Was ist eine Kettenlinie?

......

Die Kettenlinie (Katenoide) ist der Graph der Funktion f(x)=cosh(x) oder f(x)=(1/2)(ex+e-x). Man spricht cosh als Cosinus Hyperbolicus. Der Name Kettenlinie rührt daher, dass eine Kette diese Form annimmt, wenn man sie an zwei Punkten aufhängt. Cosh wird weiter unten erklärt.

...

Graphische Addition  top

......

Zeichnet man die Graphen der Exponentialfunktionen f1(x)=(1/2)ex und f2(x)=(1/2)e-x und addiert die y-Werte punktweise, so erhält man den Graphen der Funktion f(x)=f1(x)+f2(x)=cosh(x).  Das ist ein einfacher Weg, um sich ein Bild von der Funktion zu machen.

Herleitung der Formel   top
Zur Herleitung der Formel für die Kettenlinie, f(x)=(1/2)(e^x+e^-x), braucht man ein wenig Physik. 
Die Kette soll möglichst einfach sein:
> Die Masse sei homogen auf die Länge verteilt, Masse und Länge sind dann proportinal. Der Proportionalfaktor r=m/l ist die Längendichte. Die Masse ist dann m=rl und die Gewichtskraft mg=rlg. 
> Die Kette sei beliebig dünn.
> Die Länge der Kette bleibe konstant, auch wenn ein Zugkraft auf sie wirkt. - Druckkräfte werden nicht weitergegeben.

......

Befestigt man eine Kette der Länge l=AS an einem Ende, so hängt sie auf Grund ihrer Masse und Schwerkraft vertikal.  >Im Punkt  A wirkt die gesamte Gewichtskraft nach unten, aufgehoben durch die gleich große Reaktionskraft in der Aufhängung.  >Im beliebig gewählten Punkt P wirkt die Gewichtskraft des Kettenstücks PS.  >In Punkt S wirkt keine Kraft.

......

Wird eine Kette in den Punkten A und B aufgehängt, so stellt sich eine parabelähnliche Kurve ein. Nach unten zieht die Gewichtskraft, zur Mitte hin ziehen Kräfte, die die Kette zusammenhalten. In den Aufhängepunkten wirken die entsprechenden Gegenkräfte. Die Kette ist im Gleichgewicht.  Kräfte wirken nur in Richtung der Kette, sonst würde die Kette verformt werden.

......

In einem beliebig gewählten Punkt P der Kette wirken die Tangentialkräfte F und -F.  Man kann die Kraft F ersetzen:  Es wirkt die horizontal wirkende Kraft FH und die vertikal wirkende Kraft FV.  Die Kraft FH ist die Kettenspannung und eine Ketteneigenschaft. Sie ist deshalb in jedem Punkt dem Betrage nach konstant, auch im tiefsten Punkt S. FV ist gleich der Gewichtskraft des Kettenstücks SP.

......

Für den Steigungswinkel alpha gilt tan(alpha)=FV/FH  (#).

......

Die Kette ist in jedem Punkt gekrümmt. Eine Grenzwertbetrachtung ist erforderlich.  Man greift ein beliebig kleines Kettenstück ds heraus.  Es lässt sich ein Dreieck aus den Differentialen ds, dx und dy bilden.  Die Steigung ist tan(alpha)=dy/dx (##).

......

Für das Differential ds gilt ds=sqrt(dx²+dy²)=sqrt[1+(dy²/dx²)]dx=sqrt(1+y'²)dx (####).

Für y=a cosh(x/a) oder y=(a/2)(e^x/a+e^-x/a) gilt y'=(1/2)(e^x/a-e^-x/a) und y''=[1/(2a)](e^x/a+e^-x/a).

Dann ist 1+y'²=1+ (1/2)²(e^x/a-e^-x/a)²=1+ (1/4)[(e^x/a))²-2(e^x/a)e^-x/a))+(e^-x/a))²]=1+(1/4)(e^x/a))²-(1/2)+(1/4)(e^-x/a))²
=(1/4)[(e^x/a))²+2(e^x/a)e^-x/a))+(e^-x/a))²]=(1/4)(e^x/a+e^-x/a)² und weiter sqrt(1+y'²)=(1/2)(e^x/a+e^-x/a)=a[1/(2a)](e^x/a+e^-x/a)=ay'', wzbw.

......

Der Parameter a beschreibt die "Öffnung" der Kettenlinie und gibt die Entfernung des Scheitelpunktes vom Nullpunkt des Koordinatensystems an.

Ähnlichkeit der Kettenlinien   top
So wie z.B. die Kreise und die Parabeln sind die Kettenlinien ähnlich. 
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie durch eine einfache Verkleinerung oder Vergrößerung ineinander übergeführt werden können. Das erreicht man durch eine Maßstabänderung. 
Man wählt x=aX und y=aY. 
Dann wird  y=(1/2)a[e^(1/a)x+e^-(1/a)x] zu aY=(1/2)a[e^(1/a)aX+e^-(1/a)aX] oder Y=(1/2)[e^X+e^-X].

