Flussüberquerungen
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Was ist mit Flussüberquerungen gemeint?
Überquerung eines Flusses 
Fünf Entscheidungsprobleme
-Bauer, Wolf, Ziege, Kohlkopf
-Mr. Softleigh und seine Familie
-Fünf eifersüchtige Ehemänner
-Drei Missionare und drei Kannibalen
-Hängebrückenproblem
Flussüberquerungen im Internet
Referenzen
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Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist mit Flussüberquerungen gemeint?
Mit diesem Titel sind bekannte Transportprobleme gemeint wie das vom Bauern, der Ziege, dem Wolf und dem Korb mit Kohlköpfen, die über einen Fluss sollen. 

Um dieses bekannte Rätsel der Unterhaltungsmathematik herum gibt es mehr zum Thema Flussüberquerung.

Überquerung eines Flusses top
Ein Boot soll einen Fluss überqueren. Dabei sind drei Fälle interessant. 
...... 1 Das Boot fährt senkrecht auf das gegenüberliegende Ufer zu. Dabei wird es abgetrieben.
2 Das Boot fährt so gegen die Strömung, dass es auf kürzestem Wege zum gegenüberliegenden Ufer gelangt. 
3 Das Boot stellt sich quer und wird so gegen das gegenüberliegende Ufer gedrückt. Das ist das Prinzip alter Fähren.


Rechnung zu Fall 1
...... Gegeben sei die Fließgeschwindigkeit des Flusses vF und die Eigengeschwindigkeit vB eines  Motorbootes. Es überlagern sich zwei voneinander unabhängige Bewegungen.
Es gilt für die tatsächliche Geschwindigkeit v des Bootes:
Vektor v=Vektor vF +Vektor vB
Die Beziehung wird links im Dreieck dargestellt. Es gilt v=sqrt(vF²+vB²).
Für den Winkel, um den das Boot abgetrieben wird, gilt tan(alpha)=vB/vF.


Zahlenbeispiel
Gegeben: vF=3 m/s (=10,8km/h), vB=4m/s, Flussbreite a=200m 
Gesucht: v, alpha, Weg s, Fahrtzeit t
Rechnung v=sqrt(vF²+vB²)=[sqrt(9+16)]m/s=5 m/s, alpha=arc tan(4/3)=53,1°, 
s=200m/(sin53.1°)=250m, t=s/v=(250m)/(5m/s)=50s

Rechnung zu Fall 2
...... Gegeben sei die Fließgeschwindigkeit des Flusses vF und die Eigengeschwindigkeit vB eines Motorbootes. Das Boot führt zwei voneinander unabhängige Bewegungen aus. 
Es gilt für die tatsächliche Geschwindigkeit v des Bootes:
Vektor v = Vektor vF + Vektor vB
Die Beziehung wird links im Dreieck dargestellt. Es gilt v=sqrt(vB²-vF²).
Für den Winkel, um den das Boot gedreht wird, gilt cos(alpha')=vF/vB.

Zahlenbeispiel
Gegeben: vF=3 m/s (=10,8km/h), vB=4m/s, Flussbreite a=200m 
Gesucht: v, alpha', Fahrtzeit t
Rechnung v=sqrt(vB²-vF²)=[sqrt(16-9)]m/s=2,6 m/s, alpha'=arc cos(3/4)=41,4°, t=s/v=200m/(2,6m/s)=76,9s

Ein Ergebnis: Der kurze Weg in Fall 2 muss mit einer längeren Fahrtzeit gegenüber Fall 1 in Kauf genommen werden. 


Anmerkungen zu Fall 3
......
September 2008
Es gibt Fähren, die benutzen die Fließgeschwindigkeit des Flusses, um sich von Ufer zu Ufer hin und her zu bewegen. Dazu müssen die Fähren schräg zur Flussrichtung gestellt werden.

Will man auf kürzestem Wege von Wittenberg nach Wörlitz gelangen, muss man bei Coswig mit dieser Fähre die Elbe überqueren. 


Und wie funktioniert sie?
...... Die Fähre wird von einem langen Halteseil gehalten, das am Flussgrund befestigt und mit einer Boje hochgehalten und markiert wird. Das Halteseil spaltet sich vor der Fähre (Y-Gierseil). Seine Enden sind an Bug und Heck der Fähre befestigt. Die Fähre wird schräg gestellt, indem man eine Seilwinde betätigt. Fähren dieser Art heißen Gierseilfähren.

Fünf Entscheidungsprobleme ("CROSSING RIVER PROBLEMS")     top

Bauer, Wolf, Ziege, Kohlkopf
Ein Bauer möchte mit einem Kahn einen Wolf, eine Ziege und einen Kohlkopf  über einen Fluss transportieren. Die Schwierigkeit besteht darin, dass der Bauer nur eins von den Dreien mitnehmen kann und dass die Paare (Wolf, Ziege) und (Ziege, Kohlkopf) aus verständlichen Gründen nicht sich selbst überlassen werden dürfen. 

Wie ist der Transport zu bewerkstelligen?

