.

Das wird durch die Untersuchung der 36 Figuren oben bestätigt. 


...... Schreibt an Stelle der dunklen Felder eine Eins und der hellen Felder eine Null, so erhält man eine Matrix aus Nullen und Einsen. 

Sie kann einer 4x3-Figur zugeordnet werden und sie wird durch die Matrix eindeutig beschrieben. 

Umgekehrt kann man neue Muster aus 0 und 1 entwerfen und zu neuen Sona gelangen. 
 


Offenbar gilt die Regel nicht für kompakte Figuren, die nicht aus einer geschlossenen Linie gezeichnet werden können. Das beweist das folgende Gegenbeispiel. - Die Färbung ist auch nicht mehr eindeutig.
...
Paulus Gerdes

Beim Recherchieren im Internet erkennt man, dass die Lusona-Forschung durch den Wissenschaftler Paul Gerdes begründet und vorangetrieben wurde. Er verfasste zu diesem Thema zahlreiche Schriften und sammelte um sich viele Schüler, die sich mit Lusona befassten.
Er war Holländer, ab 1976 Professor der Mathematik in Mosambik und nahm dort auch die Staatsbürgerschaft an. 

Verschiedenes top
Keltische Knoten
Aus dem 3x3-Kolam und dem 4x3-Lusona werden keltische Knoten, wenn man die Linien dicker wählt und längs einer Linie abwechselnd Unterführungen und Brücken setzt.


Indianisches Sandbild
...... Sandbild der Nordamerikanischen Ureinwohner, 

fixiert mit Haarfestiger, 

außerhalb des Kreises vierstrahlig,

hergestellt für Touristen,

kauften wir irgendwo in der Nähe des Grand Canyon, USA.


Deutsche S(tr)andmalerei
...
..........................

Springertour
...... Bei der Springertour geht es darum, dass der Springer sich so auf dem Schachbrett bewegen soll, dass er (auch) eine geschlossenen Linie beschreibt. Links steht eine Lösung für das kleinere 6*5-Feld.

Mehr auf meiner Seite Haus des Nikolaus.


Referenzen   top
(1) South African History Online (www.sahistory.org.za)
(2) https://www.zukunft-irular.de/neue-seite/ (Sona-Geometrie: Zehn Vögel)
(3) http://www.math.buffalo.edu/mad/special/african-geometry.html
(4) https://www.researchgate.net/publication/256932750_Sona_drawings_mirror_curves_and_pattern_designs


Kolams und Sona im Internet       top

Deutsch

arte.tv
Kolam: Die flüchtige Kunst der Inderinnen


Henning Krause  (Spektrum)
Ethnomathematik - dargestellt am Beispiel der Sona Geometrie

Labbé
pulli-kolams, Was sind Sona?

M. Weber, A. Mischau (Mathematisches Panorama)
Mathematik und (bzw. in) andere(n) Kulturtechniken   (.pdf-Datei)

Wikipedia
Kolam, Sona (Mathematik), Paulus Gerdes, Ethnomathematik, Sandbild, Sandanimation

Englisch

Darrah Chavey
Mathematical Experiments with African Sona Designs


Darrah Chavey
Constructing Symmetric Chokwe Sand Drawings


Forkphorus
Drawing program

Ljiljana Radovic
MIRROR CURVES

Marcia Ascher (spektrum.de)
Ethnomathematik: Die Kolam-Figuren Südindiens

Mattia De’ Michieli Vitturi
Sona drawings, mirror curves and pattern designs

NN
Sona - Sand Drawings from Africa

Paulus Gerdes 
m-Canonic mirror curves

Paulus Gerdes
Geometria Sona de Angola  Matemática duma Tradição Africana
Portugiesisch, 191 Seiten, 342 Abbildungen

Slavik Jablan, Ljiljana Radovi, Radmila Sazdanovi Ana Zekovi
Knots in Art 

South African History Online
Sona Patterns - Revisiting the Contributions of the People in Sub-Saharan Africa to Modern Mathematics

Wikipedia 
Kolam, Rangoli, Lusona, Sandpainting, Sand animation, Sand mandala, Ethnomathematics, Zenigata_Sunae

Youtube
Pongal' theme for Chennai's Kolam and Rangoli competition
Ein Treffen der Künstlerinnen

Youtube
Angolan Sand Drawings
Einige Zeichnungen und Geschichten

Youtube
CHIKKU KOLAM WITH 10-2 DOTS | HOW TO DRAW A SIKKU KOLAM | NELI KOLAM
Beispiel einer indischen Bodenmalerei

Youtube
Kolam designs
Riesensammlung von Videos

Schlussbemerkung top
Ein Besucher meiner Seiten, Volker Sayn, hat mich auf die Kolams und Sona hingewiesen, die ich vorher zu meiner eigenen Verwunderung nicht kannte. Ich habe für diese Webseite seine umfangreichen Unterlagen vewendet und bedanke mich. 


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URL meiner Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/

©  März 2023 Jürgen Köller

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