Geobrett
Inhalt dieser Webseite
Was ist das Geobrett?
Das quadratische 9-Nagelbrett
Figuren auf dem 9-Nagelbrett
Das ringförmige 9-Nagelbrett
Figuren auf dem 9-Nagelbrett
Satz von Pick 
Geobrett im Internet
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist das Geobrett?
...... Das Geobrett ist eine Bastelei zur Unterstützung des Anfangsunterrichtes in Geometrie. 

Im einfachen Fall werden neun Nägel in ein Brett etwa zur Hälfte eingeschlagen, so dass ein 2x2-Quadrat entsteht. Um die Nägel wird mit einem Gummiband eine Figur gelegt.

Neben dem Auffinden von Figuren erlaubt das Geodreieck weitere Tätigkeiten wie Figuren vergleichen, Figuren spiegeln, Figuren verschieben, Figuren nach einer Vorlage erzeugen, ...


Eine Webseite mit dem Namen "Mathematische Basteleien" sollte am Geobrett nicht vorbeigehen. 
Da ich keine Unterrichtserfahrung mit dem Geobrett habe, verweise ich auf die Webseiten unten von Schulpraktikern.
Ich versuche auf dieser Seite, etwas Hintergrundwissen zu vermitteln. Gut, es sind mehr Spielereien geworden.

Das quadratische 9-Nagelbrett top

1 Verschaffe dir ein nicht zu dünnes Brett.
2 Zeichne ein 2x2-Quadrat auf ein Blatt und klebe es auf das Brett. Oder zeichne das Quadrat direkt auf das Brett.
3 Schlage an den Eckpunkten der Quadrate neun Nägel gleich tief ein. 

... Markiere mit einem Gummiband eine Figur.............................................................

...... Zeichne evtl. die Figur auch in ein Arbeitsblatt ein oder übertrage einen Entwurf auf das Geobrett.

...... Ich könnte mir vorstellen, dass die nebenstehenden einfachen Figuren von Interesse sind. 

Will man mehr Darstellungsmöglichkeiten haben, sollte man das 9-Nagelbrett zum Beispiel durch das 16-Nagelbrett ersetzen. 

Figuren auf dem 9-Nagelbrett top
Alle Dreiecke
Gibt man neun Punkte vor, so gibt es nach der Theorie "9 über 3" oder (9!/(6!*3!)=84 Möglichkeiten, drei Punkte miteinander zu verbinden. 
In 8 Fällen liegen drei Punkte auf einer Geraden und bilden keine Dreiecke. 
...... Die restlichen "Punktdrillinge" bilden acht nichtkongruente Dreiecke. 
In der Zeichnung steht unterhalb der Dreiecke die Anzahl der unterschiedlichen Lagen, die diese Dreiecke in der Figur haben. 
Die Bilanz 16+16+16+8+8+4+4+4+8=84 zeigt Übereinstimmung mit der Theorie.


Die Dreiecke innerhalb der Figur werden nach zwei Gesichtspunkten geordnet. 
1. Merkmal: Flächeninhalt
...... Der Flächeninhalt der Dreiecke wird durch ganze Zahlen angegeben.
Als Einheit dient das halbe Quadrat mit A=(1/2)a².

2. Merkmal: Länge der Seiten
Die Dreiecke werden von drei verschieden langen Seiten gebildet, von a, von sqrt(2)*a und von sqrt(5)*a.
...... Unter den Dreiecken stehen die Ziffern "rst". 
Sie geben in dieser Reihenfolge die Anzahl der Seiten einer Sorte an.
r ist die Anzahl der Seiten mit der Länge a, s mit sqrt(2)*a und t mit sqrt(5)a.
Der Umfang eines Dreiecks ist dann U=r+s*sqrt(2)+t*sqrt(5). 

Alle (?) Figuren
Die zusammenhängenden Figuren werden  geordnet nach der Anzahl der Eckpunkte, dann nach der Maßzahl des Flächeninhalts, dann nach den Seitenlängen. - Das sind 68 Figuren.

Alle Rechtecke
...... Das sind alle Rechtecke, die man auf dem Geobrett markieren kann.

...... Lässt man auch die Rechtecke zu, die nicht unbedingt Eckpunkte in den Nägeln haben, so kommen noch neun weitere hinzu.

Bemerkenswert ist dabei das innere Quadrat oben rechts in der letzten Zeichnung.
...... Die Seitenlänge ist PQ=(2/5)sqrt(5)a.
Herleitung
Dazu führt man ein kartesisches Koordinatensystem ein.
Es gelten die Geradengleichungen g: y=-(1/2)x+1 und h: y=2x und k: y=2x-2.
Aus -(1/2)x+1=2x ergibt sich für P x1=2/3 und dann weiter y1=4/5.
Aus -(1/2)x+1=2x-2 ergibt sich für Q x2 =6/5  und dann weiter y2=2/5.
Dann ist PQ²=(x2-x1)²+(y2-y1)²=(6/5-2/5)²+(2/5-4/5)²=(4/5)²+(2/5)²=20/25 
und dann weiter PQ=(2/5)sqrt(5).

Alle Strecken
Nach der Theorie gibt es 9*8/2= 36 Möglichkeiten, neun Punkte miteinander zu verbinden. 
Das wird auf meiner Seite Dreieckszahlen erklärt.
Die Strecken kann man leicht zählen:
...... ... In 6+2=8 Fällen liegen 3 Punkte auf einer Geraden. Es sind für sie 3 Geraden zu zählen.
Das macht 8*3=24 Geraden. Die restlichen Verbindungen ergeben 4+8=12 Geraden.
Die Bilanz (4+8)+24=36 zeigt Übereinstimmung mit der Theorie.