Eine Lösung:
7 Fahrten

Quellen:
(1) XVIII. PROPOSITIO DE HOMINE ET CAPRA ET LVPO
(2) 375 FIVE JEALOUS HUSBANDS


Mr. Softleigh und seine Familie
Mr. Softleigh und seine Familie waren in Not. Er, seine Frau, seine beiden Söhne und sein Hund wollten einen Fluss überqueren. Ihnen stand aber nur ein Boot mit 150 lbs. Traglast zur Verfügung. Das war aber schon sein Gewicht und das seiner Frau. Die beiden Söhne wogen je 75 lbs. und der Hund weniger als 75 lbs.. 
Wie war der Transport zu bewerkstelligen?

Eine Lösung:
11 Fahrten

Quellen: 
(1) XIX. PROPOSITIO DE VIRO ET MVLIERE PONDERANTIBVS 
(2) 373 CROSSING THE STREAM


Fünf eifersüchtige Ehemänner
Bei einer Überflutung fanden sich fünf Ehepaare plötzlich von Wasser umgeben. Es stand ihnen nur ein drei Personen fassendes Boot zur Verfügung, um dieser ungemütlichen Situation zu entkommen. Eine weitere Schwierigkeit bestand darin, dass jeder Ehemann so eifersüchtig war, dass er seiner Ehefrau nicht erlaubte, im Boot mit einem oder mehreren fremden Männern zu sein. 

Wie war der Transport zu bewerkstelligen?


Eine Lösung:
11 Fahrten

Quellen: 
(1) XVII. PROPOSITIO DE TRIBVS FRATRIBVS SINGVLAS HABENTIBVS SORORES
(2) 375 FIVE JEALOUS HUSBANDS


Drei Missionare und drei Kannibalen
Drei Missionare und drei Kannibalen wollten einen Fluss überqueren. Ihr Boot fasste nur zwei Personen. Das Problem bestand zusätzlich darin, dass die Missionare aus verständlichen Gründen auf einer Seite nicht in der Minderheit sein durften. 
Wie war der Transport zu bewerkstelligen?

Eine Lösung:
11 Fahrten

Die sechs Figuren meiner Zeichnung entstammen dem Computerspiel "Missionaries & Cannibals" (URL unten).


Hängebrückenproblem
Vier Wanderer müssen eine Hängebrücke überqueren, um zurück zu ihrem Lager zu gelangen. Es ist Nacht und sie müssen eine Taschenlampe benutzen, deren Batterie aber nur für 17 Minuten reicht. Die Hängebrücke ist so schwach, dass sie nur höchstens zwei Personen trägt. Die erste Person benötigt nur 1 min zum Überqueren, die zweite 2 Minuten und die dritte 5 Minuten und die vierte 10 Minuten (aus welchen Gründen auch immer).
Wie war der Transport zu bewerkstelligen?

Eine Lösung:

Die fünf Überquerungen dauern 2min+2min+10min+1min+2min=17min
Quelle: Kit Logan (URL unten)


Dieses ist ein Beitrag von Magnus Hofmayer.

Flussüberquerungen im Internet    top

Deutsch
Chip-Online
Frogger (Spiel zum Herunterladen)
Bernhard Berchtold (www.mathematik.ch)
Flussüberquerung in ChinaLösung

H.W. Lang
Flussüberquerung (Online-Spiel, "Drei Gute und drei Böse wollen mit einem Floß einen Fluss überqueren...")

Mathespaß
Brücke bauen (aus vier Brettern)

Moon
The C64 Gamevideo Archive - Frogger

Otto Janko
Flussüberquerung (Online-Spiel)

Wikipedia 
Flussüberquerungsrätsel, Propositiones ad acuendos iuvenesFrogger, Königsberger Brückenproblem


Englisch

Brain Teasers
The Rope Bridge, Solution

John McCarthy 
The Original Missionaries and Cannibals Problem

Learn4Good Networks
Missionaries & Cannibals (Applet) 

Lulu's games
The wolf, the goat and the cabbage (Applet)

mathcats.com
Crossing the River (with a Wolf, a Goat, and a Cabbage)

Terwilliger Productions
River Crossing ("A man needs to cross a river in a canoe.  With him, he has a bag of grain, a chicken, and a fox. ...")
Solution

Wikipedia
River crossing puzzleFox, goose and bag of beans puzzleMissionaries and cannibals problem
Bridge and torch problemPropositiones ad Acuendos JuvenesSeven Bridges of Königsberg


Referenzen   top
(1) Alcuin of York (Albinus Flaccus Alcuinus): Propositiones ad acuendos iuuenes  (Lateinisch)
(2) Henry Ernest Dudeney: Amusements in Mathematics, Project Gutenberg 

Bei Dudeney findet man drei weitere Rätsel unter der Überschrift CROSSING RIVER PROBLEMS: 
374.—CROSSING THE RIVER AXE
376.—THE FOUR ELOPEMENTS
377.—STEALING THE CASTLE TREASURE


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2008 Jürgen Köller

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