Aus jeder Kettenlinie mit f_a(x)=a*cosh(x/a) wird also eine Normal-Kettenlinie. 

Ableitung      top
Wegen der Grundformel (e^x)'=e^x ist cosh(x) leicht zu differenzieren und zu intergrieren. 

......

Es ist f(x)=cosh(x)=(1/2)(ex+e-x)=(1/2)ex+(1/2)e-x. Nach Ableitungsregeln ist dann f '(x) = (1/2)ex-(1/2)e-x = (1/2)(ex-e-x) Man fasst den Term (1/2)(ex-e-x) als Funktionsterm einer neuen Funktion auf,  dem Sinus Hyperbolicus: g(x)=sinh(x). Die rote Kurve ist ihr Graph.

Leitet man f ' noch einmal ab [f ''(x) = (1/2)(e^x+e^-x)], so ergibt sich wieder f(x)=cosh(x).
Die Stammfunktion ist F(x)=sinh(x).

Drei Berechnungen - ein Ergebnis   top
1 Steigung in Punkt P

......

Oben wurde schon gezeigt, dass die Ableitung von f(x)=cosh(x) gleich f '(x)=sinh(x) ist. Die Steigung in Punkt P[x1)|cosh(x1)] ist also sinh(x1).

...

...

......

Es ist y=(1/2)(ex+e-x). Dann ist y²-1=cosh²(x)-1=(1/4)(ex+e-x)2-1=(1/4)e2x+1/2+(1/4)e-2x)-1=(1/4)(ex-e-x)²=s² Die Gleichung y²-1²=s² wird links durch ein Dreieck dargestellt, indem man die Strecke des y-Wertes in den ersten Quadranten einpasst.

... SP=OA=s

SA steht senkrecht zur Tangente t

Das Rechteck OABS ist flächengleich der Fläche unter der Kurve SP

Beziehung zu den Kreisfunktionen  top
Es stellt sich die Frage, warum die Kettenlinie mit cosh und die Ableitung mit sinh bezeichnet werden. 

Da muss man den Bereich der reellen Zahlen verlassen und zu komplexen Zahlen übergehen. 
Die Eulersche Identität e^ix=cos(x)+i*sin(x)  mit i=sqrt(-1) gibt eine Erklärung.
Es gilt e^ix+e^-ix=[cos(ix)+i*sin(ix)]+[cos(-ix)+i*sin(-ix)]=[cos(ix)+i*sin(ix)]-[cos(ix)-i*sin(ix)]=2*cos(ix).
Es gilt weiter e^ix-e^-ix=[cos(ix)+i*sin(ix)]-[cos(ix)-i*sin(-ix)]=2i*sin(ix).

Damit sind cosh(x)=cos(ix) und sinh(x)=-i*sin(ix).

Parabel und Kettenlinie    top
Die Kettenlinie ist keine Parabel, hat aber eine Parabelform. 
Es stellt sich die Frage, welche Parabel der Kettenlinie nahe kommt.
Dazu zieht man die Reihenentwicklung von cosh(x) heran.
e^x= 1 + x/(1!) + x²/(2!) + x³/(3!) + x⁴/(4!) + ...
e^-x= 1 - x/(1!) + x²/(2!) - x³/(3!) + x⁴/(4!) - ...
=>  (1/2)(e^x+e^-x) = 1/2+ x²/(2!) + x⁴/(4!) + x⁶/(6!) + ...
Wenn man die Reihe nach dem zweiten Glied abbricht, erhält man die Parabelgleichung p(x) = (1/2)x²+1.

...	Bestätigung:  p(x) beschreibt die Kettenlinie in der Nähe x=0 recht genau.

Kettenlinie im Internet   top

Deutsch

Andreas Lindner 
Die Kettenlinie

Arndt Brünner
Die Kettenlinie (mit Applet)

René Grothmann (Universität Eichstätt)
Die Kettenlinie

Wikipedia
Katenoide, 
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus, 
Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus,  Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus, 
Kreis- und Hyperbelfunktionen, Eulersche Identität, 
Jefferson National Expansion Memorial

Englisch

Mathforum
The Shape of a Catenary

Eric W. Weisstein
Catenary, Catenoid, Roulette

jan wassenaar (2dcurves)
hyperbolic cosine

Jonathan Lansey 
Catenary Demonstration Experiment

Paul Kunkel
Hanging With Galileo

Ruud v Gessel
About the curve of a free hanging rope    (.pdf file)

Wikipedia
Catenary, Hyperbolic function, Inverse hyperbolic function,  List of integrals of hyperbolic functions, Euler's identity, Gateway Arch

...

(Eigene Zeichnung)

Mehr unter  Square wheel

 

Xahlee Catenary

Unter anderem:  "A catenary rotating around a axis forms the catenoid, which is a mimimum surface."

Catenoid

Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
CHAÎNETTE

Referenzen    top
(1) Georg Ulrich, Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld [ISBN 3 8044 0575 4]
(2) Autorengemeinschaft:  Analysis für Ingenieure, Frankfurt/M Zürich 1966