...... Die Strecken einer Sorte bilden markante Figuren.

Bei meinen Recherchen habe ich herausgefunden, dass das quadratische 9-Nagelbrett ausführlich von Horst Steibl (URL unten) untersucht worden ist. Auf seinen Seiten findet man viele weitere Informationen.

Das ringförmige 9-Nagelbrett top
...... Man kann die neun Nägel auch zum regelmäßigen Neuneck anordnen. 

Dann entsteht ein Geobrett, mit dem man die Eigenschaften eines regelmäßigen Vielecks an einem Beispiel studieren kann. 


Ich verwende in diesem Kapitel Aussagen meiner Seite Regelmäßiges Neuneck.

Figuren auf dem 9-Nagelbrett top
Alle Diagonalen
Das Neuneck hat 3 verschieden lange Diagonalen. 



Neun der Diagonalen  d1, d2,  und d3  bilden jeweils regelmäßige Sterne.

Zusammen sind das 27 Diagonalen. 

Nach der Theorie gibt es, wie oben erwähnt, 36 Möglichkeiten, 2 von 9 Punkten miteinander zu verbinden. 
Auf diese Zahl kommt man auch, wenn man zu den 27 Diagonalen die 9 Seiten des regelmäßigen Neunecks addiert.

Alle Dreiecke
Gibt man 9 Punkte vor, so gibt es nach der Theorie wie oben erwähnt 84 Möglichkeiten, 3 Punkte miteinander zu verbinden. 

Es gibt 7 nichtkongruente Dreiecke im Neuneck. Unter den Dreiecken steht die Anzahl einer Sorte. 
Die ersten vier Dreiecke enthalten auch eine Neuneckseite als Seitenlänge. Dann folgen zwei Dreiecke mit d2 als kürzeste Seite und schließlich das gleichseitige Dreieck aus d3. Sind die Dreiecke gleichschenklig, kommen sie 9x vor, sonst 18x.
Die Bilanz 9+18+18+9+9+18+3=84 zeigt Übereinstimmung mit der Theorie.

Alle Vierecke
Gibt man 9 Punkte vor, so gibt es nach der Theorie "9 über 4" oder (9!/(5!*4!)=126 Möglichkeiten, drei Punkte miteinander zu verbinden.

Durch systematisches Verändern der Diagonalen gelangt man zu 10 nichtkongruenten Vierecken im Neuneck.
Unter den Neunecken stehen die Indices ij der Diagonalenpaare di dj.  Dreht man die Vierecke, so nehmen sie 9 verschiedene, also insgesamt 90 Positionen im Neuneck ein. Die vier asymmetrischen Vierecke in der zweiten Zeile kann man spiegeln, und das führt zu 36 weiteren Positionen. Insgesamt gibt es also 90+36=126 Vierecke, wie es die Theorie verlangt.

Alle Fünfecke
...... Verbindet man in allen Figuren, die Vierecke im Neuneck enthalten, die freien Punkte, so erhält man alle Fünfecke im Neuneck.

Links ist ein Beispiel.


Alle Sechsecke
...... Verbindet man in allen Figuren, die die Dreiecke im Neuneck enthalten, die freien Punkte, so erhält man alle Sechsecke im Neuneck.

Links ist ein Beispiel.


Alle Siebenecke
...... Es gibt 27 Diagonalen im Neuneck und genau so viele Siebenecke.....................................

Links ist ein Beispiel................................................................


Alle Achtecke
...... Es gibt 9 kongruente Achtecke im Neuneck.

Links ist ein Beispiel..............................................................................


Satz von Pick  top
Der Satz von Pick beschreibt eine Methode, den Flächeninhalt eines Vielecks zu bestimmen, wenn die Eckpunkte Gitterpunkte sind.


Beispiel
...... Gegeben sei ein unregelmäßiges Sechseck. ..................................................................................

...... Zählt man die Kästchen aus, so kommt man zu A=13+2+2+1=18 (Flächeneinheiten)......................

...... Nach dem Satz von Pick kann man zum Flächeninhalt über die Anzahl i der inneren Punkte und die der Randpunkte r gelangen, nämlich nach der Formel A=i+r/2-1.

In diesem Beispiel ist i=12 und r=14 und somit A=12+7-1=18 (Flächeneinheiten). 


Geobrett im Internet top

Deutsch

Carolin Dreher
Tangram und Geobrett  (.pdf-Datei)

Daniela Götze, Hartmut Spiegel
"Windmühlen" - Erfahrungen zur Drehsymmetrie am Geobrett

Horst Steibl
Das 3x3 Geobrett (.pps-Datei)

Wikipedia
Geobrett, Satz von Pick


Englisch

A. Bogomolny (Cut-The-Knot)
Geoboard  (Applet), Pick's Theorem

David Eppstein (The Geometry Junkyard)
Euler's Formula, Proof 10: Pick's Theorem

Ephraim Fithian
Activity 3 - The Geoboard

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Pick's Theorem

Margherita Barile (MathWorld)
Geoboard

MathPlayground.com
Geometry Board  (Applet)

Wikipedia
Geoboard, Pick's theorem


Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2010 Jürgen Köller

top